Решение неоднородных уравнений первой степени относительно sin x и cos x
Разделы: Математика
При изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе достаточное внимание уделяется рассмотрению примеров решений уравнений, сводящихся к квадратным и решению однородных уравнений первой и второй степени относительно sin x и cos x. При этом практически не рассматриваются примеры решения уравнений первой степени, являющихся неоднородными относительно функций sin x и cos x.
Изучая в школьном курсе 10 класса тему «Преобразование тригонометрических выражений», целесообразно ввести формулу a sinx + b cosx = 
sin(x+
), где tg 
= 
. В дальнейшем она будет использоваться при решении неоднородных линейных уравнений. Формулы универсальной подстановки и формулы половинного аргумента выводятся в теме «Преобразование тригонометрических выражений» при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений.
Цели:
- ввести понятие неоднородного тригонометрического уравнения I степени;
- ознакомить с алгоритмами решения неоднородных тригонометрических уравнений I степени;
- проверить прочность усвоения ранее изученных формул тригонометрии.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: индивидуальная и фронтальная работа с учащимися.
Ход урока
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя: Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» кроме рассмотренного нами ранее вопроса о способах решения однородных тригонометрических уравнений I степени предполагает также рассмотрение способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Но прежде, чем мы перейдем к изучению нового материала, необходимо вспомнить применение формул тригонометрии при решении уравнений и неравенств.
II. Актуализация опорных знаний, умений
Математический диктант (10-12 минут).
| I вариант | II вариант | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
| Ответы варианта I | Ответы варианта II | ||||||||||||
| (-1) | ||||||||||||
3x = 
— 
0
2x = 
+ 
; 
+ 
, n 
n; (-1)
+ 
n, n 
n; arctg(-
) + 
n, n 
+ 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n 
+ 
; (-1) 
+ 
, n 
+ 
n; 
+ 2
n, n 
n; arctg 
+ 
n, n 
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n 
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n 
sin(x+
), где 
= arctg 
если a 
+ b 
c
, то уравнение имеет корни
cos 
— sin
sin 3x (через введение дополнительного угла)  sin (2x +  ) =  sin 3x sin (2x +  ) = sin 3x sin (2x +  ) — sin 3x = 0 2 sin  cos  = 0 | ||
sin ( ) = 0 sin (  —  ) = 0 x =  + 2 n, где n | или | cos ( ) = 0 cos (  +  ) = 0 x =  +  , где n |
2) 3 sin x – 4 cos x = 5 (применение универсальной подстановки)
3
— 4
6 tg
(tg
x = 2 arctg3 + 2
— 4 
= 5 
— 4 (1 — tg
) = 5 (1 + tg
) 
— 3) 
= 0 
n, где n
3) cos x – sin x = 1 (через переход к функциям половинного аргумента)
cos
2 sinsin
x = 2или sin
tg
x = —
— sin
— 2 sin
cos 
= sin
+ cos
(sin 
+ cos
) = 0
= 0 
n
+ cos 
= 0 – однородное первой степени 
= -1 
+ 2
nДля самостоятельной работы учащихся (перед началом указываются способы решения):
1) sin x + cos x = 
(через введение дополнительного угла)
sin (x +
x =
sin (x + 
) = 
) = 1 
+ 2
n, где n
2) 3 sin x + 5 cos x= 6 (универсальная подстановка)
3
6 tg
11 tg
решений нет, так как D 11.06.2011
+ 5 
= 6 
+5 — 5 tg
= 6 + 6 tg
— 6 tg 
+ 1= 0 Неоднородные тригонометрические уравнения первого порядка
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos 
и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij