Неполные квадратные уравнения 8 класс определение

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на -1:

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Вынести х за скобки

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Ур 43 Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Ур 43(1). Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. Алгебра 8

Цель : ввести определение квадратного уравнения, неполных квадратных уравнений и их решения; учить решать неполные квадратные уравнения; развивать логическое мышление учащихся, внимательность , аккуратность оформления решения неполных квадратных уравнений.

Оборудование : мультимедийная доска, ноутбук, портрет К.Гаусса, карточки –задания ,карточки- ответы.

Учитель : «Здравствуйте ,ребята, садитесь»

2.Устная работа.(написаны задания на доске)

Вспомним квадратные корни из некоторых чисел ,из их ответов попробуем получить русскую пословицу.

1)√225 +3√121= карточка со словом – кто (с другой стороны число) 48

2)√16 + √100 = карточка со словом – хочет ( с другой стороны) 14

3) √25 * √225 = карточка со словом- много(с другой стороны) 75

4) — 0,3√10000 = карточкасо словом –знать ( с другой стороны) -30

5) √36/√121= карточка со словом –тому (с другой стороны) 6/11

6) √25= карточка со словом – мало (с другой стороны) 5

7) √81*25 = карточка со словом – надо (с другой стороны) 45

8) -√64= карточка со словом –спать(с другой стороны) 8

Мы с вами вспомнили свойства арифметического квадратного корня.

Теперь разложим на множители:

а) х²- 7х= (дети пишут ответ) х (х-7)

г) 4х² + 2х = 2х(2х +1)

х² -25= карточка со словом –математика (с другой другой стороны Ответ) х=- 5 и х= 5

х² = 5 карточка со словом- царица (с другой стороны)х= √5, х=-√5

х² + 9=0 карточка со словом – наук (с другой стороны) корней нет.

Мы с вами получили высказывание ученого математики Чьё это высказывание? (показывает портрет Гаусса. Немного биографии: Карл Гаусс(1777-1855) немецкий математик, астроном, геодезист, физик .Родился 30 апреля в Германии. Он был «принцем математиков». Единственный сын бедных родителей, очень талантливый ученик в школе.)

Почему он назвал математику «царицей наук»?

-(ответ учащихся) Без математики никуда, на уроках математики решаются системы упражнений, направленных на развитие мышления, памяти ,искать красивые решения.

Учитель : « Открыли тетради, запишите тему урока»

Тема на мультимедийной доске

Определение квадратного уравнения .Неполные квадратные уравнения.

Учитель: какой вид имеет линейное уравнение.

Учащийся: ах +в = 0

Учитель : А какой вид имеет квадратное уравнение?

Давайте посмотрим на таблицу.

а- первый(старший )коэффициент

в- второй коэффициент

с – свободный член

Например :найдите из этих уравнений квадратные

(уравнения на мультимедийной доске)

1)3,6х² +4х – 6 =0 5) — 6х +12 =0

2) х+х²- 4 =0 6) 6х²+3х=0

3)15х²- х³-5 =0 7) — 0,5х²+ 2х – 8=0

4) 3х²- 18=0 8) х²+15х – 3 =0

Учащиеся отвечают :под номером 1,2,4,6.7,8.

Учитель: Правильно. А теперь посмотрим на следующую таблицу на доске

Виды квадратных уравнений.

х²+ вх+с=0, а=1 – приведенное квадратное уравнение

ах² + с = о — неполные квадратные уравнения , а≠0

Посмотрите внимательно на уравнения, чем они отличаются от основного квадратного уравнения ах²+вх+с=0

Ученики: в первом уравнении а=1,во втором уравнении нет с,в третьем уравнении нет в .

Учитель: Даны квадратные уравнения, изучите их структуру, в чем их различие между собой.

(Уравнения на ноутбуке ,на мультимедийной доске:

1)х² + 4х+5 = 0 3) х²- 5х +6 = 0 5) х²- 9=0

2)х²- 15х- 3 =0 4) х²- 6х =0 6) х²+5 =0

Ученики:1,2.3- приведенные,4,5,6 –неполные.

Ученики:1,2,3уравнениях а=0, в 4 уравнении нет свободного члена с,в 5,6 уравнениях нет в.

Учитель: А какие уравнения не приведенные и не неполные?

Ученики:например:6х²+3х+7=0, 8х²-4х-9=0, 0,5х²+2х – 9=0,

Вместо а любое число, кроме1 .

Учитель: Прочитайте в учебнике определение.

Определение на мультимедийной доске

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² +вх+ с =0, где х – переменная а,в и с – некоторые числа ,причем а ≠0.

4. Самостоятельная работа.( Задания на мультимедийной доске)

1) составить квадратное уравнение:

Первый коэффициент равен 12,коэффициентпри х равен 3,свободный член равен 2;

Первый член равен 8, второй член 5, свободный член равен 1.

Старший член равен5,свободный член раве7, втрой коэффициент равен -6.

Учитель : Поменяйтесь тетрадями, проверьте полученные уравнения.

Прочитаем ответы. Оцените друг друга.

А теперь решим уравнения .

Задания на мультимедийной доске.

Один ученик решает на доске, остальные в тетради

План-конспект урока по алгебре «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

План-конспект урока по алгебре

«Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»

Школа: МБОУ «ОШ №18»

Преподаватель: Вирати Эльвира Садрединовна

Тема урока: Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения .

Создать условия для усвоения учащимися понятия квадратного уравнения и приобретения практических приемов решения неполных квадратных уравнений.

В результате чего ученик должен знать : определение квадратного уравнения,

идею алгоритма решения неполных квадратных уравнений.

Ученик должен : пользоваться терминологией, связанной с определением

квадратного уравнения; различать виды неполных квадратных уравнений;

решать неполные квадратные уравнения трех видов; грамотно высказывать

свою точку зрения.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Оборудование урока: откидная доска, карточки-инструкции, интерактивная доска.

Учебник : Алгебра. 8 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н.

Учитель объясняет цель урока и учащиеся по отдельности выстраивают собственную систему ожиданий от урока.( Какие уравнения называются квадратными; неполными квадратными уравнениями; способы решения неполных квадратных уравнений.)

Актуализация опорных знаний.

1. Найти корень уравнения: 7х — 4 = 17 (3)

Корнем следующих уравнений тоже является число 3.

Восстановите пропущенное число.

а) -3х+15 = (6)

б) 20х-18 = (42)

2. Какое из данных уравнений имеет два корня, один корень, не имеет корней?

х 2 = 9, х 2 = 7, х 2 = 0, х 2 = — 4, 6х=3, -5х 2 =5,

5х 2 = 0 , х( х – 2 ) = 0, 2х 2 – х = 0, х 2 – 4 = 0, х 2 + 9 = 0.

3. Вместо пропусков назвать такие числа или буквенные выражения, чтобы равенства были верными.

а) 3b-12 = (b-4)×

в) 9с + = (9+6)×

г ) ах +bx 2 = (a+bx)×

д) t + tx = t ( + x )

е) х 2 -0,25 = (х- )(х+ )

Я задумала число, большее 1, удвоенный квадрат которого равен задуманному числу, увеличенному в 3 раза. Найдите это число.

1)Задуманное число _____

2) Его удвоенный квадрат ______

3) Его увеличили в 3 раза ______

4) Получим уравнение: 2х 2 =3х.

Изучение нового материала.

Учитель предлагает учащимся самостоятельно изучить: определение квадратных уравнений; неполные квадратные уравнения и как решаются неполные квадратные уравнения. Теоретические положения темы изучаются самостоятельно при помощи карточек-инструкций. На одной стороне карточке записаны вопросы, на которые должен ответить ученик; а на другой стороне для самоконтроля даны ответы на эти вопросы. Учащиеся работают в парах.

Используя п.21учебника, ответьте на следующие вопросы:

Какое уравнение называются квадратным?

Придумайте и запишите квадратное уравнение.

Как называются числа а, в и с ?

Какие квадратные уравнения называются неполными?

Какие встречаются виды неполных квадратных уравнений?

Придумайте и запишите неполное квадратное уравнение каждого вида.

В случае затруднения, или если Ваши ответы не совпадают с ответами на обратной стороне карточки, обратитесь к учителю.

Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в, и с – некоторые числа,

3х 2 – 7х + 4 = 0, 14х 2 — 5х – 1 = 0 и т. д.

а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член уравнения.

Уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.

4х 2 = 0, 4х 2 + 8х = 0, 4х 2 – 1 = 0.

Проверка уровня усвоения теоретического материала.

Самостоятельная работа учащихся с последующей взаимопроверкой. Во время взаимопроверки пользуются правильными ответами; записанными на доске.

Укажите среди записанных на доске уравнения первой степени и квадратные:

5х -2 =0, 0,2х 2 – 2 = 0, 5х 2 + х = 0, х 3 + х = 0,

х 2 – х + 1 = 0, 3х 2 – 5х – 8 = 0, ⅓х = 0.

Чему равен первый и второй коэффициенты уравнения, его свободный член?

3х 2 – 2х + 7 = 0, 2х + 7 – 5х 2 = 0, х 2 – 0,5х = 0, 6х 2 = 0,

х 2 – 8 = 0, 3 – х 2 = 0.

Назовите среди данных уравнений неполные.

Составление алгоритма решения неполных квадратных уравнений.

В ходе беседы с учениками, опираясь на имеющиеся знания и опыт решения уравнений первой степени, не используя учебник, учитель вместе с классом выводит алгоритм решения неполных квадратных уравнений на примерах.

3х 2 = 0, х 2 – 7х = 0, х 2 – 12 = 0,

х 2 = 0, х ( х – 7 ) = 0, х 2 = 12,

х = 0. х = 0 или х -7 = 0, х = ±√12,

Ответ : 0. Ответ : 0; 7. Ответ : ±2√3.

Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант А1. Вариант А 2.

а) 2х 2 – 72 = 0; а) 3х 2 – 48 = 0;

б) х 2 + 3х = 0; б) х² -2х = 0;

в) 0,4х² = 0; в ) – 7х² = 0;

г) 4х² — 11 = х² — 11 + 9 х. г) 7х + 3 = 2х² + 3х + 3.

Вариант Б 1. Вариант Б 2.

а) 16х² — 9 = 0; а) 9х² -25 = 0;

б) 2х² = 3х; б) 5х² = — 2х;

в) 9 = 7х² + 9; в) 9х² — 3 = — 3;

г) ( 2х + 1)( х – 2 ) = ( х – 2 )( х + 2 ). г) ( 2х – 9 )( х + 1 ) = ( х + 3 ) ( х + 3 ).

Вариант В 1. Вариант В 2.

а ) – 0,2х² + 6 = 0; а) 5 – 0,4х² = 0;

б) 1/3 х² + 1/9 х = 0; б) 1/4х² — ½ х = 0;

в) ( 3х – 1 )² = 1 – 6х; в) ( 3х + 2 )² = 4 + 12х ;

г) 3- ( 4х + 1 ) ( 3 – х ) = х² г) х² — ( 2х – 3) ( 1 – х ) = 3.

После того как все ученики выполнят задание, проверяют решения на интерактивной доске.

Домашнее задание: п 21изучить. Решить №515,517,521(а,в) .

Задания и вопросы учащимся.

1.Сформулируйте определение полного квадратного уравнения.

2. В уравнении 3х 2 -7х+2=0 назвать коэффициенты a, b и с. Запишите уравнение, если b=0, a=-1, c=-2.

3. Как называются такие уравнения?

4. Сколько корней имеют уравнения ах 2 =0, ах 2 +вх=0, ах 2 +с=0?

Спасибо! Поднимите руку, кто свою работу на уроке оценивает на «5», «4» и «3».

Карточка : Решение неполных квадратных уравнений.