Неоднородное уравнение гельмгольца и его решение

Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Столяров Е. П.

Рассмотрено линеаризованное неоднородное уравнение Гельмгольца, описывающее распространение малых нестационарных возмущений завихренности (в том числе при наличии возмущений энтропии) в потенциальных двумерных течениях идеального сжимаемого газа. Получено его общее решение. На основании кинематических теорем установлены закономерности, которым подчиняются течения рассмотренного вида. В частности, отмечается, что поток завихренности в направлении линий тока в общем случае не сохраняется.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Столяров Е. П.

Текст научной работы на тему «Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа»

РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА, ОПИСЫВАЮЩЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ МАЛЫХ ВИХРЕВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА

1. Уравнения, описывающие нестационарные адиабатические течения сжимаемого идеального газа, можно записать в форме (см., например, [1]):

завихренность, H — cpT -f-

S, о, T — энтропия, плотность и температура соответственно.

Для замыкания системы (1) необходимо ее дополнить уравнением состояния, которое запишем в виде:

Применяя операцию rot к первому уравнению системы (1), получим неоднородное уравнение Гельмгольца

+ V X (“ X V) = VT’X VS, (2)

описывающее эволюцию завихренности в произвольном адиабатическом течении идеального сжимаемого газа*.

Рассмотрим некоторую ограниченную поверхностью о область G в плоском потенциальном стационарном течении (рис. 1), на которое наложены малые нестационарные пространственные возмущения, такие, что любую функцию течения можно представить как сумму двух слагаемых:

F(x, у, г, t) = Fо (х, у) + zf(x, у, z, t). (3)

Здесь е ^ 1 — малая величина. Такой подход является обычным для методов малых возмущений [3] и часто применяется при рассмотрении турбулентного движения (см., например, (4 — 8|).

Подставляя представление (3) в исходные уравнения и приравнивая нулю суммы членов одинакового порядка но з, получим (с учетом того, что *>„ = 0, yS0 = 0): для основного течения

н0 = Ср 7’о + = —р = const,

S0 = cv In (Г0р’-*) = const,

для возмущенного движения и первом приближении

VX(»X Vn) — V 7 0 X v5>

———h V^0 ■ VP’ + ®2′ VP-o + Po V’ ®2 + ?’ V • ‘ VPo> (7)

* Уравнением Гельмгольца называют соответствующее однородное уравнение, относящееся к случаю несжимаемой жидкости [2].

v = vl + v2, V X ^2 = 0;

м ■ 7Х®=?Х»ь V — = V’*>’>> ъ-, = уо,

d; dz a2 ds з da ds

Здесь a — | V0 lrmax — безразмерная скорость, m = (l— a2)*-1 — без-

b° dx _^’У° dy тор дифференцирования по времени, —— и d

эйлеров опера-— производные

в направлении линии тока и по нормали к ней в плоскости z = const основного течения соответственно. При выводе уравнений (11) использованы соотношения для плоских адиабатических течений в естественной системе координат [1|

а также связи между компонентами завихренности

U),, = (Up COS »> — Ю„ sin &, (Uy = ш; sin ft -f №„ COS O’, (13)

и между производными в декартовой системе координат и производными по направлениям касательной и нормали к линиям тока

^ п д ■ о д д . а д 1 д , 1 .,

dx d; On dy d; dn

где ft — угол отклонения скорости от некоторого фиксированного направления (рис. 2), a R в (11) и (12) — безразмерный локальный радиус кривизны линии тока.

Уравнение неразрывности для вихря (условие соленопдаль-ности вихревого поля) запишется с использованием (12) — (14) н виде:

dt дх дх dl ду «J » дф

Тогда, например, уравнение для энтропии запишем в виде:

о,оо I т , Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

тока, а поверхности жидких частиц (поверхности постоянной фазы)

не будут совпадать с поверхностями равного потенциала во всем поле течения.

Из последнего утверждения, а также из основных кинематических теорем Кельвина и Гельмгольца вытекает ряд важных следствий. Поскольку жидкие частицы должны находиться па поверхностях постоянной фазы, одновременно перемещаясь вдоль соответствующих линий тока, то имеет место:

Следствие 1. Вихревая линия, лежащая в некоторый момент времени на поверхности постоянной фазы, будет оставаться на ней и во все последующие моменты времени.

