Нерезонансный случай в дифференциальных уравнениях

Нерезонансный случай в дифференциальных уравнениях

МЕТОД ПОДБОРА ПОСТРОЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. Подробнее

Высшая математика

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в следующем.

Внимательно смотрим на правую часть уравнения и записываем число α ± β i .

Затем составим характеристическое уравнение однородного уравнения и найдем его корни. Возможны два случая: среди корней характеристического многочлена нет корня, равного числу α ± β i (нерезонансный случай) и среди корней характеристического многочлена есть r корней, равных числу α ± β i ( резонансный случай).

Рассмотрим нерезонансный случай (среди корней характеристического многочлена нет корня, равного числу α ± β i ) . Тогда частное решение уравнения будем искать в виде

Доказано, что полученная таким образом система 2 k + 2 уравнений относительно 2 k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

Рассмотрим резонансный случай (среди корней характеристического многочлена есть r корней, равных числу α ± β i ) . Тогда частное решение уравнения будем искать в виде

Нерезонансный случай в дифференциальных уравнениях

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:
P_k(x)exp(ax)cos(bx) + Q_m(x)exp(ax)sin(bx),
где P_k(x), Q_m(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
(P_r(x)exp(ax)cos(bx) + Q_r(x)exp(ax)sin(bx))x s ,
где P_r(x), Q_r(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами
p_r , p_r-1, . p₁, p₀, q_r, q_r-1, . q₁, q₀.
Сомножитель x s называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень
l =a ± ib кратности s.
Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель x s . Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.
Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида x t exp(ax)sin(bx), x t exp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t.
Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

ПРИМЕР 1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанса нет.

ПРИМЕР 2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанс есть.

ПРИМЕР 3. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту. Резонанса нет.

ПРИМЕР 4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту. Резонанс есть.

ПРИМЕР 5. Решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части обобщенный многочлен.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Способы получения резонансных решений систем дифференциальных уравнений «Нерезонансными» методами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Геренштейн Евгения Аркадьевна

Рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями. Предлагается метод получения периодических решений в резонансном случае.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Геренштейн Евгения Аркадьевна

Resonance solutions of the systems of differential equations by non-resonance methods

The system of ordinary nonlinear differential equations with periodic right parts is considered. Authors offered the method of the receiving of periodic solution in non-resonance case.

Текст научной работы на тему «Способы получения резонансных решений систем дифференциальных уравнений «Нерезонансными» методами»

СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «НЕРЕЗОНАНСНЫМИ» МЕТОДАМИ

А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн

Рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями. Предлагается метод получения периодических решений в резонансном случае.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, периодические решения, резонанс.

В работе [5] рассматривались методы нахождения Т -периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

Пусть P(t) — фундаментальная нормированная матрица решений системы

jP(0) = Е(единичная матрица), (5)

В нерезонансном случае множество Т -периодических решений системы дифференциальных уравнений (1) совпадает с множеством Т -периодических решений системы интегральных уравнений:

В нерезонансном случае матрица Е-Рг не вырождена.

В работе [5] установлены некоторые достаточные условия существования и единственности Т -периодического решения системы (8), связанные с сжимаемостью интегрального оператора в правой части этой системы, и предложен алгоритм численного получения такого решения.

Резонансным случаем называется факт существования Т -периодических решений системы (3), т.е. случай вырожденное™ матрицы Е-Рт .

1. Редукция резонансного случая к нерезонансному

В случае резонанса и в околорезонансном случае (когда определитель матрицы Е-Рт близок к нулю) достаточные условия существования решения системы (8) не выполняются.

В работе [5] получена система интегральных уравнений, соответствующая резонансному случаю, однако, решение такой системы связано с аппаратом теории неявных функций, что затрудняет дальнейшие теоретические и практические разработки. Но, тем не менее, за счет неких приемов удается получить периодические решения таких систем с помощью «нерезонансных» методов. Вместо системы (1) рассмотрим систему:

а для фундаментальной нормированной матрицы Q(t) однородной системы

выполнялось бы условие:

| det(J5 — Q(t)) |> а > 0. (12)

монотонно возрастающая дифференцируемая функция, определенная на всей числовой прямой, причем, q(0) = 0, S = S(t) — невырожденная квадратная матрица, элементы которой дифференцируемы на всей числовой прямой. Положим

Тогда матрица B(t) примет вид:

При этом матрицу S(t) и функцию q(t) надо выбрать так, чтобы матрица B

Например, если S0(t) — Т -периодическая матрица, a>(t) — Т -периодическая функция, то можно положить:

в(0 = е° ^(ОДО’З’оЧО)- (16)

5(0 = (ОА^ (0 + со(ОЕ + б’о1 (0 (17)

(здесь Е — единичная матрица).

