Неполные квадратные уравнения методы их решения

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Методы решения неполных квадратных уравнений

Научившись решать уравнения первой степени, хочется научиться работать с более сложными уравнениями, например, с квадратными. Многим известно, как решаются стандартные квадратные уравнения, но есть особый вид таких выражений, которые называют квадратные уравнения в краткой записи. Рассмотрим подробнее, как решать неполные квадратные уравнения.

Алгоритм нахождения решений

На сегодняшний день существует три вида таких выражений. В зависимости от этого каждое решение имеет свои особенности, от которых зависит решение конкретного примера, будь оно целым или в виде иррационального числа.

Уравнение вида ax2+bx=0 при отсутствии c

Это наиболее распространенное выражение в укороченном типе с квадратными корнями. Как решить нечто похожее в этом случае? Для этого надо разложить левую часть на множители. Алгоритм решения следующий, и обычно не меняется:

1. Раскладываем выражение как x*(ax+b), равное нулю.
2. Так как выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен ему, то запишем следующую систему уравнений в виде x и ax+b=0.
3. Первое решение так и пишется x=0. Второе равенство линейное и решается как равное -b/a.

В качестве примера приведем следующее равенство: x2+18x=0. Раскладываем его в виде x*(x+18)=0. Получаем x=0 и -18. Оба решения являются правильными и подойдут под результат. Также решаются и остальные выражения, относящиеся к неполным квадратным уравнениям такого вида.

ax2+c=0 при b равном нулю

Не такой частый, но встречающийся тип квадратного выражения. Здесь имеются два корня, отличающиеся лишь знаками, в крайнем случае корней не имеется вообще.

План действий для решения такого выражения разберем на следующем примере:

1. Имеем уравнение x2−49=0 или аналогичное ему.
2. Раскладываем его как (x-7)*(x+7)=0.
3. Получаем решение типа x=7 и -7.
4. Записываем ответ в виде двух корней.

А вот при одинаковых знаках в записи решения не будет в принципе. Например, для выражения 25×2+1=0 не имеется ответа, потому что сумма положительных чисел никогда не может равняться нулю.

В школьном курсе алгебры эти равенства стараются решить так, чтобы прийти к формату x2=d. То есть 9×2−2 равно нулю. Тогда x2=2/9, а ответом послужат два одинаковых корня с разными знаками.

Особый вид уравнения

Имеется также один особый тип укороченного выражения. Он имеет следующий вид ax2, которое равно нулю. У таких уравнений имеется решение в виде единственного корня. В учебниках есть указание, что решение состоит в виде двух корней, каждый из которых равен нулю.

Другие способы решения неполных уравнений

Любое подобное выражение в квадрате можно решить, не применяя формулу квадратных корней. К таким видам решения называют формулу сокращенного умножения и правило деления на число.

Допустим, выражение 5×2=0. В этом выражении только умножение на ноль даст результат, а значит, единственный ответ здесь x=0.

Теперь возьмем выражение вида 5×2=125. Делим обе части уравнения на 5. Получим следующий промежуточный результат: x2=25. Переносим все в левую часть и получится x2−25=0. Затем используем формулу разности квадратов в виде (x-5)*(x+5)=0. Получаем итоговый результат в виде x=5 или x=-5.

Далее разберем, как решить вышеописанными способами равенство 16*x2-x=0. Выносится общий множитель за скобки x*(16x-1)=0. Получается два варианта ответа: x=0 и 16x=1. После этого делим каждую часть на 16, в итоге получаем x=1/16. Записываем итоговый ответ в виде x1=0 и x2=1/16.

Стоит отметить, что если вы не знаете, как применить формулы сокращенного умножения или деления на число, то лучше применить способ решения такого выражения согласно стандартным правилам решения квадратного уравнения. Каким именно методом решить данные квадратные выражения, выбирает сам человек. Иногда самые очевидные способы решения не подойдут для определенного примера, может и вовсе не оказаться конкретных ответов. Также не является обязательным такой вариант, как стандартные целые числа.

Здесь могут быть и иррациональные числа, а также дробные. Все будет зависеть от конкретного выражения.

Не являющиеся полными примеры по типу квадрата, несмотря на свое название, решаются достаточно просто. Можно применить как стандартные методы нахождения ответа, например, квадратные корни, так и формулы сокращенного умножения, а также деления на число.

При этом нельзя сказать, что какой-либо из вышеописанных способов является универсальным. Под каждое конкретное уравнение подбирается свой способ нахождения ответа. Не забывайте также о том, что не все такие квадратные равенства имеют ответ, иногда у них нет корней вовсе. Это верно, если оба числа являются положительными, а их сумма не может равняться нулю.

Видео

Из видео вы узнаете способы решения неполных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
2. имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
3. Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
   Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.

y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.