Следствие 2. Величина проекции вектора завихренности rot г» на направление касательной (к поверхности постоянной фазы), лежащей в одной плоскости с главно!! нормалью к линии тока, будет возрастать по сравнению с тем значением, которое она имела бы в соответствующем однородном течении, вместе с увеличением расстояния между линиями тока и ростом угла отклонения поверхности постоянной фазы от направления нормали, и уменьшаться — в противоположном случае.

Действительно, вихревая трубка претерпевает дополнительную деформацию вдоль поверхности постоянной фазы, и в силу теоремы Кельвина о сохранении циркуляции по замкнутому контуру величина rot г» возрастает (убывает) вместе с соответствующим уменьшением (увеличением) площади поперечного сечения вихревой трубки.

Следствие 3. В потенциальном неоднородном течении возмущенный поток завихренности в направлении линий тока не может сохраняться но всем поле течения.

Рассмотрим плоское потенциальное течение в канале переменного сечения. На рис. 4 изображена картина линий тока, линий равного потенциала и линий постоянной фазы в плоскости 2=сопз1. Элементарный объем жидкости, заключенный между двумя поверхностями тока 41 — т*! и =’Ь> плоскостями г = и г — г2 и фазовыми поверхностями и Т = Х2 в сечении С?, через некоторое

время займет новое положение в сечении О’. В силу уравнения неразрывности полный поток завихренности через поверхность выделенного объема равен нулю, а согласно теореме Кельвина в потенциальном течении циркуляция скорости по любому замкнутому контуру сохраняется при перемещении частиц, составляющих этот контур. Разлагая вектор завихренности на три компонента, нормальные к соответствующим площадкам в начальном сечении (рис. 5), можно записать следующие соотношения между компо-

яинии тонн >> рабнаго потенций ля и постоянной фазы

Сечение Q Сечение Q’

центами вихря в сечениях Q и Q’ с использованием теоремы

1 V-dl = | (rot V)\dndz ^ и? А5пг;

(j) V-dl = \ (rot V). dndz

§ V dl — f (rot V)n d’dz — шо ЛS;Z;

I V dt = / (rot V)„ d\dz

«/ COS $ASlz = % A5: A’BCD’

ф V dl— [ (rot V)z d\ dn

V. dl = J (rot V), d-dn — шг Д5=„.

В соответствии с уравнением неразрывности для основного течения и уравнением движения фазовой поверхности имеем:

fj YrS — р’ V’ 5′ = const,

^5„г _ г/ У’ _______ 7/м ^lz _ V _ or,, _ о’ _ /п

п для компонентов вихря в сечении Q’ получим:

Следовательно, компонент завихренности «>= претерпевает дополнительное изменение, пропорциональное компоненту w„ и тангенсу локального угла между поверхностно постоянной фазы н главной нормалью к линии тока. Сохранение потока завихренности возможно лишь для тех областей течения, в которых поверхности постоянной фазы всюду ортогональны к линиям тока (например, на оси симметрии основного течения).

Таким образом, (18), (19) дают общие выражения для компонентов возмущений завихренности в потенциальном неоднородном поле в рамках линейного приближения, если начальные функции ‘•*?, or», ш“ удовлетворяют условию соленоидальности. Наличие возмущении энтропии, которые распространяются вместе с теми же фазовыми поверхностями вдоль линий тока, что и компоненты завихренности, приводит лишь к изменению величин отдельных компонентов, однако сами вихревые линии остаются на тех же фазовых поверхностях и линиях тока. Очевидно, что указанные закономерности имеют место лишь в идеальной (невязкой) жидкости, в которой отсутствуют диффузия завихренности и теплопередача между соседними слоями.

4. Отметим, что применение теорем Гельмгольца без учета деформаций сдвига при рассмотрении эволюции спектров турбулентных возмущений в каналах переменного сечения (см. работы Рибнера >5] и Бэтчелора |6]) не позволяет получить выражение для дополнительного слагаемого Дш:. В этом, по-видимому, заключается одна из причин того, что рассчитанные в упомянутых работах уровни поперечных пульсаций скорости после прохождения области неоднородности, как отмечают сами авторы, плохо согласуются с экспериментальными результатами. Использование общих решений, полученных в данной работе, может, по крайней мере частично, исправить этот недостаток. Действительно, наличие слагаемого с % в компоненте возмущений Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Столяров Е. П.

