Неполные квадратные уравнения это определение

Неполные квадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax 2 +c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х 2 равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х 2 =45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х 2 =9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х₁=–3, х₂=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

Выполним решение уже известным способом: –6х 2 =90. х 2 =–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х₁=10, х₂=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax 2 +bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax 2 =0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х 2 =0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

Также делим обе части на 23 и получаем х 2 =0. Значит, корень уравнения – нуль.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Неполные квадратные уравнения

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 117.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 117.

Неполные квадратные уравнения решаются очень быстро. Главное знать, как решается каждый отдельный подвид неполного уравнения, а их всего 3, имеет свой, давно известный путь решения. Достаточно попробовать решить по одному уравнению из каждого вида, и вы будете свободно ориентироваться в этой теме.

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент b или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:

• Коэффициент b=0
• Коэффициент с=0
• Коэффициенты b=0 и с=0

Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.

Виды неполных квадратных уравнений

Каждый подвид уравнения решается быстро и просто. Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.

Первый случай

Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:

В таком случае, решение принимает следующий вид:

$$x_2= -\sqrt<-с\over а>$$- обратите внимание, что под корнем может оказаться как положительное, так и отрицательное число. Знак минуса в данном случае просто указывает на противоположность. В случае, если под корнем в результате получится отрицательное число, то действительных корней уравнение не имеет.

$$7x^2-28=0 $$– перенесем -28 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$x^2=28 $$ – разделим обе части уравнения на 7.

Вот и все решение.

Второй случай

Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:

В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:

$$ax^2+bx=0$$ – вынесем общий множитель за скобку (общий множитель у них – х)

$$x(ax+b)=0$$ – произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Решим небольшой пример.

Этот способ иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.

Третий случай

Третий случай самый простой, когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.

Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.

Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важны и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно, подставив значения в приведенные в статье формулы.

Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки уравнения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.

Что мы узнали?

Мы дали определение неполного квадратного уравнения. Разобрали виды неполных квадратных уравнений и пути их решения, привели примеры для каждого из них. Поговорили о скользких моментах, на которых часто случаются ошибки.