Неполные квадратные уравнения с дробями 8 класс

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на -1:

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Вынести х за скобки

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

156 неполных квадратных уравнений
тренажёр по алгебре (8 класс)

156 неполных квадартных уравнений отлично подойдут для профильных уроков математики, помогут улучшить навыки учащихся.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1. 0,5x 2 = 0
2. x 2 – 9 = 0
3. 2x 2 + 15 = 0
4. 3x 2 + 2x = 0
5. 2x 2 – 16 = 0
6. 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
7. (x + 1) 2 – 4 = 0
8. -1,5x 2 = 0
9. x 2 – 4 = 0
10. 2x 2 + 7 = 0
11. x 2 + 9x = 0
12. 81x 2 – 64 = 0
13. 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
14. (x – 2) 2 – 8 = 0.
15. 9x 2 – 1 = 0
16. 3x – 2x 2 = 0
17. x 2 = 3x
18. x 2 + 2x – 3 = 2x + 6
19. 3x 2 + 7 = 12x+ 7
20. 3x 2 – 48 = 0
21. 3x 2 – 12 = 0
22. 2x 2 + 6x = 0
23. 1,8x 2 = 0
24. x 2 + 9 = 0
25. 7x 2 – 14 = 0
26. x 2 – 3x =0
27. х 2 – 81=0
28. 4x 2 + 36 = 0
29. 25y 2 – 1 = 0
30. -y 2 + 2 = 0
31. 9 – 16y 2 = 0
32. 7y 2 + y = 0
33. 6y – y 2 = 0
34. 0,1y 2 – 0,5y = 0
35. (x + 1)(x -2) = 0
36. x(x + 0,5) = 0
37. x 2 – 2x = 0
38. x 2 – 16 = 0
39. 2x 2 – 18 = 0
40. 3x 2 – 12x = 0
41. 2,7x 2 = 0
42. x 2 + 16 = 0
43. 6x 2 – 18 = 0
44. x 2 – 5x = 0
45. 4y – y 2 = 0
46. 0,2y 2 – y = 0
47. (x + 2)(x – 1) = 0
48. (x — 0,3)x = 0
49. x 2 + 4x = 0
50. x 2 – 36 = 0
51. 16x 2 – 1 = 0
52. 4x – 5x 2 = 0
53. x 2 = 7x
54. x 2 – 3x – 5 = 11 – 3x
55. 5x 2 – 6 = 15x – 6
56. х 2 – 25 = 0
57. 3x 2 – 12 = 0
58. 2x 2 + 6x = 0
59. 1,8x 2 = 0
60. x 2 + 9 = 0
61. 7x 2 – 14 = 0
62. x 2 – 3x =0
63. х 2 – 81=0
64. 4x 2 + 36 = 0
65. 25y 2 – 1 = 0
66. -y 2 + 2 = 0
67. 9 – 16y 2 = 0
68. 7y 2 + y = 0
69. 6y – y 2 = 0
70. 0,1y 2 – 0,5y = 0
71. (x + 1)(x -2) = 0
72. x(x + 0,5) = 0
73. x 2 – 2x = 0
74. x 2 – 16 = 0
75. 2x 2 – 18 = 0
76. 3x 2 – 12x = 0
77. 2,7x 2 = 0
78. x 2 + 16 = 0
79. 6x 2 – 18 = 0
80. x 2 – 5x = 0
81. 4y – y 2 = 0
82. 0,2y 2 – y = 0
83. (x + 2)(x – 1) = 0
84. (x — 0,3)x = 0
85. x 2 + 4x = 0
86. x 2 – 36 = 0
87. 16x 2 – 1 = 0
88. 4x – 5x 2 = 0
89. x 2 = 7x
90. x 2 – 3x – 5 = 11 – 3x
91. 5x 2 – 6 = 15x – 6
92. х 2 – 25 = 0
93. x 2 — 4 = 0
94. 9x 2 = 0
95. 5x 2 = 0
96. -14x 2 — 56 = 0
97. x 2 — 33 = 0
98. 14x 2 = -140x
99. -x 2 — 8x = 0
100. 2х 2 -4х=х(4х-3)
101. -8x 2 — 40x = 0
102. x 2 + x = 0
103. — x 2 = — 67x
104. — 4x 2 — 100 = 0
105. 2x 2 = 0
106. 29x 2 = 0
107. 2x 2 — 242 = 0
108. 2х 2 -4х=х(6х-3)
109. x 2 — 4 = 0
110. 9x 2 = 0
111. 5x 2 = 0
112. -14x 2 — 56 = 0
113. x 2 — 33 = 0
114. 14x 2 = — 140x
115. -x 2 — 8x = 0
116. 2х 2 -4х=х(4х-3)
117. -8x 2 — 40x = 0
118. x 2 + x = 0
119. -x 2 = -67x
120. -4x 2 — 100 = 0
121. 2x 2 = 0
122. 29x 2 = 0
123. 2x 2 — 242 = 0
124. 2х 2 -4х=х(6х-3)
125. 3x 2 -12=0
126. 2х 2 +6х=0
127. 1,8х 2 =0
128. х 2 +25=0
129. х 2 — =0
130. х 2 =3х
131. х 2 +2х-3=2х+6
132. х 2 =3,6
133. 3x 2 -1=0
134. 2х 2 -6х=0
135. 8х 2 =0
136. х 2 +81=0
137. х 2 — =0
138. х 2 =5х
139. х 2 +х-3=х+6
140. х 2 =8,1
141. 2х 2 -18=0
142. 3х 2 -12х=0
143. 2,7х 2 =0
144. х 2 +16=0
145. х 2 — =0
146. х 2 =7х
147. х 2 -3х-5=11-3х
148. х 2 =2,5
149. 2х 2 -32=0
150. 3х 2 -15х=0
151. 2,4х 2 =0
152. х 2 +49=0
153. х 2 — =0
154. х 2 =х
155. х 2 -7х-5=11-7х
156. х 2 =4,9

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. План-конспект урока в 8 классе с использованием ЭОР

Представлен план-конспект урока изучения нового материала с использованием ЭОР в технологии деятельностного метода. Первый урок в теме. Используются индивидуальная и фронтальные формы организации урок.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Квадратные уравнения. Неполное квадратное уравнение.

Предложенный урок по теме с использованием ЭОР.

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

план-конспект урока с использованием ЭОР.

АЛГЕБРА 8 класс Урок — практикум по теме «Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения».

Цели урока:Закрепление навыка решения неполных квадратных уравнений.Развитие логического мышления, речи, навыков самоконтроля и самооценки.3. Воспитание навыков самостоятельной работы и умений р.

Конспект урока «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»

Конспект урока «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.».

План конспект урока математики(алгебра)в 8 классе по теме:»Определение квадратного уравнения.Неполное квадратное уравнение»

Урок изучения нового материала.Предметы точных дисциплин(раздел – алгебра ,8 класс)Богомолова Татьяна ЕфимовнаУчитель математикиМБОУ «Верхнекармальская ООШ» Черемшанского муниципального районаРеспубли.

Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения

Материал может быть использован на первом уроке по теме «Неполные квадратные уравнения» в классах , работающих по учебнику для 8 класса общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндю.