Необычные способы решения квадратных уравнений проект

Учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений

• Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
• Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
• Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
• Сделать выводы.
• Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Глава 1.
Изучение литературы

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.
Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Глава 3.
Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

Глава 4.
Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

1978х 2 – 1984х + 6=0
(1; 6/1978)

4х 2 + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)

319х 2 + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)

2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

839х 2 – 448х -391=0
(1; -391/839)

345х 2 – 137х – 208=0
(1;.-208/345)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1) х 2 +5х+6=0 2) 6х 2 -5х+1=0 3) 2х 2 -5х+3=0 4) 3х 2 -5х+2=0 5) х 2 -5х+6=0 6) 6х 2 +5х+1=0 7) 2х 2 +5х+2=0 8) 3х 2 +5х+2=0

1) 1/6;1/2 2) 1; 3/2 3) 1; 2/3 4) -2; -3 5) -1/3 ; -1/2 6) -1; -3/2 7) -1; -2/3 8) 2;3

Глава 5.
Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;
2. Наиболее возможное количество набранных баллов-17
3. Если ученик набирает менее

7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»

Выполняли работу – 11человек

от 16-17 – 5человек (45%)
от 12-15– 6человек (55%)
Менее 12 – 0 человек

Средний балл – 4,45

Процент качества – 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

• нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;
• позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.
2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.
5. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Одно из важных мест в математике занимают уравнения, так как большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще всего это уравнения квадратного вида.

Просмотр содержимого документа
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Кемеровский государственный университет»

Институт профессиональной ориентации

VI Областная научно-практическая конференция «ДИАЛОГ»

НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

Автор: Шмидт Нелли

МБОУ «Гимназия №12»

Слотюк Мария Викторовна

Глава 1. История развития квадратных уравнений 5

Глава 2. Стандартные способы решения квадратных уравнений

2.1. Решение квадратного уравнения по формулам 6

2.2. Решение уравнений с четным коэффициентом при х 7

2.3. Теорема Виета 7

Глава 3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений

3.1. Метод выделения полного квадрата 8

3.2. Графическое решение квадратных уравнений 9

3.3. Разложение левой части уравнения на множители 10

3.4. Решение уравнений способом «переброски» 10

3.5. Решение уравнений по сумме коэффициентов 11

3.6. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами 11

3.7. Закономерность коэффициентов 12

Математика является одним из основных и достаточно сложных предметов школы. Она помогает в изучении других дисциплин естественнонаучного цикла, таких как физика, химия, информатика и т.д. При обучении математики развивается логическое мышление, которое также способствует усвоению предметов гуманитарного цикла.

При обучении математике формируются умения и навыки умственного труда, такие как: четкое планирование своей работы, поиск рациональных путей, критическая оценка результатов. Во время обучения математике необходимо излагать свои мысли ясно, лаконично, математические записи выполнять, аккуратно и грамотно. Практические умения и навыки, приобретаемые на уроках математики, пригодятся также для трудовой и профессиональной подготовки.

Одно из важных мест в математике занимают уравнения, так как большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще всего это уравнения квадратного вида.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые не отражены в школьных учебниках математики. Но мы считаем, что применение разнообразных способов решения поможет сэкономить время и значительно повысить эффективность и качество решения квадратных уравнений.

В некоторых случаях уравнения можно решать устно, но для этого необходимо знать алгоритм решения квадратных уравнений, который так же может пригодиться на экзаменах ОГЭ, ЕГЭ и в различных жизненных ситуациях.

Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных и нестандартных способов решения. Все сказанное выше доказывает актуальность темы нашего исследования «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

изучение нестандартных способов решения квадратных уравнений, не входящих в школьный курс математики.

Изучить историю развития квадратных уравнений.

Проанализировать учебники алгебры за 8 класс разных авторов для выявления способов решения квадратных уравнений.

Изучить нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Выяснить способы решения квадратных уравнений, которыми владеют учащиеся Гимназии, в результате опроса.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: нестандартные способы решения квадратных уравнений.

• анализ научно – популярной литературы;

• статистические методы обработки данных.

Материалом для исследования послужили учебники «Алгебра 8» следующих авторов: А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, Ш.А. Алимов, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мерзляк, Г.К. Муравин; а также различные интернет-ресурсы.

Глава 1. История развития квадратных уравнений

Необходимость в решении уравнений была вызвана ещё до нашей эры потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельного участка, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии, да и самой математики.

