Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.
Метод введения двух функций (Бернулли)
Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(1)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.
Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).
Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем
Окончательно находим:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли
Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(3)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv :
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:
Или
Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).
Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.
Общее решение уравнения:
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 24-07-2012 Изменено: 27-02-2015
Дифференциальное уравнение Бернулли
Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.
Приведение к линейному уравнению 1 порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .
Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .
Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:
y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )
Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.
Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .
Решение
По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как
y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x
Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.
Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:
d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1
Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.
Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .
Отсюда следует, что производится подстановка вида
C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3
С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:
z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2
Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .
Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.
Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )
Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .
Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:
u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n
Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида
u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .
Отсюда следует определить функцию u .
Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .
Решение
Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .
Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .
Перейдем к поиску общего решения.
Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде
y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1
Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что
d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1
В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что
u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )
Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.
Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что
∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .
Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что
∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4
— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C
Отсюда находим, что
y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .
На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что
y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .
Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .
14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(X)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .
При этом очевидно, что — дифференцирование по частям.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Далее следует важное замечание – т. к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Например, функция может быть представлена как
и т. п.
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .
Таким образом, возможно получить функцию U, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
Для нахождения второй неизвестной функции V подставим поученное выражение для функции U В исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
Интегрируя, можем найти функцию V:
; ;
Т. е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
Окончательно получаем формулу:
, С2 — произвольный коэффициент.
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) — французский математик, през. Берлинской АН,
Поч. чл. Пет. АН (1776)).
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом Вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
.
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.
Пример. Решить уравнение
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:
Применим полученную выше формулу:
Определение. Уравнением Бернулли Называется уравнение вида
Где P и Q – функции от Х или постоянные числа, а N – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на Yn.
Применим подстановку, учтя, что .
Т. е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Пример. Решить уравнение
Разделим уравнение на Xy2:
Полагаем
.
Полагаем
Произведя обратную подстановку, получаем:
Пример. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на
Полагаем
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:
Получаем:
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
Называется Уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции U, после чего решение легко находится в виде:
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции U;
2) как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма Является полным дифференциалом некоторой функции U, то можно записать:
Т. е. .
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по У, а второе – по Х:
Приравнивая левые части уравнений, получаем Необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется Условием тотальности.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции U.
Проинтегрируем равенство :
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т. к. при интегрировании переменная У полагается постоянным параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по У.
Откуда получаем:
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от Х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по Х равна нулю.
Теперь определяем функцию С(у):
Подставляя этот результат в выражение для функции U, получаем:
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример. Решить уравнение
Проверим условие тотальности:
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию U.
;
Итого,
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента Х, а в другом – функции У, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.
Для уравнения первого типа получаем:
Делая замену, получаем:
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
Исключив из этой системы параметр Р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида X = F(Y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
Уравнения Лагранжа и Клеро.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик
Ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа Называется дифференциальное уравнение, линейное относительно Х и У, коэффициенты которого являются функциями от Y’.
Для нахождения общего решение применяется подстановка P = Y’.
Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:
Если решение этого (линейного относительно Х) уравнения есть То общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
Определение. Уравнением Клеро Называется уравнение первой степени (т. е. линейное) относительно функции и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С учетом замены , уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или
В первом случае:
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр Р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение.)
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
Дифференцируя, получаем:
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:
Итого, общее решение:
C учетом начального условия Определяем постоянный коэффициент C.
Окончательно получаем:
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
Пример. Найти общий интеграл уравнения .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл имеет вид:
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.
С = — 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2
С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2
Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение имеет вид:
Найдем частное решение при заданном начальном условии У(0) = 0.
Окончательно получаем:
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Тогда
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Итого
С учетом начального условия у(0) = 0 получаем
Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.
Пример. Решить уравнение С начальным условием у(0) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции У и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Итого
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.
(верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Окончательно
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
С начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.
С учетом начального условия:
Окончательно
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Подставим в исходное уравнение:
Общее решение будет иметь вид:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Обозначим:
Уравнение принимает вид:
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Сделаем обратную замену:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = е:
Частное решение:
Второй способ решения.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:
Решение исходного уравнения ищем в виде:
Тогда
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Получаем общее решение:
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
Уравнение принимает вид:
Делаем обратную подстановку:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Второй способ решения.
Замена переменной:
Общее решение:
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/differentsialnoe-uravnenie-bernulli/
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/kurs-vysshei-matematiki-3/14-lineinye-neodnorodnye-differentcialnye-uravneniia-metod-bernulli