Неразрешимость уравнений 5 степени в радикалах

Неразрешимость уравнений 5 степени в радикалах

Уравнение пятой степени в радикалах. Теорема Руффини — Абеля

Вернувшись из Копенгагена, Абель снова занялся алгебраическими уравнениями. Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял, что ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче. Вот что написал он об этом позже:

«Одной из интереснейших проблем алгебры является алгебраическое решение уравнений. Почти все выдающиеся математики исследовали этот вопрос. Без труда были получены общие выражения для корней уравнений первых четырех степеней. Для решения этих уравнений был открыт единый способ и надеялись, что он применим к уравнениям любой степени; но, несмотря на все усилия Лагранжа и других выдающихся математиков, поставленная цель не была достигнута. Предполагали решать уравнения, не зная, возможно ли это решение. В случае существования решения могли его получить, ничего о нем предварительно не зная; но если, к несчастью, решение не существовало, то его могли бы тщетно искать целую вечность. Для того чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому вопросу, надо было выбрать иную дорогу, придав проблеме такой вид, чтобы она была всегда разрешима, а это можно сделать с любой проблемой. Вместо того, чтобы искать некоторое соотношение, не зная, существует оно или нет, надо спросить, возможно ли такое соотношение. Этот метод, который, без сомнения, является единственно научным, поскольку лишь он позволяет быть заранее уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в математике только потому, что его применение связано с исключительными трудностями. ».

Абелю удалось преодолеть эти трудности: он доказал, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах — решения такого уравнения нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и извлечения корней.

Таким образом, проблема, над которой математики бились веками, к началу 1824 года была полностью решена. Чтобы скорее сделать полученный результат достоянием математиков, Абель отпечатал брошюру с доказательством на французском языке за свой счет; из-за отсутствия средств ему пришлось сократить изложение до шести страниц и предоставить читателю додумать детали многих рассуждении. Неудивительно, что лишь немногие математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы. Даже Гаусс, больше всех интересовавшийся теорией алгебраических уравнений, затерял брошюру Абеля среди своих бумаг. Впоследствии Абель опубликовал развернутое доказательство своей теоремы, занявшее несколько десятков страниц.

Вскоре выяснилось, что за несколько лет до Абеля аналогичный результат получил и итальянский ученый Паоло Руффини. И хотя доказательство Руффини было неполным, все же теорему о неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах теперь называют теоремой Руффини — Абеля.

Но хотя общее уравнение пятой степени и нельзя решить в радикалах, существует целый ряд частных случаев, в которых такое решение возможно. Например, разделить угол a на n равных частей значит выразить cos a через cos (a/n) и решить получившееся уравнение относительно cos (a/n). Так как

cos a = 4 cos 3 (a/3) — 3 cos(a/3)

то при n = 3 получаем кубическое уравнение которое, как и всякое кубическое уравнение, решается в радикалах. Оказывается, такие уравнения решаются в радикалах при любых значениях n. Аналогичные уравнения получаются и при переходе от тригонометрических функций к эллиптическим. Абелю удалось написать эти уравнения, выразив эллиптические функции аргумента х через функции аргумента х/n.

Абель знал, что вопрос о разрешимости уравнения в радикалах связан с соотношениями между корнями уравнения. Например, все корни уравнения

x n-1 + x n-2 + . + x + 1= 0, (2)

возникающего при деление круга на n частей (поэтому уравнение (2) называется уравнением деления круга), можно выразить через один из них следующим образом:

Функции y = x, y = x 2 . y = x n-1 рациональны. При этом они обладают следующим замечательным свойством: если взять любые две такие функции, заменить в одной из них х другой функцией и вместо х подставить x₁, то полученное число снова будет одним из корней уравнения. В самом деле, из уравнения (2) следует, что x₁ n = 1, а потому (x₁ k ) l = x₁ kl = x₁ m где m — остаток от деления kl на n.

Абель понял, что именно с этим свойством связана разрешимость в радикалах уравнения деления круга. Поэтому он рассмотрел такие уравнения, что:

а) все корни каждого из них могут быть представлены в виде рациональных функций от одного из корней, например, от x₁:

б) функции таковы, что для любых k и l найдется такое m, что

Оказалось, что для разрешимости уравнения в радикалах достаточно выполнения еще одного условия: для любых k и l

Иными словами, нужно, чтобы не имело значения, подставим ли мы

С тех пор совокупности преобразований, результат последовательного выполнения которых не зависит от порядка вы-полняемых преобразований, называют абелевыми (или коммутативными).

