Неоднородная система уравнений в векторной форме

Неоднородная система уравнений в векторной форме

Пусть задана неоднородная система линейных алгебраических уравнений размерности m × n .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна m × (n+1) .

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса , который основан на следующих элементарных преобразованиях:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на действительное отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, то есть

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через r (соответственно, в системе остается r уравнений). Эти строки матрицы называются базисными.

Если r = n , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить также методом Крамера и с помощью обратной матрицы .

Если r n (количество переменных в системе больше количеств а уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы r неизвестных (базисные переменные), остальные n — r неизвестных перенести в правые части (свободные переменные). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных следует заменить на свободную; полученный базисный минор снова проверить на отличие от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением.

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из n элементов по r элементов C_n r . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, количество базисных решений у системы также равно C_n r .

Пусть строки матрицы обозначены соответственно l ₁ ; l ₂ ;…; l_n . Строка l называется линейной комбинацией строк l ₁ ; l ₂ ;…; l_n матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа, то есть , .

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель ∆ был равен нулю. Это означает, что ранг r ее главной матрицы меньше числа n неизвестных ( r n ) . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.7. Исследовать заданную систему уравнений и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

Так как r ( A ) =2 и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных n =2 , т.е. r n , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно . Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: < x ₁ ; x ₂ >, < x ₁ ; x ₃ >, < x ₁ ; x ₄ >, < x ₂ ; x ₃ >, < x ₂ ; x ₄ >, < x ₃ ; x ₄ > . Рассмотрим один из них < x ₁ ; x ₂ > . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде . Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы.

По формулам (1.6) имеем

Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных x ₃ = x ₄ = 17 . При x₃=0 x₄=0 получаем базисное решение системы

Структура общего решения системы уравнений

Однородная система линейных уравнений

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных , то тривиальное решение единственное. Предположим, что . Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду , т.е. . Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений :

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация также является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений , придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений .

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных , при которых это решение удовлетворяет равенству (5.14).

Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу , приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то . Так как каждый из столбцов матрицы является решением системы , то по первой формуле из (5.13) получаем

Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы. Значит, первые строк матрицы можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно, , так как после вычеркивания в матрице будет всего строк. Таким образом, . Значит, есть базисный минор матрицы , который расположен в первых ее столбцах, а столбец не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа , что

Итак, обратное утверждение доказано.

Алгоритм решения однородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное тривиальное решение и процесс решения заканчивается.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.

6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).

7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).

1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.

2. Матрица столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде

3. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица размеров является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.

Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы

2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы , приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):

Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.

5. Переменные — базисные, а — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы

6. Находим фундаментальную систему решений. Так как и , надо подобрать линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:

В результате получили фундаментальную систему решений

7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):

Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, и . Тогда получим другую фундаментальную систему решений

Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений

Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.

Рассмотрим неоднородную систему и соответствующую ей однородную систему . Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.

Свойства решений неоднородной системы уравнений

1. Разность двух решений и неоднородной системы есть решение однородной системы.

Действительно, из равенств и следует, что .

2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решение неоднородной системы можно представить в виде

В самом деле, для любого решения неоднородной системы разность по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. — решение однородной системы.

Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.

Пусть — решение неоднородной системы, а — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец

при любых значениях [i]произвольных постоянных является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных , при которых это решение удовлетворяет равенству (5.15).[/i]

Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.

Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).

6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.

7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).

1. Используя фундаментальную матрицу однородной системы , решение неоднородной системы можно представить в виде

2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы

Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде

где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.

Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:

Переменные — базисные, а — свободные.

6. Полагая , получаем частное решение неоднородной системы .

7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы

Искомая структура множества решений найдена.

Получим формулу общего решения вторым способом , используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:

Записываем частное решение неоднородной системы

и составляем фундаментальную матрицу:

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):

Основные определения и понятия

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными

. (1)

Матрица A,составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы уравнений (1)

называют расширенной матрицей системы, ее последний столбец отделяют вертикальной чертой.

и .

называют соответственно вектором неизвестных и вектором правых частей системы (1). В этих обозначениях векторно-матричная запись системы (1) выглядит так:

(2)

Если вектор , то система называется однородной, если же (хотя бы один из элементов отличен от нуля), то система называется неоднородной.

Решением системы (1) называется такой вектор , что при подстановке чисел в систему (1) получаются верные равенства (тождества).

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Если к некоторому уравнению системы прибавить другое, умноженное на число, то решения системы не меняются. Заметим, что операции над системой уравнений сводятся к элементарным преобразованиям над расширенной матрицей . Таким образом, элементарные преобразования над не меняют совокупности ее решений.

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему

(3)

Заметим, что однородная система всегда совместна, поскольку нуль-вектор – ее решение.

Вопрос лишь в том, единственно ли это решение и если нет, то что представляет собой совокупность всех ее решений.

Теорема. Множество всех решений однородной системы образует подпространство в

Действительно, если – решения системы (3), т.е. и , то , где – числа, также является решением системы (3):

.

Итак, решения однородной системы можно складывать, умножать на число, новый вектор вновь будет решением этой системы. Мы знаем, что в любом подпространстве (кроме ) можно выделить базис и любой вектор подпространства представить в виде линейной комбинации векторов базиса.

Обозначим V – подпространство решений однородной системы (3), а – некоторый базис в V.

Любой базис подпространства V решений однородной системы называют фундаментальной системой решений (ФСР).

Число векторов ФСР , где – число неизвестных системы (3), а r – ранг матрицы A. Таким образом, размерность подпространства решений .

Любой вектор-решение (общее решение) является линейной комбинацией векторов ФСР: .

Научимся находить общее решение однородной системы. Для этого применяется метод Гаусса. Метод Гаусса для решения систем уравнений состоит из прямого и обратного хода. Прямым ходом заданную систему приводят к эквивалентной ступенчатой системе, которая легко поддается исследованию. Решение системы находится обратным ходом метода Гаусса.

Проиллюстрируем алгоритм метода на примере системы:

Все преобразования системы сводятся к преобразованиям матрицы системы.

Прямой ход метода Гаусса.

1. Приведем матрицы системы к ступенчатому виду:

Матрица ступенчатая, ее ранг .

2. Выпишем соответствующую систему уравнений:

.

Мы отбросили последнее уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Заметим, что угловые элементы матрицы являются коэффициентами при в ступенчатой системе.

3. Назовем переменные , не связанные с угловыми элементами, свободными, а – зависимыми переменными (несвободными). Зависимыми переменными всегда объявляются переменные, коэффициентами которых являются угловые элементы. Заметим, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могут оказаться переменные с другими индексами. Однако число свободных переменных всегда равно
В данном примере

Обратный ход метода Гаусса.

1. Выразим зависимые переменные через свободные из ступенчатой системы, начиная с последнего уравнения и «поднимаясь» вверх к первому. В результате получим

. (*)

Полученные выражения дают описание всего множества решений однородной системы (3). Давая свободным переменным произвольные значения (они играют роль параметров для множества решений) и вычисляя значения зависимых переменных, получаем некоторое частное решение системы. Так можно получить все решения системы, поэтому выражения (*) называют общим решением системы в координатной форме.

2. Запишем общее решение в векторной форме. Выберем из общего решения (*) линейно независимых решений и составим из них ФСР. Для этого придадим свободным переменным значения , тогда из (*) получим и ; затем , вычислим из (*) и .

Векторы линейно независимы (в силу выбора свободных переменных) и образуют ФСР.

Общее решение системы, записанное в векторной форме, имеет вид

.

Итак, размерность подпространства есть , где . Если (т.е. A имеет «полный ранг»), , т.е. имеет нулевую размерность ( ), а значит, состоит лишь из нулевого вектора . В этом случае однородная система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Неоднородные системы

Мы научились находить общее решение однородной системы. Перейдем теперь к неоднородным системам. Процедура получения общего решения (в координатной и векторной формах) для них будет похожей.

Пусть дана система или в координатной форме

.

Соответствующая этой системе однородная система имеет ту же матрицу системы , а вектор правых частей , т.е. .

Справедливо следующее утверждение.

Пусть – некоторое частное решение неоднородной системы , а – решение соответствующей однородной системы. Тогда вектор будет решением неоднородной системы. Действительно, .

Это означает, что к решениям однородной системы можно прибавить решение неоднородной системы, в результате получим решение неоднородной системы.

Чтобы получить общее решение неоднородной системы, нужно к общему решению соответствующей однородной системы прибавить некоторое частное решениенеоднородной.

В отличие от однородной системы неоднородная не всегда совместна, поэтому прежде чем находить решение системы необходимо выяснить вопрос, существует ли хотя бы одно решение, т.е. совместна ли система. Ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности неоднородной системы): система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы .

Рассмотрим метод Гаусса для решения неоднородной системы уравнений на примере системы

Прямой ход метода Гаусса.

1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

Здесь , система совместна.

2. Запишем эквивалентную ступенчатую систему:

Переменные являются зависимыми, а – свободной переменной.

Обратный ход метода Гаусса.

1. Выразим зависимые переменные через свободные. Запишем общее решение неоднородной системы в координатной форме.

Выразим переменные через свободную переменную :

(*)

Полученные равенства задают общее решение исходной системы в координатной форме. Заметим, что для получения общего решения однородной системы нет нужды повторять заново всю процедуру. Достаточно в формулах (*) заменить свободные члены нулями. Получим общее решение однородной системы в координатной форме:

(**)

Размерность подпространства V решений однородной системы , а значит, ФСР содержит лишь один вектор. Найдем его из равенств (**), придавая свободной переменной любое отличное от нуля значение, например, пусть , тогда , , и базисный вектор .

Общее решение однородной системы в векторной форме выглядит так: , здесь – произвольная постоянная (сокращение «оо» означает общее «однородного»).

Остается найти частное решение неоднородной системы. Для этого в формулах (*) свободной переменной придадим произвольное (например, нулевое) значение, получаем: .

.

– общее решение в векторной форме.

Пример.

, ; ;

Таким образом, ранги расширенной и основной матриц системы не равны, теорема Кронекера-Капелли не выполняется, система несовместна. Итак, всякое решение неоднородной системы ( – «общее неоднородной») есть сумма частного решения неоднородной ( ) и общего решения однородной ( ): , или , где – фундаментальная система решений (базис подпространства решений однородной системы). Можно показать, что множество решений неоднородной системы не является подпространством (проверьте это самостоятельно). Множество представляет собой сдвиг пространства V на произвольный вектор . Результат сдвига не зависит от выбора частного решения .

Говорят, что множество является «параллельным сдвигом» подпространства V. Понимать это нужно так: любой вектор – решение неоднородной системы может быть получен по формуле соответствующим подбором постоянных .