Неравенства уравнения с модулем 10 класс

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Урок алгебры в 10-м классе по теме «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Цели урока: создать условия для:

• обобщения и закрепления умений решать уравнения с переменной под знаком модуля;
• промежуточного контроля и оценки качества усвоения учащимися способов решения уравнений;

• формирования устной и письменной речи, познавательной активности, творческих способностей учащихся;
• развития логического мышления;

• воспитание навыков самоконтроля;
• воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: обобщения и закрепления знаний и умений.

I. Определение темы и цели урока

Совместно с учащимися формулируем тему урока;

Совместно с учащимися ставим цели и задачи урока;

Определяем основные этапы урока.

Для этого обратиться к учащимся с вопросами:

Решением каких уравнений мы занимались на предыдущих уроках?

Что нужно знать для этого?

Каким образом можно это закрепить , проверить?

II. Обобщение и систематизация знаний

1. Учитель: Сформулируйте определение модуля числа.

Ученики: Модулем действительного числа х называется само это число, если х ≥ 0, и противоположное ему число, если х 2 = х 2 ;

3. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Уравнение

4. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Т.к. то

5. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Уравнения такого вида решаются методом разбиения на промежутки. Для этого надо: 1) найти нули выражений, стоящих под знаком модуля; 2) разбить ОДЗ переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак; 3) на каждом из полученных промежутков решить уравнение с учётом определения модуля. Объединение решений на указанных промежутках и составляет все решения данного уравнения.

6. Учитель: Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль?

Ученики: Надо сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

III. Устная работа

Учащиеся выполняют задания устно, комментируя своё решение.

1. Раскрыть знак модуля:

а) б)

а)

б)

в)

2. Найти множество решений уравнения:

а) б) в) г)

б) т.к. при любом х, а -7, то уравнение решений не имеет.

Ответ:

в)

г)

Ответ:

IV. Закрепление умений учащихся решать уравнения

4 ученика решают на доске, остальные в тетрадях. Затем сверяют решения, при необходимости исправляют ошибки. Работающие у доски отвечают на возникающие вопросы.

1) .

Решение: Данное уравнение равносильно совокупности систем:

Ответ: 1,5; .

2) .

Ответ: ; 1; 3.

3)

3х+4 = 0, х = —;

1) х 3, тогда 3х + 4 + 2·(х – 3) = 16 х = 3,6 – является корнем уравнения.

4) = 4.

Решение: Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна совокупности двух систем: х = 0.

V. Самостоятельная работа (разноуровневая)

Самостоятельная письменная работа в трёх уровнях с последующей сдачей учителю. Ученик может выбрать любой из трёх уровней.

Первый уровень оценивается оценкой «3», второй – оценкой «4», третий – «5».

а) ;

б)

а) ;

б)

а) ;

б) Найти сумму корней уравнения:

VI. Постановка домашнего задания

1. Решить уравнения:

а) х 2 = ;
б) ;

в)

г)

* д) Найти сумму целых решений уравнения

VII. Итоги урока

Какими навыками, умениями овладели?

Какими понятиями, приёмами воспользовались при решении уравнений?

Решение каких уравнений вам показалось сложным?

Разработка урока по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль» в 10-м классе (профил.уровень)
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Разработка урока по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль» в 10-м классе (профильная группа). Урок систематизации и обобщения изученного материала. (По учебнику Алгебра 10-11 класс. Мордкович А.Г.)

Цель урока: систематизировать учебный материал, повторить понятие модуля и общие методы решения уравнений и неравенств с модулем

Скачать:

Предварительный просмотр:

Разработка урока по теме

«Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»

в 10-м классе (профильная группа)

Урок систематизации и обобщения изученного материала.

По учебнику Алгебра 10-11 класс. Мордкович А.Г.

Цель урока: систематизировать учебный материал, повторить понятие модуля и общие методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Оборудование: наглядные материалы с геометрической интерпретацией модуля, таблица «Решение неравенств с модулем |х| ≤ 3; |х| > 6», карточки с заданиями, записи на доске.

1. Оргмомент.
2. Устная работа.
3. Решение упражнений на доске по карточкам
4. Решение упражнений. Самостоятельная работа.
5. Итог урока.
6. Домашнее задание.

1)Что называется модулем числа?

2)Геометрическая интерпретация модуля числа. Таблица.

3)Раскрытие модуля: |х-8|. Использование таблицы 1.

4)Решить уравнение: |х-2|=5 (отв.:7; -3); |х-10|=0 (отв.: 0); |х+3|=-4 (отв.: ∅);

5)Решить неравенство: а) |х| ≤ 3; б) |х| > 6. Использование таблицы 2.

6)Решить уравнение . Решение: ⇒ |х| = 5 ⇒ х=5; -5. Ответ: 5; -5.

1. Решение упражнений на доске по карточкам с последующим кратким анализом и обсуждением решения.

Решение. ОДЗ: х ≥ 0.

х+3=-2х х=-1∉ ОДЗ Ответ: 3

Решение. х 2 -1 > 1 ⇒ х 2 > 2 ⇒ х> ⇒ х∈ (-∞;- ) ∪ ( ; +∞)

4)Решить систему неравенств: |х+1|

|х-1| ≥ 2 х-1 ≥ 2 х ≥ 3

х-1 ≤ -2 х ≤ -1 -7 -1 3 5 х

1. Решение упражнений (на доске и в тетрадях).

1)Решить уравнение х 2 +6|х|-7=0

Решение. Обозначим |х|=t, где t ≥ 0. Тогда |х| 2 = х 2= t 2 . Уравнение принимает вид:

t 2 +6t-7=0. Корни находим по теореме Виета: t=1, t=-7, из которых t=-7

Возвращаемся к замене: |х|=1, отсюда х=1, х=-1.

Обратим внимание учащихся на то, что решать такие уравнения с модулем способом подстановки выгоднее и продуктивнее, чем рассматривать два случая раскрытия модуля.

2)Найдите наибольшее значение выражения При каких значениях х и у оно достигается?

Решение. Дана дробь вида . Её числитель не изменяется, а знаменатель изменяется. Следовательно, чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

Слагаемые: (х-у-3) 2 х ≥ 0; |х+у-5| ≥ 0; 3 > 0.

Дробь примет наибольшее значение при равенстве нулю двух первых слагаемых. Получим дробь , где 4 — наибольшее значение выражения.

Рассмотрим, при каких значениях х и у оно достигается. Решим систему уравнений (можно устно, например, способом сложения)

Ответ: наибольшее значение выражения равно 4 при х=4, у=1.

Решение. I II III

а) Раскроем модули