Неполное уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой

Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение Ax + By + C = 0 называется неполным уравнением прямой на плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С равен нулю.

Если коэффициент B = 0, A ≠ 0 ≠ C , то из уравнения Ax + By + C = 0 следует x = — C / A = a. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу, отсекающей от оси Ох отрезок величиной а.

Если коэффициент A = 0, B ≠ 0 ≠ C то из уравнения Ax + By + C = 0 следует y = — C / B = b. Это уравнение прямой, параллельной оси Ох, отсекающей от оси Оу отрезок величиной b.

Если C = 0, то уравнение Ax + By + C = 0 принимает вид Ax + By = 0. Ясно, что эта прямая проходит через начало координат.

Если в уравнении Ax + By = 0 коэффициент B ≠ 0 , то отсюда получаем y = — x. Обозначив через

k = — , получаем уравнение, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом

Если в уравнении Ax + By = 0 A ≠ B = 0, то Ax = 0 и, сокращая на А, получаем уравнение оси Оу: x = 0.

Если в уравнении Ax + By = 0 B ≠ A = 0, то By = 0 и, сокращая на В, получаем уравнение оси Ох: y = 0.

Подведем итог исследования общего уравнения прямой Ax + By + C = 0:

1) Если A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 , то уравнение Ax + By + C = 0 может быть записано в виде уравнения прямой в отрезках: x /a + y / b = 1 – прямая, отсекающая от осей координат отрезки величиной а и b соответственно.

2) Если A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, то уравнение может быть записано в виде: y = b – прямая параллельная оси Ох и отсекающая от оси Оу отрезок величины b.

3) Если A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, то уравнение может быть записано в виде: x = a – прямая параллельная оси Оу и отсекающая от оси Ох отрезок величины а.

4) Если A = 0, B ≠ 0, C = 0, то уравнение прямой имеет вид: y = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

5) Если A ≠ 0, B = 0, C = 0, то уравнение прямой имеет вид: x = 0 – прямая совпадает с осью Оу.

6) Если A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, то уравнение может быть записано в виде: y = k * x – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

17. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в «отрезках» (с выводом)

Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение прямой в отрезках: + = 1.Здесь знаменатели а и b – это координаты точек пересечения прямой с соответствующими координатными осями. С помощью такого уравнения невозможно задать прямую, проходящую через начало координат или параллельную одной из осей.

Пусть ни один из коэффициентов А, В, С общего уравнения прямой Ax + By + C = 0, не равен нулю. Перенесем свободный член С в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– С):

.

Обозначим . Тогда последнее уравнение можно записать в виде: : + = 1 – это уравнение прямой в отрезках

Для построения прямой достаточно взять две точки на этой прямой. Для построения прямой в отрезках удобно найти ее точки пересечения с координатными осями:

М(а, 0) – точка пересечения прямой : + = с осью Ох и

N(0, b) – точка пересечения прямой : + = с осью Оу.

Говорят, что прямая отсекает от координатных осей отрезки ОМ и ОN величина которых равна числам а и b соответственно. Под величиной отрезка ОА здесь понимается не его длина , а координата точки М, т.е. число а. Аналогично, величина отрезка ОN равна числу b.

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости

В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Посмотрите на рисунок.

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .

Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .

Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.

Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .

Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .

Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .

Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.

Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Предположим, что λ = 0 .

Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».

Неполные уравнения прямой

Лекция 7.

Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Определение 7.1. Уравнение

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

(х – а)² + (y – b)² = R² — уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

Замечание. Часто удобно использовать параметрическиеуравнения линии:

, (7.2)

где функции и непрерывны по параметру t.

Прямая на плоскости.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀,y₀) перпендикулярно вектору n = >. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

Обозначив -Ах₀ – Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀) параллельно вектору q = >. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

, (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

— (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:

— общее уравнение данной прямой.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

у l прямой в виде:

b l₁ уравнение прямой с угловым коэффициентом.

α α Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей

х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а

ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

1) С = 0 — прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 — прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой <A,0> перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 — прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

Ах + Ву + С = 0 |:(-C), (7.9)

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (7.9) называют уравнением прямой в отрезках.