Решение неоднородных уравнений первой степени относительно sin x и cos x
Разделы: Математика
При изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе достаточное внимание уделяется рассмотрению примеров решений уравнений, сводящихся к квадратным и решению однородных уравнений первой и второй степени относительно sin x и cos x. При этом практически не рассматриваются примеры решения уравнений первой степени, являющихся неоднородными относительно функций sin x и cos x.
Изучая в школьном курсе 10 класса тему «Преобразование тригонометрических выражений», целесообразно ввести формулу a sinx + b cosx = 
sin(x+
), где tg 
= 
. В дальнейшем она будет использоваться при решении неоднородных линейных уравнений. Формулы универсальной подстановки и формулы половинного аргумента выводятся в теме «Преобразование тригонометрических выражений» при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений.
Цели:
- ввести понятие неоднородного тригонометрического уравнения I степени;
- ознакомить с алгоритмами решения неоднородных тригонометрических уравнений I степени;
- проверить прочность усвоения ранее изученных формул тригонометрии.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: индивидуальная и фронтальная работа с учащимися.
Ход урока
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя: Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» кроме рассмотренного нами ранее вопроса о способах решения однородных тригонометрических уравнений I степени предполагает также рассмотрение способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Но прежде, чем мы перейдем к изучению нового материала, необходимо вспомнить применение формул тригонометрии при решении уравнений и неравенств.
II. Актуализация опорных знаний, умений
Математический диктант (10-12 минут).
| I вариант | II вариант | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
| Ответы варианта I | Ответы варианта II | ||||||||||||
|
(-1) | ||||||||||||
3x = 
— 
0
2x = 
+ 
; 
+ 
, n 
n; (-1)
+ 
n, n 
n; arctg(-
) + 
n, n 
+ 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n 
+ 
; (-1) 
+ 
, n 
+ 
n; 
+ 2
n, n 
n; arctg 
+ 
n, n 
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n 
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n 
sin(x+
), где 
= arctg 
если a 
+ b 
c
, то уравнение имеет корни
cos 
— sin
sin 3x (через введение дополнительного угла)  sin (2x +  ) =  sin 3x sin (2x +  ) = sin 3x sin (2x +  ) — sin 3x = 0 2 sin  cos  = 0 | ||
sin ( ) = 0 sin (  —  ) = 0 x =  + 2 n, где n | или | cos ( ) = 0 cos (  +  ) = 0 x =  +  , где n |
2) 3 sin x – 4 cos x = 5 (применение универсальной подстановки)
3
— 4
6 tg
(tg
x = 2 arctg3 + 2
— 4 
= 5 
— 4 (1 — tg
) = 5 (1 + tg
) 
— 3) 
= 0 
n, где n
3) cos x – sin x = 1 (через переход к функциям половинного аргумента)
cos
2 sinsin
x = 2или sin
tg
x = —
— sin
— 2 sin
cos 
= sin
+ cos
(sin 
+ cos
) = 0
= 0 
n
+ cos 
= 0 – однородное первой степени 
= -1 
+ 2
nДля самостоятельной работы учащихся (перед началом указываются способы решения):
1) sin x + cos x = 
(через введение дополнительного угла)
sin (x +
x =
sin (x + 
) = 
) = 1 
+ 2
n, где n
2) 3 sin x + 5 cos x= 6 (универсальная подстановка)
3
6 tg
11 tg
решений нет, так как D 11.06.2011
+ 5 
= 6 
+5 — 5 tg
= 6 + 6 tg
— 6 tg 
+ 1= 0 Методические рекомендации для преподавателя по проведению теоретического занятия Тема: «Однородные и неоднородные тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
Методические рекомендации разработаны на основе Федерального государственного стандарта среднего профессионального образования по специальности 33.02.01 Фармация, утвержденной приказом Министерства образования и науки РФ от 12.05.2014 N 501
Содержание общеобразовательной учебной дисциплины ОУД.03 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» в процессе освоения студентами ППССЗ с получением среднего общего образования, разработанной в соответствии с требованиями ФГОС СПО нового поколения.
