Немыцкий степанов качественная теория дифференциальных уравнений скачать

Курс дифференциальных уравнений, Степанов В.В., 2004

Курс дифференциальных уравнений, Степанов В.В., 2004.

Предлагаемая вниманию читателя книга написана выдающимся отечественным математиком В.В. Степановым.

В ней представлено изложение всей теории дифференциальных уравнений в объеме университетской программы по высшей математике.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к пятому изданию От издательства
Глава I. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной
§ 1. Введение
§ 2. Метод, разделения переменных
§ 3. Однородные уравнения
§ 4. Линейные уравнения
§ 5. Уравнение Якоби
§ 6. Уравнение Риккати
Глава II. Вопросы существования решений уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной
§ 1. Теорема существования (Коши и Псаио)
§ 2. Особые точки
§ 3. Интегрирующий множитель
Глава III. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной
§ 1. Уравнения первого порядка n-й степени
§ 2. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных
§ 3. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро
§ 4. Особые решения § 5. Задача о траекториях
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков
§ 1. Теорема существования
§ 2. Типы уравнений n-го порядка, разрешаемые в квадратурах
§ 3. Промежуточные интегралы. Уравнения, допускающие понижение порядка
§ 4. Уравнения, левая часть которых является точной производной
Глава V. Общая теория линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Определения и общие свойства
§ 2. Общая теория линейного однородного уравнения
§ 3. Неоднородные линейные уравнения
§ 4. Сопряжённое уравнение
Глава VI. Частные виды линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и приводимые к ним
§ 2. Линейные уравнения второго порядка
Глава VII. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений
§ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 3. Существование производных по начальным значениям отрешений системы
§ 4. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 5. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений
§ 6. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому приближению
Глава VIII. Уравнения с частными производными. Линейные уравнения в частных производных первого порядка
§ 1. Постановка задачи об интегрировании уравнений с частными производными
§ 2. Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка
§ 3. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка
Глава IX. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка
§ 1. Система двух совместных уравнений первого порядка
§ 2. Уравнение Пфаффа
§ 3. Полный, общий и. особый интегралы уравнения в частных производных первого порядка
§ 4. Метод Лагранжа-Шарпи нахождения полного интеграла
§ 5. Метод Копта для двух независимых переменных
§ 6. Метод Копта для п независимых переменных
§ 7. Геометрическая теория уравнений с частными производными первого
порядка
Глава X. Исторический очерк
Ответы
Алфавитный указатель

Примеры.
1. Закон распада радия состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству R радия. Найти зависимость R от t: составить дифференциальное уравнение и определить коэффициент пропорциональности из опытных данных, утверждающих, что через 1600 лет останется половина начального количества радия.

2. Определить кривые, для которых площадь, ограниченная осью абсцисс, дугою кривой от пересечения с осью абсцисс до переменной ординаты и этою последней, пропорциональна n-й степени длины ординаты (n>1). Каков геометрический смысл произвольной постоянной?

3. Найти кривые, у которых отрезок касательной от точки прикосновения до пересечения с осью х равен постоянной величине а.

4. Найти кривые, у которых отрезок нормали от точки кривой до оси х есть постоянная величина а.
Проинтегрировать уравнения:

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс дифференциальных уравнений, Степанов В.В., 2004 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Критический взгляд на аттрактор Лоренца

1. Об аттракторе Лоренца

Эдвард Нортон Лоренц (1917 – 2008) является основателем теории хаоса, очень популярной в науке на сегодняшний день. Он учился в колледже Дартмут штата Нью-Гемпшир США и Гарвардском университете в Кембридже. Во время Второй мировой войны служил метеорологом в авиационном корпусе армии США, потом до конца своих дней работал профессором в Массачусетском технологическом институте.

В 1963 году в журнале «Journal of the Atmospheric Sciences» вышла его статья «Deterministic Nonperiodic Flow» (русский перевод: Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. — М.: Мир, 1981, с. 88-117), заложившая не только основы теории хаоса, но и изменившая представления о моделировании погодных явлений. В этой работе из системы уравнений Навье-Стокса впервые была получена нелинейная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка (динамическая система), описывающая движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

(1)

где s, r и b — некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s = 10, r = 28 и b = 8/3 (классические значения параметров).

Вообще, теория хаоса — раздел математики, изучающий поведение детерминированных динамических систем, где решения имеют достаточно сложную структуру, поэтому кажется, что во времени они ведут себя случайным образом. Детерминированная система — система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются случайными (Мун Ф. Хаотические колебания. — М.: Мир, 1990).

Динамическая система (1) также возникает и в других процессах:

1. Конвекция в тороидальной трубе (Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. — М: ЛИБРОКОМ, 2010, с. 454-455);
2. Одномодовый лазер (Покровский Л.А. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Релея. I. Система Лоренца в простейшей квантовой модели лазера и приложение к ней метода усреднения // Теоретическая и математическая физика, 1985, т. 62, №2, с. 272-290);
3. Осциллятор с инерционным возбуждением (Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М: ЛИБРОКОМ, 2009, с. 288-295).