Рассмотрено линеаризованное неоднородное уравнение Гельмгольца, описывающее распространение малых нестационарных возмущений завихренности (в том числе при наличии возмущений энтропии) в потенциальных двумерных течениях идеального сжимаемого газа. Получено его общее решение. На основании кинематических теорем установлены закономерности, которым подчиняются течения рассмотренного вида. В частности, отмечается, что поток завихренности в направлении линий тока в общем случае не сохраняется.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Столяров Е. П.

Текст научной работы на тему «Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа»

РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА, ОПИСЫВАЮЩЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ МАЛЫХ ВИХРЕВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА

1. Уравнения, описывающие нестационарные адиабатические течения сжимаемого идеального газа, можно записать в форме (см., например, [1]):

завихренность, H — cpT -f-

S, о, T — энтропия, плотность и температура соответственно.

Для замыкания системы (1) необходимо ее дополнить уравнением состояния, которое запишем в виде:

Применяя операцию rot к первому уравнению системы (1), получим неоднородное уравнение Гельмгольца

+ V X (“ X V) = VT’X VS, (2)

описывающее эволюцию завихренности в произвольном адиабатическом течении идеального сжимаемого газа*.

Рассмотрим некоторую ограниченную поверхностью о область G в плоском потенциальном стационарном течении (рис. 1), на которое наложены малые нестационарные пространственные возмущения, такие, что любую функцию течения можно представить как сумму двух слагаемых:

F(x, у, г, t) = Fо (х, у) + zf(x, у, z, t). (3)

Здесь е ^ 1 — малая величина. Такой подход является обычным для методов малых возмущений [3] и часто применяется при рассмотрении турбулентного движения (см., например, (4 — 8|).

Подставляя представление (3) в исходные уравнения и приравнивая нулю суммы членов одинакового порядка но з, получим (с учетом того, что *>„ = 0, yS0 = 0): для основного течения

н0 = Ср 7’о + = —р = const,

S0 = cv In (Г0р’-*) = const,

для возмущенного движения и первом приближении

VX(»X Vn) — V 7 0 X v5>

———h V^0 ■ VP’ + ®2′ VP-o + Po V’ ®2 + ?’ V • ‘ VPo> (7)

* Уравнением Гельмгольца называют соответствующее однородное уравнение, относящееся к случаю несжимаемой жидкости [2].

v = vl + v2, V X ^2 = 0;

м ■ 7Х®=?Х»ь V — = V’*>’>> ъ-, = уо,

d; dz a2 ds з da ds

Здесь a — | V0 lrmax — безразмерная скорость, m = (l— a2)*-1 — без-

b° dx _^’У° dy тор дифференцирования по времени, —— и d

эйлеров опера-— производные

в направлении линии тока и по нормали к ней в плоскости z = const основного течения соответственно. При выводе уравнений (11) использованы соотношения для плоских адиабатических течений в естественной системе координат [1|

а также связи между компонентами завихренности

U),, = (Up COS »> — Ю„ sin &, (Uy = ш; sin ft -f №„ COS O’, (13)

и между производными в декартовой системе координат и производными по направлениям касательной и нормали к линиям тока

^ п д ■ о д д . а д 1 д , 1 .,

dx d; On dy d; dn

где ft — угол отклонения скорости от некоторого фиксированного направления (рис. 2), a R в (11) и (12) — безразмерный локальный радиус кривизны линии тока.

Уравнение неразрывности для вихря (условие соленопдаль-ности вихревого поля) запишется с использованием (12) — (14) н виде:

dt дх дх dl ду «J » дф

Тогда, например, уравнение для энтропии запишем в виде:

о,оо I т , Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

тока, а поверхности жидких частиц (поверхности постоянной фазы)

не будут совпадать с поверхностями равного потенциала во всем поле течения.

Из последнего утверждения, а также из основных кинематических теорем Кельвина и Гельмгольца вытекает ряд важных следствий. Поскольку жидкие частицы должны находиться па поверхностях постоянной фазы, одновременно перемещаясь вдоль соответствующих линий тока, то имеет место:

Следствие 1. Вихревая линия, лежащая в некоторый момент времени на поверхности постоянной фазы, будет оставаться на ней и во все последующие моменты времени.

