Неравенства с квадратным уравнением под модулем

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Урок алгебры в 10-м классе по теме: «Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем»

Разделы: Математика

Цели урока:

• отработать навыки решений уравнений с модулем;
• рассмотреть все методы решения уравнений с модулем (подробнее рассмотреть метод расстояний);
• развивать внимательность, логическое мышление, самостоятельность и творческий подход к решению уравнений с модулем.

I. Повторение пройденного.

– Какие методы применяются при решении уравнений с модулем?

Ожидаемый ответ: 1) метод интервалов; 2) применение определения и свойств модуля; 3) метод расстояний.

– Остановимся более подробно на методе расстояний. В чём он заключается?

– Рассмотрим все этапы решения уравнения методом расстояний:

1) | x – 5 | + | x – 7 | = 4

а) Какие условия должны выполняться при решении уравнения таким методом?

Ожидаемый ответ: 1) между модулями обязательно должен стоять знак “плюс”; 2) | с₁ – с₂ | => d.

– Используя этот же метод, решите уравнения:

2) | 3 – х | + | х + 2 | = 9

Решение: по свойству модуля | 3 – х | = | х – 3 |, таким образом | х – 3 | + | х – (– 2) | = 9

3) | 2х + 6 | + | 2х + 3 | = 7.

Решение: обозначим 2х = t, тогда исходное уравнение примет вид: | t – (–6) | + | t – (–3) | = 7,

4) | 5 – х 2 | + | х 2 – 11 | = 8.

Решение: используя свойство модуля, запишем уравнение в виде: | х 2 – 5 | + | х 2 – 11 | = 8, введем новую переменную х 2 = t.

| t – 5 | + | t – 11 | = 8

t₂ = 12 => x 2 = 12, x_3,4 =.

Ответ: x_1,2 = ± 2; x_3,4 =.

5) | 3 – х | + | х + 3 | = 6

Решение: по свойству модуля | 3 – х | = | х – 3 |, таким образом | х – 3 | + | х – (–3) | = 6

II. Объяснение нового материала.

– Ребята, сегодня мы усложняем нашу задачу и рассмотрим решение уравнений вида: | ax 2 + bx + c₁ | + | ax 2 + bx + c₂ | = d.

– Можно ли применить метод расстояний к решению уравнений такого вида?

Ожидаемый ответ: Да, так как в обоих модулях есть одно и то же выражение (ax 2 +bx), обозначив которое за новую переменную, получим уравнение уже нам известное: | t + c₁ | + | t – (– c₂) | = d.

– Давайте попробуем решить уравнение: | 2x 2 – x – 3 | + | 2x 2 – x – 8 | = 9.

Решение: пусть 2x 2 – x = t, тогда исходное уравнение примет вид: | t – 3 | + | t – 8 | = 9, применив метод расстояний,

получим: t₁ = 1 и t₂ = 10.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

III. Закрепление материала.

– Самостоятельно решите уравнения:

А. | 8x 2 – x – 6 | + | 8x 2 – x – 3 | = 9.

Б. | x 2 – 6x – 3| + | x 2 – 6x – 13 | = 16.

В. | x 2 – 12x + 32 | + | x 2 – 12 x + 37 | = 15.

А. Пусть 8x 2 – x = t, тогда | t – 6 | + | t – 3 | = 9, применив метод расстояний, получим: t₁ = 0 и t₂ = 9.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

Б. Пусть x 2 – 6x = t, тогда | t – 3 | + | t – 13 | = 16 применив метод расстояний, получим: t₁ = 0 и t₂ = 16.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₂ = 16 => x 2 – 6x = 16, x 2 – 6x – 16 = 0, по теореме, обратной теореме Виета x₃ = – 2, x₄ = 8.

В. Пусть x 2 – 12x = t, тогда | t – (–32) | + | t – (–37) | = 15, применив метод расстояний,

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения:

t₁ = – 42 => x 2 – 12x = – 42, x 2 – 12x + 42 = 0, Д = – 24 x 2 – 12x = – 27, x 2 – 12x + 27 = 0, по теореме, обратной теореме Виета x₁ = 3, x₂ = 9.

На столах у учащихся карточки, в которых они заполняют первые три строчки:

Номер уравнения

Фамилия имя учащегося

IV. Решение уравнений.

На доске записаны уравнения:

№ 1. | 8cos 2 x – cosx – 6 | + | 8cos 2 x – cosx – 3 | = 9.

№ 2. | 36 x – 6 x+1 – 3| + | 36 x – 6 x+1 – 13 | = 16.

И учащимся предлагается решить их, используя метод расстояний. Решение уравнений разбирается на доске.

Пусть 8cos 2 x – cosx = t, | cosx | 8cos 2 x – cosx = 0,

cosx = 0 => x₁ = 1/2 + n , n ? Z;

cosx = 0,125 => х₂ = ± arccos0,125 + 2k, k ? Z;

t₂ = 9 => 8cos 2 x – cosx = 9, 8cos 2 x – cosx – 9 = 0, Д = 289,

cosx = 1,125 > 1 (нет корней)

cosx = – 1 => x₃ = + 2m, m ? Z

Ответ: x₁ = /2 + n, n ? Z; х₂ = ± arccos0,125 + 2?k, k ? Z; x₃ = ? + 2m, m ? Z.

| 6 2x – 6 • 6 x – 3 | + | 6 2x – 6 • 6 x – 13 | = 16.

Пусть 6 2x – 6 • 6 x = t, тогда | t – 3 | + | t – 13 | = 16, применив метод расстояний, получим: t₁ = 0 и t₂ = 16. (Cм. пример Б)

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения, относительно 6 x .

6 x = 0 – корней нет,

t₂ = 16 => 6 2x – 6 • 6 x = 16, 6 2x – 6 • 6 x – 16 = 0,

6 x = – 2 – корней нет,

Решение незнакомого учащимся уравнения 6 x = 8 рассмотреть графически.

Ребята убеждаются в том, что корень есть, а учитель сообщает, что такой корень имеет вид x = log₆8, (это новая тема).

V. Самостоятельная работа.

Решить уравнения (учащимся предлагается воспользоваться результатами ранее решенных уравнений, чтобы сэкономить время):

Г. | 2sin 2 x – sinx –3 | + | 2sin 2 x – sinx – 8 | = 9.

Д. | | + | | = 15.

Г. Пусть 2sin 2 x – sinx = t, | sinx | 2sin 2 x – sinx = 1, 2sin 2 x – sinx – 1 = 0, Д = 9,

sinx = 1 => x₁ = /2 + 2n, n ? Z;

sinx = – 0,5 => х₂ = (–1) k+1 /6 + k, k ? Z;

sinx = 2,5 или sinx = – 2 => нет корней

Ответ: x₁ = /2 + 2n, n ? Z; х₂ = (–1) k+1 ?/6 + k, k ? Z.

Д. | | + | | = 15. (Cм пример В).

– нет решений.

| х 2 =2 | x_1,2 = .

=> х 2 =1 => x_3,4 = ± 1.

Ответ: x_1,2 = , x_3,4 = ±1.

Учащиеся вносят ответы в карточку, строчки 4 и 5, и сдают учителю на проверку.

VI. Подведение итогов урока.

По карточкам учитель подводит итоги урока. В то время, пока учитель проверяет карточки, учащиеся сами составляют три уравнения по теме урока, это будет их домашним заданием. Оценки за урок выставляются в журнал.

Решение квадратных уравнений с модулем
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

Урок. Решение квадратных уравнений с модулем

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: « Решение квадратных уравнений с

Цель урока: Научить решать квадратные уравнения с модулем с

использованием определения модуля и введением

1. Организационный момент. (3 мин.)
2. Повторение изученного материала: (5 мин.)

Способы решения квадратных уравнений:

а) решение квадратных уравнений общим способом (через Д);

б) решение квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом (через Д/4)

в) решение квадратных уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета;

г) решение квадратных уравнений через сумму коэффициентов

1. Объяснение нового материала: (20 мин.)

1. Решить уравнение : х 2 – 7IхI + 6 = 0.

а) Используя определение модуля, данное уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений:

х 2 – 7х + 6 = 0 и х 2 + 7х + 6 = 0;

х = 1, х = 6; х = -1, х = -6.

Ответ: .

б) Учитывая, что IxI 2 = x 2 , и, обозначив IxI = у, где у 0, данное уравнение можно записать в виде:

х = х = 6

Ответ: .

2. Решить уравнение: (х – 2) 2 – 8I х – 2I + 15 = 0.

Вопрос: Чем данное уравнение отличается от предыдущего?

После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное уравнение в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

3. Решить уравнение: х 2 + 4х + Iх +3I + 3 = 0.

Данное уравнение отличается от предыдущих тем, что сумма первых двух слагаемых не является полным квадратом третьего слагаемого. Поэтому, при решении данного уравнения необходимо найти точки, при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак. Для этого решаем уравнение

Х + 3 = 0, х = -3. Далее раскрываем знак модуля, используя определение, для х — 3.

При х 2 + 4х — х — 3 + 3 + 0, х 2 + 3х + 0, х = 0, х = -3, но оба эти корни не удовлетворяют условию х

При х — 3, х 2 + 4х + х + 3 + 3 + 0, х 2 + 5х + 6 = 0, х = -2, х = -3.

4. Решить уравнение: х 2 + 17 = 9х + 4Iх – 3I.

Данное уравнение учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

Ответ: ; .

1. Закрепление изученного материала: (15 мин).

Примеры для самостоятельного решения в классе:

1. х 2 + 2IхI – 1 = 0, отв. — 1; 1 —
2. х 2 + 5 IхI -24 = 0, отв. -3; 3.
3. (2х -3) 2 – 5I2х-3I – 6 = 0. отв. -1,5; 4,5.
4. 2х 2 – 4Iх – 6I +7х = -11, отв. -6,5; 1.
5. (2х – 1) (IxI – 1) = -0,5. отв. ; .
6. Ix 2 +2x +3I = 3х +45 отв.-6; 7.

Данные примеры учащиеся выполняют под контролем учителя, при необходимости учащимся оказывается индивидуальная помощь.

1. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (2 мин).

Примеры для домашнего задания:

1. 4х 2 – 3IxI + х = 0,
2. Ix-2Iх 2 = 10 – 5х,
3. (х + 4) 2 — 7(х + 4) – 8 = 0,
4. х 2 – 5х — = 0.
5. Ix 2 – 4x -9I = 4x.

Тема: «Решение квадратных неравенств с модулем».

Цель урока: Научить решать неравенства второй степени с модулем

по определению модуля и с использованием свойств

1. Организационный момент. (2 мин.)
2. Устный опрос и проверка домашнего задания. (10 мин.)

а) Ответить на вопросы учащихся (если есть) и проверить решение примеров:

1. х 2 – 5х — =0,

х = 6, (-1 – не удовлетворяет условию)

оба корня 2 и 3 не удовлетворяют условию.

2. I x 2 – 4x -9I =4х.

По смыслу модуля, данное уравнение решаем для х 0.

x 2 – 4x -9 =4х, x 2 – 4x -9 =-4х

х 2 – 8х -9 = 0, х 2 – 9 = 0,

х = 9, (-1 не удовлетворят х = 3, (-3 не удовлетворяет условию) условию)

б) Решить уравнения (устно):

1. х 2 – 8IxI + 7 = 0 Отв. -1; -7; 1; 7.

2. х 2 – 10IxI -11 = 0 Отв. -11; 11.

3. х 2 – IxI + 17 = 0 Отв. нет решений.

в) Решить линейные неравенства:

2. IxI > 5; отв. (- ; -5) (5; + )

3. I6x — 42I 0; отв. 7.

4. I7x — 56I решений нет.

III. Объяснение и закрепление нового материала. (30 мин)

Объяснение нового материала построено на разборе трёх типовых неравенств с последующим закреплением при решении подобных примеров.

1. Решить неравенство: х 2 – 8IxI — 9 .

Обозначив левую часть неравенства через У, и введя новую переменную t = IxI, (t 0), найдём промежуток, на котором функция У = х 2 – 8IxI – 9 принимает значения меньше 0. Это интервал (-1; 9).

Учитывая, что t = IxI, и t 0 при любом х, получим линейное неравенство IxI

1. Решить неравенство: -4х 2 – 7IxI +11 ≤ 0.

Вопрос: Чем данное неравенство отличается от предыдущего?

После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное неравенство в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

Ответ: (- ; -1] [1; + ).

1. Решить неравенство: х 2 — 7х + 12

Находим точки при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак:

Рассмотрим два случая:

б) х 4, тогда х 2 — 7х + 12

Очевидно, что это неравенство решений не имеет.

4. Решить неравенство: х 2 — 13х + 42 Ix – 7I.

Данное неравенство учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

Ответ: (- ; 5] [7; + ).

5 Решить неравенство: Ix 2 – 2xI ≤ -x.

При решении данного неравенства будем пользоваться свойством: IaI ≤ b -b ≤ a ≤ b .

x 2 – 2x ≤ -x,

x 2 – x ≤ 0,

Изобразив решение каждого неравенства на числовой прямой, получим:

◦////////////////////◦ x \\\\\\\\\\\\\\\\ ///////// x

х = 0 – единственное решение данного неравенства.

1. Решить неравенство: Ix 2 – 3x – 16I ≥ 3x.

IV. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (3 мин.)

1. 2х 2 — 5IxI + 3x ≥ 0,

1. х 2 — 7IxI + 10
2. Ix 2 – 5xI
3. I2x 2 – 5xI ≤ 5x,
4. Ix + 3I > x 2 + 5x + 6,
5. Ix 2 + 6xI ≤ -3x.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Эффективное решение квадратных уравнений. Приемы устного решения.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических.

урок по информатике в 9 классе по теме «Решение задач с конструкцией ветвление. Алгоритм решения квадратного уравнения»

Конспект и презентация к уроку в 9 классе по теме «Алгоритм решения квадратного уравнения».

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач»

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач&quot.

Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.

Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре.

Решение уравнений, сводимых к решению квадратных уравнений

Тема «Решение квадратных уравнений» изучается в 8 классе, и она является одной из самых важных тем при изучении математики. В старших классах при изучении различных тем, мы возвращае.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»

Цель урока: закрепить графический способ решения квадратных уравнений при решении задач практического содержания, формировать умения строить математические модели, совершенствование навыков пост.