Для любого решения системы Лоренца существует такой момент времени, когда соответствующая фазовая траектория навсегда погружается в сферу фиксированного радиуса. Поэтому существует предельное множество — аттрактор Лоренца, — к которому притягиваются все траектории динамической системы при (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 357-359). Таким образом, аттрактор определяет поведение решений системы (1) на больших отрезках времени.

Из-за отсутствия точных методов решения нелинейных динамических систем общего вида для анализа структуры аттрактора часто применяют численные методы такие, как, например, сочетание явной схемы Эйлера с центрально-разностной схемой, Адамса, использование старших производных, а также Рунге-Кутта 4-ого порядка. В случае классических значений параметров системы наблюдается неустойчивость ее решений, поскольку положения равновесия системы имеют седловой тип. Это ограничивает применение указанных методов, поскольку растет общая ошибка с увеличением отрезка интегрирования. Таким образом, небольшие изменения в начальных условиях системы (1) (т.е. атмосферы) могут привести со временем к значительным последствиям.

В 70-х гг. 20-ого века Гукенхеймер, Уильямс и Йорке на основе результатов численных экспериментов сформулировали гипотезу о структуре аттрактора Лоренца при классических значениях параметров системы, однако, соответствие этой гипотезы структуре притягивающего множества системы (1) строго не доказано. В 2000 году Стивен Смейл составил список из 18 наиболее значительных математических проблем 21-ого века. Проблема структуры аттрактора Лоренца была включена в этот перечень под номером 14. Считается, что она была решена Уориком Такером в 2002 году при помощи интервальной арифметики, но многие математики так и не приняли его доказательства хотя бы потому, что строго не показано наличие периодических решений в системе (1).

В литературе, посвященной численному исследованию системы Лоренца при классических значениях ее параметров, очень часто делаются заключения о структуре аттрактора на основе данных, полученных из вычислительного эксперимента (например, что аттрактор содержит циклы). При этом нет достаточных обоснований о выборе шага, с какими типами вещественных чисел приходилось работать, и на каком отрезке времени производились расчеты.

Рис. 1. Дуга траектории, построенная на отрезке времени [0;6.827] для x(0)=13.41265629, y(0)=13.46430003, z(0)=33.46156416.

По теореме Биркгофа (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 402) аттрактор Лоренца содержит рекуррентные траектории, а каждое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Это означает, что найдутся сколь угодно большие значения моментов времени, что точка траектории системы оказывается в любой окрестности своего начального положения. Таким рекуррентным движением может быть и цикл, но делать вывод об этом, исходя из найденного возврата траектории в некоторую окрестность начальных условий, нельзя. Как показали расчеты (рис. 1), в системе Лоренца динамика поведения решений на аттракторе достаточно сложна — рекуррентные траектории, содержащиеся в нем, могут, например, описываться почти периодическими решениями или иметь более сложную структуру. Мной построен пример неавтономной системы с таким поведением решений.

2. Моделирование динамики системы Лоренца

Рис. 2. Схема генератора колебаний, описывающих динамику системы Лоренца.

Для генерации сигналов (хаотических колебаний), описывающих траектории на аттракторах динамических систем с определенными видами нелинейностей правых частей, на практике также применяют физическое моделирование с помощью электрических схем /или аналоговых вычислительных машин/ (Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — М.: Физматлит, 2002).

Рассмотрим электрическую схему генератора колебаний, представленную на рис. 2, как альтернативу численному моделированию. Поскольку система Лоренца имеет третий порядок, то для создания динамики изменения напряжений в цепи необходимы три интегратора на базе операционных усилителей, поскольку с дифференциаторами связаны проблемы шума. При этом для построения схемы и записи интегральных уравнений использовалась базовая схема включения современного аналогового умножителя MPY634, приведенная на рис. 3 в официальной документации производителя микросхемы. Имеем:

где , и — мгновенные значения напряжений, соответствующие функциям x(t), y(t) и z(t) (пара из этих напряжений может быть подана на пластины осциллографа — полученная сложная фигура является проекцией траектории системы Лоренца на соответствующую плоскость), и — начальные напряжения на конденсаторах , и соответственно, SF = 10 В — масштабный коэффициент умножителя.

Первоначально производится зарядка конденсатора от источника питания E; резистор предусмотрен для перезарядки (состояние ключа K показано на рисунке в цепи генератора). Остальные конденсаторы имеют нулевой начальный заряд. По сути мы задаем начальные условия для системы (1). Схему начальной зарядки можно изменить (например, заряжать два конденсатора), за исключением ситуации, когда . Это объясняется тем, что , и — частное решение системы (1), где — произвольная постоянная. Понятно, что в этом случае никаких колебаний не будет.