Следствие 2. Величина проекции вектора завихренности rot г» на направление касательной (к поверхности постоянной фазы), лежащей в одной плоскости с главно!! нормалью к линии тока, будет возрастать по сравнению с тем значением, которое она имела бы в соответствующем однородном течении, вместе с увеличением расстояния между линиями тока и ростом угла отклонения поверхности постоянной фазы от направления нормали, и уменьшаться — в противоположном случае.

Действительно, вихревая трубка претерпевает дополнительную деформацию вдоль поверхности постоянной фазы, и в силу теоремы Кельвина о сохранении циркуляции по замкнутому контуру величина rot г» возрастает (убывает) вместе с соответствующим уменьшением (увеличением) площади поперечного сечения вихревой трубки.

Следствие 3. В потенциальном неоднородном течении возмущенный поток завихренности в направлении линий тока не может сохраняться но всем поле течения.

Рассмотрим плоское потенциальное течение в канале переменного сечения. На рис. 4 изображена картина линий тока, линий равного потенциала и линий постоянной фазы в плоскости 2=сопз1. Элементарный объем жидкости, заключенный между двумя поверхностями тока 41 — т*! и =’Ь> плоскостями г = и г — г2 и фазовыми поверхностями и Т = Х2 в сечении С?, через некоторое

время займет новое положение в сечении О’. В силу уравнения неразрывности полный поток завихренности через поверхность выделенного объема равен нулю, а согласно теореме Кельвина в потенциальном течении циркуляция скорости по любому замкнутому контуру сохраняется при перемещении частиц, составляющих этот контур. Разлагая вектор завихренности на три компонента, нормальные к соответствующим площадкам в начальном сечении (рис. 5), можно записать следующие соотношения между компо-

яинии тонн >> рабнаго потенций ля и постоянной фазы

Сечение Q Сечение Q’

центами вихря в сечениях Q и Q’ с использованием теоремы

1 V-dl = | (rot V)\dndz ^ и? А5пг;

(j) V-dl = \ (rot V). dndz

§ V dl — f (rot V)n d’dz — шо ЛS;Z;

I V dt = / (rot V)„ d\dz

«/ COS $ASlz = % A5: A’BCD’

ф V dl— [ (rot V)z d\ dn

V. dl = J (rot V), d-dn — шг Д5=„.

В соответствии с уравнением неразрывности для основного течения и уравнением движения фазовой поверхности имеем:

fj YrS — р’ V’ 5′ = const,

^5„г _ г/ У’ _______ 7/м ^lz _ V _ or,, _ о’ _ /п

п для компонентов вихря в сечении Q’ получим:

Следовательно, компонент завихренности «>= претерпевает дополнительное изменение, пропорциональное компоненту w„ и тангенсу локального угла между поверхностно постоянной фазы н главной нормалью к линии тока. Сохранение потока завихренности возможно лишь для тех областей течения, в которых поверхности постоянной фазы всюду ортогональны к линиям тока (например, на оси симметрии основного течения).

Таким образом, (18), (19) дают общие выражения для компонентов возмущений завихренности в потенциальном неоднородном поле в рамках линейного приближения, если начальные функции ‘•*?, or», ш“ удовлетворяют условию соленоидальности. Наличие возмущении энтропии, которые распространяются вместе с теми же фазовыми поверхностями вдоль линий тока, что и компоненты завихренности, приводит лишь к изменению величин отдельных компонентов, однако сами вихревые линии остаются на тех же фазовых поверхностях и линиях тока. Очевидно, что указанные закономерности имеют место лишь в идеальной (невязкой) жидкости, в которой отсутствуют диффузия завихренности и теплопередача между соседними слоями.

4. Отметим, что применение теорем Гельмгольца без учета деформаций сдвига при рассмотрении эволюции спектров турбулентных возмущений в каналах переменного сечения (см. работы Рибнера >5] и Бэтчелора |6]) не позволяет получить выражение для дополнительного слагаемого Дш:. В этом, по-видимому, заключается одна из причин того, что рассчитанные в упомянутых работах уровни поперечных пульсаций скорости после прохождения области неоднородности, как отмечают сами авторы, плохо согласуются с экспериментальными результатами. Использование общих решений, полученных в данной работе, может, по крайней мере частично, исправить этот недостаток. Действительно, наличие слагаемого с % в компоненте возмущений Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.