Если при этом А — постоянная матрица, то для любого положительного числа Л можно положить:

0(О = е° ЗДР(10£о’(0), (18)

5(О = -5’0(ОЖО5’01(ОЯ + «(^ + ^^^01(О. (19)

Если матрица Е-Р(Г) вырождена, то выполнение условия (18) достигается, в основном, за счет того, что q(T) Ф Т.

Рассмотрим как работает данный метод на простом примере системы двух уравнений.

2. Пример. Рассматривается система:

f(x,t + 2n) = f(x,t). Фундаментальная нормированная матрица системы (20): P(t) = матрица коэффициентов линейной части системы:

/ cos cot sin cotл

4-sin cot COSCOtj

Если со не является целым числом (нерезонансный случай), то периодические решения системы (20) совпадают с периодическими решениями системы интегральных уравнений:

Если со близко к целому числу, то знаменатель в правых частях системы (22) близок к нулю, и итерационный процесс оказывается расходящимся.

1. Первый подход. Если .со близко к целому числу, то можно выбрать некоторое число со (близкое к полуцелому значению) и применить следующую процедуру:

1) Производим замену:

в результате которой система (20) принимает вид:

r cos cot sin ft) Л

4 -sin cot COS cot J

В итоге, вместо системы (20) рассматривается система

(при этом по сравнению с системой (20) огу = соу.

Система интегральных уравнений принимает вид:

х(() = —=—Г (f(x(т),т) + (a)2-co2)x(тУ)coscд(t-т-я)dт

y(t) = ———;г— f (/(л(г),г) + ( C02-C02)x(T))sinC0(t-T-x)dT.

Геренштейн А.В., Геренштейн Е.А.

Ввиду наличия в правых частях системы (24) слагаемого (со2 -со2)х(т) методы оценки правых частей, которые применялись для нерезонансного случая в работе [5], теперь оказываются неэффективными.

2. Второй подход. В этом случае также выбирается число ю , близкое к полуцелому, и система (20) записывается в виде

х — еду — (со — со)у,

у = -сох + (со- со)х + —/(x,t).

Система интегральных уравнений принимает вид:

*(0= — ■ — 1 ((—А*(г)г) + (со — сосо)х(т)) X

х cos a>(t-T-n) + (со2 — com ^(^sin

у(?) = —f ((—/(x(r)r) + (a2- coco)x(t)) x Icosmcon г со

X sin Cd(t -Т-я)- (со2 — сосо)у(т) COS Cd(t-T-n)dr.

Численный эксперимент показал, что более сильным является первый подход. С помощью первого подхода решение с заданной точностью получалось за меньшее число итераций, чем при использовании второго подхода. И если решение системы можно было получить вторым подходом, то первый тоже оказывался сходящимся, а наоборот — не всегда. Однако встает вопрос о нахождении условий, гарантирующих существование и единственность решения.

1. Гельфанд, И.М. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. — М.: Наука, 1958. — 274 с.

2. Рейслинг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейслинг, Г. Сансоне, Р. Конти. — М.: Наука, 1974. — 318 с.

3. Плисс, В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В.А. Плисс. — М.: Наука, 1977. — 303 с.

4. Гиль, М.И. Метод операторных функций в теории дифференциальных уравнений / М.И. Гиль. — М.: Наука, 1990. — 151 с.

5. Геренштейн, А.В. Периодические решения систем дифференциальных уравнений / А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн. — М., 1997. — 42 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1943. — В97.

Поступила в редакцию 1 октября 2008 г.

RESONANCE SOLUTIONS OF THE SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS BY NON-RESONANSE METODS

The system of ordinary nonlinear differential equations with periodic right parts is considered. Authors offered the method of the receiving of periodic solution in non-resonance case.

Keywords: ordinary differential equation, periodic solution, resonance.

Herreinstein Arkady Wasiljevich. — Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Applied Math. Department, South Ural State University.

Геренштейн Аркадий Васильевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.

Herreinstein Evgenija Arkadjewna. — Cand.Sc. (Technics), Assistant of the Applied Math. Department, South Ural State University.

Геренштейн Евгения Аркадьевна — кандидат технических наук, ассистент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.