При изучении эллиптических функций и интегралов Абель широко использовал теорию степенных рядов. Степенным рядом называется выражение вида

Он доказал, что множество значений х, для которых сходится ряд

является или промежутком вида ]—l, l[ (где l может также равняться нулю или бесконечности), или таким же промежутком, к которому присоединены один или оба конца. Он доказал, что на промежутке сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать и исследовал поведение суммы ряда при приближении х к концам промежутка сходимости. Все эти результаты сразу после их опубликования стали классическими и вошли во все курсы высшей математики.

Описанный круг идей Абель разрабатывал на протяжении 1824—1826 годов, когда, окончив университет, отправился за границу для продолжения образования. Он побывал в Германии, Австрии, Италии, Швейцарии, Франции, Бельгии, познакомился с Якобом Штейнером, Андриеном Лежандром, Огюстеном Коши и многими другими математиками.

По материалам книги
«Замечательные ученые»
под ред. С.П. Капицы

О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа

Историческая справка

Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике.

Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини.

Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых «Арифметических исследованиях». К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками — Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

Мотивация данной статьи

Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.

На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.

Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x 5 -10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S₅, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы S_n. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными.

Немного иной подход описан в книге Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое.

Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля.

После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки — работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки — знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

Решения уравнений в радикалах

Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

Формулы Виета — напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x₁ + x₂ + x₃, x₁x₂x₃, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃.

Теорема о симметрических многочленах — каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

Первообразные корни n-й степени из единицы — комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1) 2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2) 3 = 1, i 4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы.

Основная теорема алгебры — гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

Пусть f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x₁, x₂, x₃, x₄ его корни.

Напомним, что его коэффициенты — это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x — x₁)(x -x₂)(x — x₃)(x — x₄):

Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x₁x₂ + x₃x₄, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:

На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y₁ + wy₂ + w 2 y₃) 3 , где w — это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

Теперь составим квадратное уравнение на z₁ и z₂:

z₁+z₂ и z₁z₂ — будут симметрическими функциями от корней нашего изначального уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z₁, z₂. После чего, извлекая кубические корни из z₁, z₂, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y₁. Далее, c помощью y₁ и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x₁, x₂, x₃, x₄ изначального уравнения.

Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

Неразрешимость уравнения 5-й степени

Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней.

Пусть f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ его корни. Обозначим за y₁ первый радикал входящий в значение x₁ в порядке вычисления. Пусть y₁ n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y₁ уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней — g(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y₁ n = p, которые имеют вид g, zg, z 2 g, z 3 g … z n-1 g, где z — первообразный корень n-й степени из единицы (z n =1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x₁, x₂), тогда

если мы применим ее еще раз, то получим:

Из этого следует, что z 2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y₁ будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x₁, x₂, x₃) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x₁, x₂)(x₂, x₃). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y₁ к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y₁ будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y₂, тогда y₂ n = q, где q — это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y₁.

В данном случае z 3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы.

Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней

Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x₃,x₂,x₅,x₁,x₄ -> x₂,x₅,x₁,x₄,x₃. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

но, выше мы уже видели, что

а из этого следует

что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃).

Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли набор значений при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S₅, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A₅, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A₅ является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

Заключение

Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.

Уравнение, не решаемое в радикалах

С реди великих ученых прошлого выделяется человек, не доживший и до двадцати одного года, но успевший за столь короткую жизнь сделать великое открытие в области алгебры. Все его научные труды занимают всего 60 страниц, содержание которых не давало покоя математикам всего мира в течение целого столетия. Это выдающийся французский математик Эварист Галуа.

В предрассветные часы 30 мая 1832 года, перед дуэлью, на которой оборвется его жизнь, Галуа написал своему другу Огюсту Шевалье: «Я открыл в анализе кое-что новое. Некоторые из этих открытий касаются теории уравнений, другие — функций, определяемых интегралами.

В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.

Из этого можно сделать три мемуара…

Обратись публично к Якоби и Гауссу и попроси их высказать свое мнение, но не о верности теорем, а об их значении.

Я надеюсь, что после этого найдутся люди, которые сочтут для себя полезным навести порядок во всей этой неразберихе».