Некоторые приемы решения квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, как дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты представляют собой задачи с решениями, записанные в виде рецептов, без указаний каким образом они были найдены. [8]

Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид, живший в III веке до н. э — отвел геометрической алгебре в своем трактате «Начала» всю вторую книгу, где собрал весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.

Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). Однако, способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах, которые, к сожалению, не сохранились.

Индийский ученый – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое по существу совпадает с современным. [9]

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры, в котором Хорезми насчитывает 6 видов уравнений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Франсуа Виет, однако он признавал только положительные корни. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 — 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

В настоящее время умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Так как, во-первых, умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики, а во-вторых, большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.

Глава 2. Стандартные способы решения квадратных уравнений

2.1. Решение квадратного уравнения по формулам

Квадратным уравнением называют уравнение вида , где a, b, c – любые действительные числа, причем . Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1. Также различают полные и неполные квадратные уравнения. В нашей работе мы рассматриваем способы решения только полных уравнений.

Рис. 1. Решение по формулам квадратного уравнения

Самый распространенный способ решения квадратных уравнений,

который рассматривается в каждом учебнике алгебры, это решение по формулам. На нем мы подробно останавливаться не будем.

2.2. Решение уравнений с четным коэффициентом при х

Если коэффициент b есть четное число, то формулу можно упростить, подставив 2k вместо b. Тогда корни квадратного уравнения ax 2 +2kx+c=0 можно вычислять по формуле: , которая значительно облегчает вычисления. А для приведенного квадратного уравнения эта формула выглядит еще проще: . [6]

Решим уравнение: х 2 +10х-7200=0.

Данный способ решения квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом рассматривается во всех учебниках алгебры, но только у А.Г. Мордковича и Г.В. Дорофеева выделен отдельным пунктом.

2.3. Теорема Виета

Если — корни уравнения х² + pх + q = 0, то справедливы формулы: .

То есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Решим уравнение: х² — 2х – 3 =0

По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней:

а) Если сводный член q 0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

б) Если свободный член q , то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Решение квадратных уравнений по теореме Виета, так же как и решение по формулам, изучается во всех рассмотренных нами учебниках алгебры. Это достаточно легкий способ. Он позволяет сразу увидеть корни уравнения, но найти можно только целые корни.

Глава 3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений

3.1. Метод выделения полного квадрата

Решим квадратное уравнение: х² — 2х – 3=0.

Преобразуем это уравнение таким образом:

х² — 2х = 3, х² — 2х +1= 3+1, (х — 1)² = 4.

Следовательно: х – 1 = 2 или х — 1 = -2, откуда х₁ = 3, х₂ = -1.

Решая уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное. В нашем случае уравнение имеет два корня, но если после выделения квадрата двучлена справа получится ноль, то корень будет один, а если отрицательное число окажется справа – корней нет. Данный метод позволяет за минимальное количество действий найти корни уравнения. Однако есть и определенные неудобства, нужно суметь правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. Этот метод подробно рассматривается в учебниках алгебры Ш.А. Алимова, Г.К. Муравина и Ю.Н. Макарычева, но упражнений на его применение очень мало.

3.2. Графическое решение квадратных уравнений

Решим уравнение .

1 способ. Построим график функции

. Вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая х=1. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х, корни уравнения: -1 и 3. (Рис. 2)

2 способ. Преобразуем уравнение к виду

. Построим в одной системе координат графики функций . Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 3)

3 способ. Преобразуем уравнение к виду . Построим в одной системе координат графики функций . Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 4)

4 способ. Преобразуем уравнение к виду и далее =4, т.е. Построим в одной системе координат параболуОни пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис.5)

5 способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим: Построим в одной системе координат гиперболу у = и прямую у = х – 2. Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 6) [6]

Графический способ решения квадратных уравнений очень подробно рассматривается в учебнике, автором которого является А. Г. Мордкович. Но, несмотря на обилие способов графического решения, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. И не всегда точки пересечения имеют «хорошие» координаты.

3.3. Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0. Разложим левую часть на множители: х 2 — 2х — 3 = х 2 +х — 3х — 3 = х(х + 1) — 3(х + 1) = (х + 1)(х — 3).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 1)(х — 3) = 0

Так как произведение равно нулю, значит, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = -1, а также при х = 3. Это означает, что числа -1 и 3 являются корнями уравнения х 2 — 2х — 3 = 0. Данный способ не рассматривается отдельно в учебниках алгебры. Сложность его применения заключается в том, что нужно суметь правильно найти все слагаемые для группировки.

3.4. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение: ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение: а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильному данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Решим уравнение 6х 2 + 7х + 1 = 0.