Просмотр содержимого документа
«Методические рекомендации для преподавателя по проведению теоретического занятия Тема: «Однородные и неоднородные тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»»
ФИЛИАЛ «САМАРСКИЙ МЕДИКО-СОЦИАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
ГБПОУ «САМАРСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ им. Н. ЛЯПИНОЙ»
Методические рекомендации для преподавателя по проведению теоретического занятия
Тема: «Однородные и неоднородные тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
ДИСЦИПЛИНЫ ОУД.03 «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ»
программы подготовки специалистов среднего звена по специальностям 33.02.01 Фармация
(базовый уровень подготовки)
Составитель: Котова Ю.Ю., преподаватель филиала «СМСК» ГБПОУ «СМК им.Н.Ляпиной»
Методические рекомендации разработаны на основе Федерального государственного стандарта среднего профессионального образования по специальности 33.02.01 Фармация, утвержденной приказом Министерства образования и науки РФ от 12.05.2014 N 501
Содержание общеобразовательной учебной дисциплины ОУД.03 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» в процессе освоения студентами ППССЗ с получением среднего общего образования, разработанной в соответствии с требованиями ФГОС СПО нового поколения.
1.Учебно — методическая карта занятия
2.Конспект теоретического материала
3.Перечень основной и дополнительной литературы, ресурсы Интернета
4. Приложение №1. Самостоятельная работа «Основные соотношениям между тригонометрическими функциями и решения простейших тригонометрических уравнений»
5. Приложение №2 Эталоны ответов к самостоятельной работе
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ
Специальность 33.02.01 «Фармация» «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
Тема: «Однородные и неоднородные тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
Организационные формы: теоретическое занятие– 1 (90 мин)
Форма работы: индивидуальная, индивидуально-групповая, групповая
Тип занятия: комбинированное
Вид нетрадиционного занятия: урок с использованием элементов технологии «Развитие критического мышления через чтение и письмо» с использованием стратегии «Чтение с остановками», включает в себя три стадии: вызов, осмысление, рефлексия.
Методы обучения: частично-поисковая работа с конспектом лекции по методу развития критического мышления через чтение и письмо.
Образовательная: актуализировать, расширить и обобщить знания учащихся о способах решения тригонометрических уравнений; ввести понятие однородного тригонометрического уравнения; отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений; применять знания, полученные в темах: «Простейшие тригонометрические уравнения» и «Обратные тригонометрические функции» при решении однородных и неоднородных тригонометрических уравнений; активизировать внимание; актуализировать новые знания; закрепить сведения, формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать; добиться прочного усвоения системы знаний по теме «Тригонометрия».
Развивающая: формировать навыки самообразования, развитие речи, мышления, памяти. формировать умение систематизировать, обобщать, выделять главное; развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, развивать логику, умение работать с текстом, делать выводы, анализировать информацию, способствующую формированию социально-гуманитарной и естественнонаучной картины мира; обогатить словарный запас, развивать познавательную активность студентов с помощью проблемных вопросов.
Воспитательная: прививать умения и навыки учебной работы, формировать у студентов целостное миропонимание и современное научное мировоззрение, создать атмосферу доброжелательности, воспитать чувство ответственности, уважения друг к другу, уверенности в себе, формировать умение отстаивать собственную позицию, воспитывать трудолюбие и прилежание, аккуратность, культуру поведения, любовь к труду, упорство в достижении поставленной цели.
Формирующая: освоение общих компетенций.
Наименование результата обучения
Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество
Принимать решения в стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них ответственность
Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности
Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных),
за результат выполнения заданий
Здоровьесберегающая: создать благоприятную атмосферу в образовательном пространстве, четко структурировать занятие с учетом работоспособности студентов, менять виды деятельности, использовать задания различного типа, соблюдать режим проветривания, проводить занятия с учетом санитарно-гигиенических требований.
Место проведения: кабинет математики
Башмаков М.И. Математика: кн. для преподавателя /М.И.Башмаков. — М.: Мнемозина, 2011.-365с.
Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни), 10—11 классы / Ш.А. Алимов — М.: Наука, 2014.-232с.
