21. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
где х — переменная, а, b и с — числа.
В первом уравнении а = — 1, b = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, b = -7 и с = 0, в третьем а = 1, b = 0 и с = 
. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0.
Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число с — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
Если в квадратном уравнении ах 2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х 2 + 7 = 0, Зх 2 — 10x = 0 и -4x 2 = 0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b = 0, во втором с = 0, в третьем b = 0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
- ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;
- ах 2 + bх = 0, где b ≠ 0;
- ах 2 = 0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Пример 1. Решим уравнение -Зх 2 + 15 = 0.
Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:
-Зх 2 = -15,
х 2 = 5.
х = 
или х = — .
Ответ: х1 = , х2 = — .
Пример 2. Решим уравнение 4х 2 + 3 = 0.
Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:
4х 2 = -3,
x 2 = 
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х 2 + 3 = 0. Ответ: корней нет.
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение
х 2 = — 
,
равносильное уравнению ах 2 + с = 0.
Так как с ≠ 0, то — ≠ 0.
Если > 0, то уравнение имеет два корня:
Если 2 + 9х = 0.
Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:
х = 0 или 4х + 9 = 0.
Решим уравнение 4х + 9 = 0:
4х = -9,
x = — 2
.
Ответ: x1 = 0, х2 = -2.
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 + bх = 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
Произведение х(ах + b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
х = 0 или ах + b = 0.
Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим
ах = — b,
х = — 
.
Следовательно, произведение х(ах + b) обращается в нуль при х = 0 и при х = — . Корнями уравнения ах 2 + bх = 0 являются числа 0 и — .
Значит, неполное квадратное уравнение вида ах 2 + bх = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ах 2 = 0 равносильно уравнению х 2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Упражнения
- Является ли квадратным уравнение:
Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:
Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?
Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней?
При каких значениях а уравнение (а — 2)х 2 + 15х + а 2 — 4 = 0 является неполным квадратным уравнением? Выберите верный ответ.
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение:
, где t (с) — время, g ≈ 10 м/с 2 , s (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м?
при х = 0,36 и при х = 49.Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: Неполные квадратные уравнения 8 класс учебникОбращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. «Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях» Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику Всего 90 материалов
Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта «Инфоурок». Московский институт профессиональной Дистанционные курсы |