«Перебросим» коэффициент 6 к свободному члену, в результате получим уравнение: у 2 + 7у +6 = 0. Согласно теореме Виета: у₁ = -6; у₂ = -1, следовательно х₁ = -6/6 = -1 и х₂ = -1/6. [6]

Этот способ описывается в учебнике «Алгебра» для углубленного изучения, автор — А.Г. Мордкович. Его применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

3.5. Решение уравнений по сумме коэффициентов

Возьмем уравнение , где :

— если a + b + c = 0, то , а ,

-если a – b + c = 0, то , а .

Решим уравнение: по сумме коэффициентов.

а + b + c = 11 – 33 + 22 = 33 – 33 = 0, следовательно , а .

Решим уравнение: по сумме коэффициентов.

а – b + c = 5 – 12 + 7 = 12 – 12 = 0, следовательно , а .

Этим способом очень удобно пользоваться, если a,b,c – достаточно большие целые числа. [8]

Решим уравнение: т.к.

Решим уравнение: т.к.

Этот способ не рассматривается ни в одном из учебников алгебры, хотя достаточно прост и не требует больших усилий, однако не каждое квадратное уравнение можно решить этим способом.

3.6. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами

Если квадратное уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Решим уравнение: 5х 2 -14х-3=0. Сначала нужно выписать все делители свободного члена: 1; -1; 3 и -3. Затем подстановкой проверим, какое из этих чисел является корнем уравнения. Итак, число х₁=3 – корень уравнения. А второй корень можно найти, воспользовавшись соотношением х₁х₂=с/а, то есть 3х₂=-3/5, х₂=-1/5. [4]Этим способом удобно пользоваться, если свободный член не имеет много делителей. Такой прием решения квадратных уравнений мы обнаружили в учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев.

3.7. Закономерность коэффициентов

Все эти свойства коэффициентов позволяют значительно сэкономить время при решении уравнений, но не все уравнения можно решать таким способом, ни в одном учебнике алгебры он не рассматривается.

Таким образом, проанализировав учебники алгебры за 8 класс вышеперечисленных авторов, а также воспользовавшись интернет ресурсами, было выявлено десять различных способов решения квадратных уравнений, из которых семь мы считаем нестандартными.

Мы решили провести социологический опрос среди учащихся 9 классов нашей гимназии, чтобы выяснить, умеют ли ребята решать квадратные уравнения разными способами. В опросе участвовало 53 ученика 9 «А» и 9 «Б» классов.

В качестве основных вопросов были:

Запишите формулу квадратного уравнения.

Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?

Решите квадратное уравнение: х 2 +х-6=0.

Как вы считаете, умение решать квадратные уравнения поможет в успешной сдаче ОГЭ?

По результатам опроса были получены следующие данные: 56% учащихся верно записали формулу квадратного уравнения, 38% вместо формулы уравнения написали формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения и 6% (3 человека) не вспомнили ни одной формулы. На следующий вопрос «Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?» 10% написали 3 способа, 67% вспомнили два способа (через дискриминант и по теореме Виета), 19% только один способ и 2 человека (4%) не назвали ни одного способа. Дальше ребятам было предложено решить квадратное уравнение, которое является приведенным, что позволило его решить несколькими способами. 60% учащихся верно выполнили задание, из них 10 человек решили уравнение двумя способами, 22% допустили ошибки в решении, а 18% (9 человек) не стали решать. И на последний вопрос « Как вы считаете, умение решать квадратные уравнения поможет в успешной сдаче ОГЭ?» «да» — ответили все девятиклассники. (Приложение 1)

Таким образом, можно сделать вывод, что большинство девятиклассников нашей гимназии успешно справляются с решением квадратных уравнений, но пользуются при этом в основном только одним способом, решают по формулам, так как не знакомы с другими способами, которые позволяют решать квадратные уравнения намного проще и быстрее. Это в очередной раз доказывает актуальность нашей темы.

В ходе настоящего исследования мы проанализировали литературу, чтобы познакомиться с историей возникновения квадратных уравнений, выяснили, что некоторые приемы их решения были известны еще за 2000 лет до нашей эры. Таким образом, квадратные уравнения решались нашими далекими предками в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика, так как они применялись в строительстве, в военных делах и в бытовых ситуациях.