Атанасян Л.С., Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы./ Л.С. Атанасян — М.: Наука, 2014.-247с.
Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования./ М.И. Башмаков— М.: Наука, -2014.- 383с.
Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. / М.И. Башмаков— М. Наука, 2014.-356с.
Технические средства обучения (оборудование): мультимедийный проектор, компьютер.
Средства контроля: диктант, структурно-логические схемы, карточки-задания, упражнения.
Межпредметные связи с предметом «Физика» тема «Механические колебания и волны», «Колебания и волны», «Динамика», «Кинематика».
Внутрипредметные связи с темами «Радианное измерение углов. Основные понятия тригонометрии», «Тригонометрические функции числового аргумента», «Основные тригонометрические тождества», «Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики», «Простейшие тригонометрические уравнения».
Выход: умение решать тригонометрические уравнения.
После изучения темы студент должен
Владеть: приемами решения однородных и неоднородных тригонометрических уравнений.
уметь: определять тип и вид тригонометрических уравнений.
знать: методы решения тригонометрических уравнений
СТРУКТУРА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ
План проведения занятия
Тема: «Однородные и неоднородные тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
Взаимное приветствие, проверка подготовленности учащихся к уроку (контроль формы одежды. отметка отсутствующих, готовность рабочего места). Объявление темы и определение цели занятия.
Подготовить обучающихся к работе, мобилизировать внимание.
Раскрыть важность и актуальность темы.
Активизировать познавательную деятельность обучающихся воспроизведение ранее усвоенных знаний и применение их в новых ситуациях
Контроль исходного уровня знаний.
Выполнение самостоятельной работы — математический диктант по предыдущему теоретическому материалу: основным соотношениям между тригонометрическими функциями и знание стандартных решений простейших тригонометрических уравнений.
Закрепить пройденный материал, выяснить степень готовности к занятию, подготовить к последующей учебной деятельности.
Изучение нового материала по теме: «Тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
1) Стадия вызова— актуализация знаний учащихся по теме; пробуждение интереса к изучаемой теме, мотивация каждого ученика к учебной деятельности. Преподаватель мотивирует студентов к изучению данной темы аргументируя необходимость ее изучения тем, что она применима во многих областях знания: в физике, биологии, астрономии, медицине. Затем студентам предлагается прочитать уравнения из таблицы с набором тригонометрических уравнений и определить способ их решения. В результате остаются три уравнения, для которых не подходит ни один из известных студентам способов решения. Два первых уравнения в математике называются однородными, третье – неоднородным, для каждого есть свой способ решения.
2) Стадия осмысления – преподаватель задает следующие вопросы:
Что можно сказать о каждом из этих уравнений?
Что общего между ними?
Подтвердить или опровергнуть свои предположения, студенты должны прочитав фрагмент текста.
Остановки в чтении и беседа. (Стадия осмысления предыдущего фрагмента и одновременно стадия вызова для следующего фрагмента текста.) Таких остановок три, задаются вопросы:
как вы думаете, какой способ решения имеют уравнения такого вида?
почему при делении на старшую степень синуса или косинуса не происходит потери корней?
3) Стадия рефлексии — оценка своих знаний, осмысление и присвоение полученной информации.
Найти среди уравнений однородные и неоднородные, определить их вид и указать способ решения.
Возврат к нерешенным уравнениям и попытка их решить самостоятельно.
Обмен тетрадями и взаимопроверка.
4) Стадия вызова – третье уравнение очень похоже на однородное, но нет равенство нулю.
оно неоднородное, как решаются такие уравнения? Ответ находим в тексте.
6) рефлексии — решение двух неоднородных уравнений у доски.
Во время остановок в чтении фрагментов текста, в результате беседы, на доске, преподаватель фиксирует в кластере основные теоретические знания, выделенные студентами, а они заносят их в себе
Приобретение и закрепление новых знаний.
Итог. Выставление оценок за занятие. Задание на дом: подготовиться к следующему математическому диктанту по теме: «Виды и методы решения тригонометрических уравнений» и решить уравнения, заданные на дом.