Открытие математики

Эварист Галуа родился 25 октября 1811 года в городе Бур-ла-Рен близ Парижа. Его отец Никола Габриэль Галуа был сторонником Наполеона; он был избран мэром Бур-ла-Рена в 1815 году, во время наполеоновских «Ста дней».

Официально обучение Галуа началось в 1823 году, когда он поступил в Королевский лицей Людовика Великого — парижскую приготовительную школу, в которой в свое время учились Робеспьер и Виктор Гюго (эта школа существует и по сей день). В лицее сформировались политические взгляды Галуа. Антироялистские симпатии, переданные ему родителями, совпадали с политическими взглядами большинства лицеистов.

В первый год пребывания Галуа в лицее отношения между лицеистами и новым директором школы были весьма натянутыми. Лицеисты подозревали его в намерении отдать школу иезуитам, которые символизировали реакцию, пришедшую на смену наполеоновской эпохе. Ученики доступными им средствами выражали свой протест: отказывались петь в церкви, отвечать в классе, провозглашать тост за здоровье Людовика XVIII на школьных банкетах. Директор исключил сразу сорок учеников как зачинщиков. Галуа не исключили (и неизвестно, принимал ли он участие во всем этом), но произвол директора, несомненно, усилил недоверие Галуа к властям.

В первые годы обучения Галуа завоевал несколько наград по греческому и латыни и получил полдюжины хвалебных отзывов. Правда, на третьем курсе лицея он недостаточно хорошо занимался по классу риторики и был оставлен на второй год. Галуа было тогда пятнадцать лет. Занятия в его классе вел Ипполит Жан Вернье, который пробудил в Галуа интерес к математике. Без труда освоив учебную программу, он сразу взялся за работы выдающихся ученых того времени, увлеченнно изучил книгу геометра Лежандра и труды Лагранжа «Решение алгебраических уравнений», «Теория аналитических функций» и «Лекции по дифференциальному исчислению». По-видимому, Вернье по достоинству оценил талант своего ученика: в отзыве на отчет Галуа за триместр он пишет о «старании и успехе», «старании и очень заметном прогрессе».

Открыв для себя мир математики, Галуа сильно переменился. Он стал небрежно относиться к занятиям по другим предметам, чем вызвал недовольство учителей по гуманитарным наукам. Преподаватели риторики называют его рассеянным, в отчете за триместр и в отзывах появляются слова «замкнутый», «странный», «своеобразный». Даже Вернье, который не стремился охладить страсть Галуа к математике, советовал ему заниматься более систематически. Галуа не последовал совету: он решил держать вступительный экзамен в Политехнический институт на год раньше и без обычного подготовительного курса по математике. И провалился, так как недостаточно глубоко знал ее основы.

У истоков теории групп

Галуа считал, что с ним обошлись несправедливо, провал еще более настроил его против властей. Тем не менее он продолжал делать успехи в математике и записался в лицее в математический класс более высокого уровня, который вел очень опытный преподаватель Луи Поль Эмиль Ришар. Ришар сразу понял, сколь одарен Галуа, и обратился с просьбой принять в Политехнический институт без экзаменов. Просьба эта последствий не возымела, но одобрение Ришара оказало на юношу чудесное влияние. В марте 1829 года, когда Галуа был еще студентом, вышла его первая статья. Она называлась «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях» и появилась в журнале Annales de mathématiques pures et appliquées, который издавал Жозеф Диаз Жергон.

Однако тема статьи была в стороне от главных научных интересов Галуа. В то время он уже обратился к теории алгебраических уравнений, которую начал изучать по трудам Лагранжа. В возрасте семнадцати лет Галуа взялся за одну из самых трудных в математике проблем, которая сто с лишним лет заводила ученых в тупик.

В 1829 году центральной проблемой теории уравнений был вопрос, каким должен быть метод решения уравнения с одним неизвестным x, все коэффициенты которого являются рациональными числами, причем член наивысшей степени равен x n . Метод должен быть общим, применяться ко всем подобным уравнениям и включать в себя лишь четыре элементарные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и операцию извлечения корня. Если решения (корни) уравнения можно получить из коэффициентов уравнения только при помощи этих операций, то говорят, что уравнение разрешимо в радикалах.