Проанализировав учебники алгебры за 8 класс следующих авторов: А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, Ш.А. Алимов, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мерзляк, Г.К. Муравин, мы пришли к выводу, что самыми распространенными способами решения квадратных уравнений являются способы решения по формуле, то есть через дискриминант, и по теореме Виета. Такие способы, как выделение квадрата двучлена, решение уравнений с четным коэффициентом при х; рассматриваются также в каждом учебнике алгебры. Разложение левой части уравнения на множители и графический способ решения квадратных уравнений мы встретили только в учебнике А.Г. Мордковича. Автор предлагает пять различных способов решения уравнения при помощи построения разных графиков. Также в учебнике А.Г. Мордковича, но уже для углубленного изучения, мы познакомились со способом «переброски». В учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев, мы познакомились с интересным способом решения уравнений с целыми коэффициентами, этот способ автор поместил в раздел «Для тех, кому интересно». Пользуясь ресурсами интернета, нами были найдены еще два нестандартных способа решения квадратных уравнений: решение уравнений по сумме коэффициентов и с использованием закономерности коэффициентов. Эти способы вызвали большой интерес, так как они позволяют достаточно легко и быстро находить корни, но достаточно сложно все эти свойства запомнить, поэтому мы решили сделать памятку и пользоваться ей по необходимости (приложение 2). Эту же памятку мы раздали девятиклассникам, среди которых проводили опрос, так как результаты показали (приложение 1), что учащиеся в основном решают квадратные уравнения по формуле дискриминанта.

Рассмотренный нами материал могут использовать учителя математики на уроках, при проведении внеурочных занятий, также при подготовке выпускников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

Нам было очень интересно работать над данной темой. Мы узнали, что автор учебника, который мы изучаем на уроках алгебры, А.Г. Мордкович, учит нас решать квадратные уравнения не только традиционными способами, но и рассматривает четыре нестандартных способа, которые не встречаются больше ни в одном учебнике у других авторов. Так же мы познакомились с нестандартными способами решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально их решать. Овладение этими способами поможет сэкономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

В дальнейшем мы планируем продолжить работу над этой темой и рассмотреть более сложные способы решения квадратных уравнений.

Список используемой литературы:

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. Организаций / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др]; под ред. Н.А. Теляковского.-М.: Просвещение.-2013.-287с.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [С.М.Никольский, К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин].-3-е изд.-М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2006.-287с.

Алгебра. 8 класс: учеб для общеобразоват. организаций / [Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин].- М.: Просвещение, 2013.- 336с.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».-5-е изд.-М.: Просвещение, 2010.-288с.

Мерзляк, А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Вентана-Граф, 2013.-256с.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2016-215с.

Муравин, Г.К. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина.- 15-е изд.,стереотип.-М.: Дрофа, 2013.-254с.

Нестандартные методы решения квадратных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Государственное бюджетное образовательное учреждение школа №509

Красносельского района Санкт-Петербурга

Индивидуальный итоговый проект

НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Автор проекта: Коновалова Анастасия Романовна

9Б класс, школа № 509

Руководитель проекта: Судиловская Ирина Владимировна

I РАЗДЕЛ (теоретический). стр.4

II РАЗДЕЛ (практический)…. стр.7

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. стр.11

В 8 классе мы учились решать квадратные уравнения. По сей день они занимают важное значение в алгебре и геометрии.

Моя тема: нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Я выбрала эту тему, потому что квадратные уравнения используются во многих сооружениях, расчетах, атлетике, прыжке в высоту, нахождении траектории движения планет.

Рассказать о нестандартных способах решения — моя цель, а также объяснить их применение в жизни.

Проектным продуктом станет публикация в электронном виде.

Квадратные уравнения помогут в спорте, метании, при взлете самолета, вычислениях и постройках, так как в них важны арифметические расчеты.

План моей работы: для начала я определю стандартные способы решения, после чего объясню метод переброски и постановление с помощью циркуля и линейки. В самом конце расскажу о применении в жизни.

Всю данную информацию находила на просторах Интернета, а также изучала учебную и дополнительную литературу.

РАЗДЕЛ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные уравнения — это уравнения вида: ax²+bx+c=0, где a ≠ 0

a, b, c — рациональные числа

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

c — свободный член

Следует подметить, что такая последовательность является стандартной.

Приведу примеры квадратных уравнений разной поочередности коэффициентов:

3. ax²=0 (b = 0, c = 0)

(без коэффициента “a” уравнение не считается квадратным!)

Приведенным считается уравнение, где старший коэффициент равен единице.

Неприведенное, если a ≠ 1

Решить квадратное уравнение — значит найти все значения переменной x, при которых найдем числовое равенство или определим, что таковых значений не имеется.

В математике еще есть и задачи, решаемые квадратными уравнениями.