Нацелить обучающихся на самостоятельную внеаудиторную работу дома
2) Конспект теоретического материала
Тема занятия: «Однородные и неоднородные тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
1. Программированная инструкция к самостоятельной работе по предыдущему теоретическому материалу: основные соотношениям между тригонометрическими функциями и решения простейших тригонометрических уравнений.
Содержание этапов работы
Проверка знания значений аркфункций
Запишите в таблицу углы, соответствующие значениям аркфункций (Приложение№1)
Формирование общих компетенций фармацевта. Выработка умения систематизировать, обобщать, выделять главное, развивать вычислительные навыки, анализировать, сравнивать, противопоставлять, делать выводы. Тренировка памяти и внимания.
Повторение и проверка знаний основных тригонометрических тождеств
Запишите основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
Повторение и проверка знаний формул решений простейших тригонометрических уравнений
Запишите простейшие тригонометрические уравнения и их решения
2. Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно, ведь они основа всех наук». Действительно, самые разные процессы описываются с помощью тригонометрических уравнений, в том числе и биологические, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, передача возбуждения по нервной ткани, работа сердца и мозга, прием и воспроизведение звука и т. д. Сегодня на уроке мы продолжим разговор про тригонометрические уравнения, вспомним про то, что уже знаем и научимся определять и решать уравнения нового типа. Тригонометрия традиционно включается в материалы экзаменов, конкурсов, олимпиад. В связи с этим очень важно научиться решать тригонометрические уравнения, распознавать их виды и правильно определять методы их решения. С этого и начнем. (Стадия вызова)
На доске написан набор тригонометрических уравнений. Учащимся предлагается, прочитав уравнение, определить способ его решения.
cos (4х – 2) = 
-1/2;
формула общего вида решения тригонометрических уравнений
cos 2 х – 2cos х = 0;
вынесение за скобку общего множителя
cos 2 х– sin 2 х = 1;
основные тр-кие формулы
3sin 2 х – 5sin х – 2 = 0;
сводимое к квадратному
(tg х— √3)(2sin 
+ 1) = 0;
равенство нулю произведения
с помощью единичного круга
Учащиеся называют уравнение и обозначают способ его решения. В результате остаются три уравнения, для которых не подходит ни один из известных студентам способов решения:
Два первых уравнения в математике называются однородными, а третье – неоднородным, для каждого есть свой способ решения они нам пока не известны но уметь их решать очень важно.
Итак, тема нашего урока: Тригонометрические уравнения, их виды и методы решения»
(Стадия осмысления) Пятое, восьмое и девятое уравнения решить известными способами не удалось. Что можно сказать о них? Чем они отличается от остальных? В чем их различие? Давайте подтвердим или опровергнем свои предположения, прочитав фрагмент текста:
Уравнение вида аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;
Уравнение вида аsin 2 х + bsin х cos х + c cos 2 x = 0 где a 
0, b0, с0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Вообще, однородным относительно sin х и cos х называется уравнение вида а0sin n х + а1sin n -1 хcos х+…+аn-1 sin хcos n -1 х+аncos n х=0, где а0, а1, …аn – действительные числа. Сумма степеней синуса и косинуса в каждом слагаемом левой части одинакова и равна числу n, называемом показателем однородности.
Отличительные признаки однородных уравнений: а) все одночлены имеют одинаковую степень, б) свободный член равен нулю, в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Примеры: 
— однородное уравнение первой степени; 
— однородное уравнение второй степени.
Остановка в чтении и беседа. (Стадия осмысления предыдущего фрагмента и одновременно стадия вызова для следующего фрагмента текста.) Как вы думаете, какой способ решения имеют уравнения такого вида? Предположения записываются на доске.
Текст: При делении уравнения аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. При делении уравнения аsin 2 х + bsin х cos х + c cos 2 x = 0, где a 0, b0, с0 на cos 2 x ≠ 0 корни этого уравнения так же не теряются. Следовательно, основной способ решения однородных уравнений заключается в делении на старшую степень синуса или косинуса.