Накопленный опыт как будто подсказывал, что решение уравнения n-й степени не потребует более сложных операций, чем извлечение корня n-й степени. Решение квадратного уравнения общего вида или уравнения второй степени ax 2 + bx + c = 0, известное еще вавилонянам, требует извлечения квадратного корня из некоторой комбинации коэффициентов, а именно из выражения b 2 − 4ac. Таким образом, общее квадратное уравнение разрешимо в радикалах. Точно так же общее решение кубического уравнения, которое нашли в начале XVI века итальянские математики Сципион дель Ферро и Никколо Фонтана (Тарталья), сводится к извлечению кубического корня из некоторой комбинации коэффициентов. Решение уравнения четвертой степени общего вида, впервые полученное итальянским математиком Лудовико Феррари примерно в то же время, требует извлечения корней четвертой степени.

До Галуа почти триста лет никому не удавалось решить в радикалах общее уравнение пятой степени или выше. Многие математики склонялись к мысли, что общее решение такого вида невозможно, хотя в частных случаях, например в случае уравнения x 7 − 2 = 0, решение можно найти в радикалах. (В этом примере одно из решений — 7 √2.) Галуа нашел окончательные критерии, которые позволили определить, существует ли решение данного уравнения в радикалах. Его исследования привели к теории, ныне называемой теорией групп, приложения которой выходят далеко за рамки теории уравнений.

Свою первую статью в той области, которая в дальнейшем превратится в теорию групп, Галуа представил во Французскую академию наук 25 мая 1829 года, незадолго до окончания лицея. Менее чем через два месяца ему снова предстояло держать вступительный экзамен в Политехнический институт, однако события приняли несчастливый оборот. Второго июля, за несколько недель до экзамена, отец Эвариста покончил жизнь самоубийством, не вынеся скандала вокруг своего имени. (Приходский священник-иезуит Бур-ла-Рена оклеветал старшего Галуа, распространив среди родственников и знакомых Галуа злые эпиграммы на него.) Обстановка для экзамена сложилась крайне неблагоприятная. Кроме того, на экзамене Эварист, по-видимому, отказался следовать предложенной экзаменатором схеме ответа; в результате Галуа провалился опять, на этот раз окончательно.

Отвергнутый академией

Вынужденный теперь подумать о менее престижной Эколь Нормаль, Галуа в ноябре 1829 года выдержал необходимый для поступления экзамен. На этот раз его приняли благодаря очень высокому баллу по математике, и примерно в то же время, когда его статья по теории групп была представлена в Академию наук, он стал студентом. Однако статья Галуа не была зачитана на заседании академии.

Дело в том, что рецензентом назначили Огюстена Луи Коши — самого известного в ту пору французского математика, который был верным сторонником консервативной реставрации. Коши уже занимался комбинаторикой, предшественницей теории групп; позднее он написал много работ, посвященных этой теории. Распространена версия, что Коши потерял, забыл или выбросил рукопись Галуа; но больше похоже на правду, что Коши, понимая ее значение, обращался с ней бережно. Действительно, из письма, обнаруженного Татоном в 1971 году в архивах академии, явствует, что 18 января 1830 года Коши намеревался выступить на заседании академии с изложением результатов Галуа.

Однако на следующей неделе, когда Коши выступал перед академией со своим собственным докладом, он не представил работу Галуа. Почему так получилось — остается предметом догадок. По мнению историка Татона, Коши настаивал на том, чтобы Галуа расширил свою статью и представил ее на соискание высшей награды академии по математике. Хотя предположение Татона не подтверждается документами, Галуа действительно представил свою работу на конкурс в феврале, за месяц до истечения срока конкурса. Статья была послана постоянному секретарю академии Жану-Батисту Фурье, математику, разработавшему метод анализа, который ныне называют анализом Фурье. Однако в мае Фурье умер, и рукопись Галуа среди его бумаг не нашли. Впоследствии Галуа приписывал свое невезение козням со стороны Академии, обвиняя конкурсную комиссию в произволе: его работу отклонили только потому, что его фамилия Галуа и он всего лишь студент.

Несмотря на неудачи, Галуа продолжал плодотворно работать и начал публиковать свои труды в Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques, издававшемся бароном Феруссаком, — менее видном издании, чем публикации Академии наук. Из его статей ясно, что в 1830 году он ушел далеко вперед в исследовании условий, определяющих разрешимость уравнений, хотя еще и не получил полного решения этой проблемы. В январе 1831 года он завершил работу и, следуя настоятельным советам математика Симеона Дени Пуассона, представил ее в Академию наук. Эта статья — самая значительная работа Галуа, и тот факт, что она вышла в свет более чем за год до дуэли, лишает смысла историю о том, что все свои работы по теории групп Галуа написал за одну ночь.