Для решения таких заданий следует:

1. Перевести текст задачи в составление математического уравнения

2. Решить (как это делается — объясню в практической части)

Прежде чем изучать определенные методы, хочу сказать о 3 подразделениях:

1. Имеется два решения

2. Имеется одно решение

Если решать через дискриминант (D), то

в первом случае D положительный

во втором — D равен нулю

в третьем — D отрицательный

Дискриминант — это стандартный способ решения квадратного уравнения, чтобы понять сколько корней. Обозначается буквой D.

Формула (ее нужно знать наизусть):

— D = b²-4ac (если дано ax²+bx+c)

Чтобы найти x нужно использовать такую формулу:

Если у нас неполное кв. уравнение, то

1. ax²+bx=0 решаем путем разложения на множители: x(ax+b).

— Далее приравниваем к нулю

— Переносим b в правую часть

— Делим сумму на слагаемое

2. ax²+с=0 решаем путем перенесения c в правую часть: ax²=-с

Здесь 2 варианта исхода:

1.) если -с/a = отрицательное число

2.) если -с/a = положительное число

Следовательно, имеем 2 решения

3. аx²=0 путем перенесения a в правую часть

Находим корень x = 0

РАЗДЕЛ II. (практический)

Решение стандартными способами

Самые основные способы решения квадратных уравнений — через дискриминант и по теореме Виета.

Формулу дискриминанта я уже показала. Сейчас приведу пример с числовыми значениями:

D = (-8) 2 — 4 · 1 · 12

x1 = (–(-8) + √16)/(2 · 1) = (8 + 4)/2 = 12/2 = 6

x2 = (–(-8) — √16)/(2 · 1) = (8 — 4)/2 = 4/2 = 2

Ответ: х1 = 6, х2 = 2.

По Виета (действует только если а = 1):

Пример: x 2 − 8x + 12 = 0

Подбираем числа: x1 = 6, x2 = 2.

Решение квадратных уравнений способом переброски

Метод переброски заключается в том, чтобы преобразовать квадратное уравнение таким образом, чтобы затем воспользоваться теоремой Виета.

Итак, мы имеем квадратное уравнение ax²+bx+c = 0

Для начала нужно умножить члены предложения на коэффициент a

1. Введем новую переменную

2. Следовательно, у нас выйдет

3. Решаем по Виета

4. После того, как нашли корни полученного, найдем корни исходного

Если сложно запомнить формулу дискриминанта, то метод переброски хорошо подойдет, чтобы применить его при решении уравнения

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

1. Пoстроим систему координат

2. Пoстроим точки:

S (-b/2a ; (a+c)/2a) — центр окружности

3. Прoведём окружность с радиусoм SА

абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями

Способы применения в жизни

Еще давно люди решали задачи с применением квадратных уравнений, чтобы найти площади земельных участков. Ученые выяснили, что таким же способом можно найти траекторию движения планет. В метании квадратные уравнения тоже важны, ведь от этого зависит дальность полёта.

Есть великие математики, которые внесли вклад в изучение:

Штифель сформировал общее правило решения

Рене Декарт говорил о способе с помощью циркуля и линейки

Ньютон и Кардано показали свои методы

Франсуа Виет понял и рассказал о связи между коэффициентами и корнями

Леонардо Фибоначчи изложил в “Книге абака” формулы для решения

Баудхаяма рассказал о методах решения квадратных уравнений

В процессе работы над проектом, я ознакомилась с нестандартными способами решения квадратных уравнений, улучшила свои навыки в сфере математики, приобрела новые умения решать уравнения иными способами, которые не изучают в школе.

Выполнение проекта научило меня самостоятельно собирать информацию, я утвердилась в своих силах.

В своей работе я ставила цель: рассказать о нестандартных способах решения и их применении в жизни. Я считаю, что справилась со своей задачей. Я углубила свои знания и сформировала интерес познания других необычных для меня способов.

Считаю, что проект актуален, ведь благодаря ему я расширила свои знания и повысила интерес к изучению математики.

Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. -М.Квант, №4/72. С.34.

Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, допол. -М., Высшая школа, 1973.

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. -М., Просвещение, 1990.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 571 296 материалов в базе

Другие материалы

• 13.02.2022
• 20
• 0

• 13.02.2022
• 47
• 0

• 13.02.2022
• 38
• 0

• 13.02.2022
• 26
• 0

• 13.02.2022
• 31
• 1

• 13.02.2022
• 21
• 0

• 13.02.2022
• 20
• 0

• 13.02.2022
• 23
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.02.2022 26
• DOCX 34.9 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Судиловская Ирина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 2331
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.