Сделаем замену и продифференцируем по времени обе части каждого интегрального уравнения. Получим

(2)

Будем моделировать динамику при классических значениях параметров системы (1). Положим величины сопротивлений и емкостей равными

Тогда система (2) примет вид

(3)

Делая в (3) замену

получим систему Лоренца. Поскольку

то из введенной замены следует, абсолютная величина напряжения не превысит величины 7.44 В, что предусматривается документацией умножителя MPY634. Значение E можно выбрать равным 1.5 В (ЭДС пальчиковой батарейки).

Точность представленной модели определяется погрешностями реальных емкостей и сопротивлений, а также частотными характеристиками интеграторов и умножителей.

Немыцкий степанов качественная теория дифференциальных уравнений скачать

Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939 (pdf)

Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (pdf)

Аносов Д.В. (ред.) Гладкие динамические системы (Сборник переводов, Математика в зарубежной науке N4). М.: Мир, 1977(pdf)

Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985 (pdf)

Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970 (pdf)

Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974 (pdf)

Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 (pdf)

Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969 (pdf)

Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950 (pdf)

Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 2. Дифференциальные уравнения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (pdf)

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967 (pdf)

Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974 (pdf)

Егоров Д. Интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Печатня Яковлева, 1913 (pdf)

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979 (pdf)

Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн.: АН БССР, 1963 (pdf)

Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: ЛГУ, 1956 (pdf)

Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 1: Группы преобразований на плоскости (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)

Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 2: Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)

Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989 (pdf)

Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991 (pdf)

Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971 (pdf)

Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972 (pdf)

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (4-е издание). М.: Наука, 1971 (pdf)

Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959 (pdf)

Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (2-е изд.). М.: Наука, 1979 (pdf)

Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958 (pdf)

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995 (pdf)

Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968 (pdf)

Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 (pdf)

Коялович Б.М. Исследования о дифференциальном уравнении ydy-ydx=Rdx. СПб: Академия наук, 1894 (pdf)

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959 (pdf)

Крускал М. Адиабатические инварианты. Асимптотическая теория уравнений Гамильтона и других систем дифференциальных уравнений, все решения которых приблизительно периодичны. М.: ИЛ, 1962 (pdf)

Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Л.: Артиллерийская академия, 1933 (pdf)

Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957 (pdf)

Лаппо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. Л.-М., ГИТТЛ, 1934 (pdf)

Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964 (pdf)

Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978 (pdf)

Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961 (pdf)

Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (pdf)

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966 (pdf)

Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977 (pdf)

Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наук. думка, 1972 (pdf)

Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967 (pdf)

Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975 (pdf)

Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (pdf)

Мордухай-Болтовской Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава, 1910 (pdf)

Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука, 1969 (pdf)

Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ, 1947 (pdf)

Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964 (pdf)

Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1973 (pdf)

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974 (pdf)

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ, 1947 (pdf)

Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964 (pdf)

Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987 (pdf)

Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 1. М.: ИЛ, 1953 (pdf)

Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 2. М.: ИЛ, 1954 (pdf)

Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев, 1970 (pdf)

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977 (pdf)

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). М.: ГТТИ, 1950 (pdf)

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959 (pdf)

Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том 1. М.: ИЛ, 1960 (pdf)

Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том 2. М.: ИЛ, 1961 (pdf)

Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962 (pdf)

Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977 (pdf)

Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966 (pdf)

Фрёман H., Фрёман П.У. ВКБ-приближение М.: Мир, 1967 (pdf)

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970 (pdf)

Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965 (pdf)

Чезаре Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964 (djvu)

Четаев Н.Г. Устойчивость движения (3-е изд.). М.: Наука, 1965 (pdf)

Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947 (pdf)

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969 (pdf)

Контакты

Адрес: пр. Ленина 31 Город: Якутск, 677027 Эл. почта: ikfia@ysn.ru Тел.: +7 (4112) 390-400 Факс: +7 (4112) 390-450 Охрана тел.: +7 (4112) 390-489 Охрана тел.: +7 (4112) 335-176

Новости

С Днём защитника отечества!

Дорогие коллеги!Примите самые искренние поздравления с Днем Защитника Отчества! В этот праздничный день мы отдаем дань уважения и благодарности всем.

XIV конференция научной молодежи «Актуальные вопросы космофизики». Итоги конференции

Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера СО РАН в рамках чтений, посвященных 100-летию со дня рождения организатора аэрономического.

XIV конференция научной молодежи «Актуальные вопросы космофизики». Второе информационное сообщение

Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера СО РАН в рамках чтений, посвященных 100-летию со дня рождения организатора аэрономического.

Приказ ИКФИА №13-к от 04.02.2022 о деятельности Института в условиях недопущения дальнейшего распространения новой коронавирусной инфекции

3 января 2022 г. исполнилось 100-лет со дня рождения к.ф.-м.н. Самсонова Владимира Парфеньевича – организатора аэрономического направления и исследований полярных сияний в Институте.

В честь юбилея 11 февраля 2022 г. в режиме видеоконференции планируется проведение научных чтений, совмещенных с празднованием Дня науки и.