Чтобы понять работу Галуа, бесполезно изучать его оригинальные статьи. Пуассон, несомненно, старался разобраться в рукописи 1831 года, но в конце концов рекомендовал Академии наук отклонить ее, посоветовав Галуа расширить статью и сделать изложение более ясным. Пуассон также отверг одно из доказательств Галуа, посчитав его неверным. Действительно, как считают историки науки, аргументация Галуа была очень кратка и сжата, что чрезвычайно затрудняет ее понимание; кроме того, встречаются и неточности. Это было не случайно. Галуа сознательно пренебрегал разъяснениями. Он писал: «Вместо алгебраических формул они [его критики] используют длинные рассуждения — и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет».

Теория групп, у истоков которой стоял Галуа, ныне является одной из самых плодотворных областей математики. Ученый и изобретатель Александр Белл писал, что она на сотни лет дала математикам пищу для исследований. А известный математик Иэн Стюарт отметил, что «никто не мог бы предположить, что вопросы о разрешимости уравнений приведут к одной из ключевых концепций в математике — концепции группы или что группы окажутся языком, на котором описывается симметрия. Еще менее того можно было полагать, что симметрии откроют нам дверь к тайнам физического мира».

Математика и революция

Когда Галуа заканчивал работу над теорией групп, в его жизнь ворвались политические события. В июле 1830 года республиканцы — противники восстановленной монархии вышли на улицы. Карл X был вынужден эмигрировать. В то время как революционно настроенные студенты Политехнического института активно участвовали в этих событиях, Галуа и его товарищей по Эколь Нормаль заперли внутри школы по приказу директора. Возмущенный Галуа пытался сбежать, но ему это не удалось, так что он остался в стороне от событий июльской революции.

Отречение Карла X казалось большой победой республиканцев, однако на троне оказался Луи-Филипп, к великому разочарованию Галуа и других республиканцев. В последовавшие за революцией месяцы Галуа посещал собрания республиканцев, встречался с их лидерами (особенно с Франсуа Венсаном Распаем) и, по-видимому, принимал участие в волнениях и демонстрациях, лихорадивших Париж. Он вступил в артиллерию Национальной гвардии — подразделение милиции, состоявшее почти исключительно из республиканцев. В декабре Галуа написал в одну из парижских газет письмо, в котором называл директора Эколь Нормаль предателем, имея в виду его поведение во время июльской революции; неудивительно, что после этого Галуа исключили.

В противоположность традиционной легенде, Галуа вовсе не производит впечатления жертвы обстоятельств. Напротив, он, похоже, был сорвиголовой и постоянно попадал в переделки. Из письма математика Софи Жермен следует, что Галуа регулярно присутствовал на заседаниях Академии наук и обычно всячески нападал на выступающих. Когда Галуа исключили из Эколь Нормаль, он переехал в парижский дом своей матери, но ей оказалось трудно с ним ужиться, и она уехала.

Для Галуа кульминация бурной весны 1831 года наступила 9 мая во время банкета республиканцев, которые праздновали оправдание девятнадцати артиллерийских офицеров, обвиненных в заговоре против правительства. В своих мемуарах Александр Дюма-отец, который присутствовал на этом банкете, пишет, что Галуа встал и предложил тост за Луи-Филиппа, при этом одновременно с бокалом он поднял кинжал. На следующий день Галуа арестовали, и он провел больше месяца в тюрьме св. Пелагеи.

На суде защитник Галуа утверждал, что тост на самом деле звучал так: «За Луи-Филиппа, если он предаст», однако конец фразы потонул в шуме. Либо судьи поверили защите, либо их тронула молодость Галуа, но они его оправдали. Тем не менее в день взятия Бастилии, 14 июля 1831 года — не прошло и месяца после суда, — Галуа снова арестовали, на этот раз за незаконное ношение формы артиллерийской гвардии. Гвардия была распущена как угроза короне, поэтому поступок Галуа был вызывающим. На этот раз он провел в тюрьме св. Пелагеи восемь месяцев.

Сохранившиеся рукописи Галуа свидетельствуют, что и попав в тюрьму, он продолжал вести математические изыскания и не оставлял их вплоть до самой смерти. То, что он мог продуктивно работать в таких условиях, говорит о необыкновенной силе его воображения и интеллекта

«Подлая кокетка»

Но тюремное заключение не прошло даром: он впадал то в ярость, то в уныние. Его приятель Распай, который находился в тюрьме в это же время, позже вспоминал, что однажды Галуа в состоянии опьянения пытался покончить с собой. Согласно Распаю, Галуа говорил, что его преследует видение собственной кончины: «Я умру на дуэли по вине какой-нибудь кокетки низкого пошиба. Почему? Потому что она заставит меня защищать ее честь, которую оскорбит другой». Когда погиб один из заключенных, Галуа, по-видимому, обвинил тюремного надзирателя в том, что тот подстроил убийство. За это Галуа посадили в карцер.

Самой большой неприятностью было то, что статьи, написанные Галуа в течение 1831 года, не напечатали. В исполненном горечи предисловии к тюремным запискам он утверждал: «Мне некого благодарить ни за совет, ни за поддержку. Благодарность была бы ложью».

В середине марта 1832 года из-за свирепствовавшей тогда в Париже эпидемии холеры Галуа перевели из тюрьмы св. Пелагеи в частную лечебницу Фолтрие. По-видимому, именно здесь он и встретил ту самую «подлую кокетку». Роман был коротким, однако нелепо утверждать, что героиня его была продажной женщиной или платным агентом и намеренно подстроила убийство. Согласно свидетельству Распая, фразу о кокетке низкого пошиба Галуа произнес за год до дуэли; вполне возможно, что это слова самого Распая. Кроме того, 25 мая, за шесть дней до смерти, в письме к Огюсту Шевалье Галуа намекает, что его роман оборвался: «Но как изгладить следы той бури страстей, через которую я прошел? Как утешиться, когда за один месяц исчерпан до дна источник самого сладостного блаженства, отпущенного человеку, когда он выпит без радости и без надежды, когда знаешь, что он иссяк навсегда?» Кто же была эта женщина? Имя женщины, которую Галуа обвиняет в своих бедах в письме, написанном в ночь накануне дуэли, часто появляется на полях статей Галуа. На факсимиле под именем Эварист можно прочесть имя Стефания; Галуа также объединил буквы «С» и «Э» в монограмме. Из писем и других рукописей ясно, что злой эпитет «подлая кокетка» вышел из-под пера Галуа в связи с разочарованием в любви к женщине, которую он встретил всего за несколько месяцев до дуэли. Ее личность установлена: это Стефания Фелисия Потерэн дю Мотель, дочь парижского врача.

Брат Галуа Альфред утверждал, что Эвариста убили преднамеренно, но маловероятно, чтобы убийцу подкупили антиреспубликанцы. Согласно Дюма, противником Галуа был Пеше д’Эрбенвиль, пылкий республиканец. В самом деле, д’Эрбенвиль — один из тех девятнадцати офицеров, чье оправдание послужило поводом для вызывающего тоста Галуа. Кроме того, когда во время революции 1848 года разоблачали агентов короля, имя д’Эрбенвиля не упоминалось. Историки считают, что дуэль происходила между друзьями и представляла собой что-то вроде «русской рулетки», когда заряжают только один пистолет.

В предрассветные часы 30 мая 1832 года Эварист Галуа писал своим друзьям Лебону и Делонэ: «Меня вызвали на дуэль два патриота… Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов. Ваша задача очень проста: вам надо подтвердить, что я дрался против воли, то есть после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, как тот, о котором шла речь. Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы мое имя узнала родина.

Умираю вашим другом. Э. Галуа».

В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался от смертельного ранения.

Математические работы Галуа, по крайней мере те, что сохранились,

составляют всего шестьдесят страниц. Как заметил кто-то из математиков, никогда еще труды столь малого объема не приносили автору такой широкой известности.

Исполняя желание Эвариста Галуа, его младший брат Альфред и Огюст Шевалье разослали копии рукописи Карлу Гауссу, Карлу Якоби и другим известным математикам. Но прошло почти десять лет, прежде чем его работа была оценена по достоинству. Это произошло в 1846 году, когда одна из копий была вручена выдающемуся французскому математику Жозефу Лиувиллю. Ученый уделил много времени работе Галуа, отредактировал его мемуары и опубликовал в своем престижном издании — «Журнале чистой и прикладной математики» (Journal de Mathèmatiques pures et appliquées).