Остановка в чтении и беседа. (Это стадия осмысления предыдущего фрагмента и одновременно стадия вызова для следующего фрагмента текста). Почему при делении на старшую степень синуса или косинуса не происходит потери корней? Ведь раньше мы всегда говорили, что делить нельзя?
Текст: Рассмотрим тригонометрическое уравнение второй степени. И предположим обратное. Пусть cosх равен нулю, но тогда в уравнении аsin 2 х + bsin х cos х + c cos 2 x = 0 и sinх будет равен нулю, но sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству. Аналогичная ситуация и для однородного тригонометрического уравнения первой степени. Значит, при делении потери корней не происходит, а, следовательно, делить можно. (Стадия рефлексии)
1. Нужно найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.
sinx = 2cosx – однородное первой степени
√3sin3x – cos3x = 0 – однородное первой степени
sin 2 x – 2sinx – 3 = 0 –сводимое к квадратному
2cos 2 x + 3sin 2 x + 2cosx = 0 – сводимое к квадратному
6sin 2 x – cos 2 x – 5sinxcosx = 0 – однородное второй степени
2. Вернемся к нашим нерешенным уравнениям и попробуем решить их.
Обменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте решение.
3. Решите другие однородные тригонометрические уравнения:
3sin 2 х — 5sin х cos х + 2 cos 2 х=0
sin 3 х — sin 2 х cos х — 4sin х cos 2 х + 4 cos 3 х=0
4sin х cos х + 6 cos 2 х=1(рассмотреть два способа решения)
Мы поработали с однородными уравнениями, но у нас осталось третье нерешенное уравнение. Так как его правая часть не равна нулю, оно не является однородным, но может быть, общими усилиями, мы найдем способ превратить его в однородное, какие есть предположения? (Вызов, звучат предположения). Ознакомьтесь с текстом и проверьте свои предположения.
Неоднородные уравнения вида аsin x + bcos x = k , аsin 2 х + bsin х cos х + ccos 2 x = k решаются приведением к однородному виду путем замены: k = k*1 = k*(sin 2 x+cos 2 x) = k* sin 2 x + k*cos 2 x и последующим переносом этих слагаемых в левую часть равенства. Таким образом после приведения подобных слагаемых мы получаем однородное уравнение второй степени, имеющее вид: (b – k)sin 2 х + bsin х cos х + (c – k) cos 2 x = 0, которое стандартно решается уже разобранным способом.
Итак теперь мы можем решить последнее оставшееся в таблице уравнение и еще одно, очень похожее на него, сделаем это у доски.
3sin 2 х — 5sin х cos х + 2 cos 2 х = 5
Сегодня вы познакомились с последней темой раздела «Тригонометрия». На следующем занятии будет проводиться итоговое повторение и контрольная работа. Поэтому на дом, кроме теоретических вопросов, рассмотренных по сегодняшней теме, нужно повторить всю теорию раздела и решить следующие уравнения:
§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.
Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.
20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.
Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Задача 1. Решите уравнение 
.png)
З а м е ч а н и е.
Записывая решения задачи 1, можно при введении замены sin x = t учесть, что | sin x | ≤1 , и записать ограничения | t | ≤ 1 , а далее заметить, что один из корней t = 3 не удовлетворяет условию | t | ≤1 , и после этого обратную замену выполнять только для t = 1/2 .
Задача 2. Решите уравнение .png)
.
К о м м е н т а р и й
В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.
.png)
При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.
1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.
2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.
3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.
4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.
20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)
Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.
З а м е ч а н и е.
При желании ответ можно записать в виде: .png)
Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.
.png)
20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ
.png)
Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.
Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.
З а м е ч а н и е.
Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.
Задача 1 Решите уравнение .png)
.png)
Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.
.png)
Задача 3 Решите уравнение .png)
.png)
20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.
.png)
Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.
.png)
.png)
20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:
находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.
Пример Решите уравнение
.png)
І способ решения
.png)
З а м е ч а н и е.
При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.
Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.
Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.
ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.
http://multiurok.ru/files/mietodichieskiie-riekomiendatsii-dlia-priepodava-4.html
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/283