Нестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств

Нестандартные методы решения иррациональных неравенств и уравнений

Работа ученицы 10 класса МАОУ СОШ № 2 п.Карымское Заб.края Нуждиной Марии на научно — практической конференции «Шаг в науку». В работе рассмотрены различные методы решения иррациональных уравнений и неравенств, задачи разбиты по группам, предложены различные методы решения одной задачи.

Просмотр содержимого документа
«Нестандартные методы решения иррациональных неравенств и уравнений »

Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников

Тема: Нестандартные методы решения иррациональных

Нуждина Мария , МАОУ СОШ №2

10 класс, п. Карымское

Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,

МАОУ СОШ №2, п. Карымское

п. Карымское, 2013

§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9

§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14

§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17

§4. Разложение на множители…………………………………………. …..18-19

§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

Авторы многих учебных пособий предлагают различные методы и приемы решения иррациональных уравнений , поэтому целью нашего исследования было их изучение и систематизирование.

При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;

В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы:

Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;

Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;

Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;

Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Объектной областью, в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования — решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения — предмет нашего исследования.

В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.

Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения — нужная и интересная работа.

В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.

Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза: Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

-Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.

-Установить связи между видами и методами решения.

-Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.

-Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).

В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави ,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина ,И.Т.Бородуля , а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений

Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.

Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.

Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.

Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.

Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемtmr-mo-matematika.narod.ru

Презентация на тему: » Нестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.» — Транскрипт:

1 Нестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

2 1-й метод решения Решим следующее уравнение :

3 Введем два вектора так, чтобы левая часть уравнения представляла собой их скалярное произведение, а правая произведение их длин

4 Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин в том и только том случае, если векторы сонаправленые. Два ненулевых вектора сонаправлены в том случае, если отношения их соответствующих координат равны одному и тому же положительному числу. Отсюда мы получаем X=1

5 2-й метод решения Решим следующее уравнение:

7 3-й метод решения Решим следующие неравенство:

8 Введем два вектора так, чтобы левая часть уравнения представляла собой сумму их длин.

9 Это возможно только в том случае, если векторы сонаправлены.

10 Два ненулевых вектора сонаправлены, если отношения их соответствующих координат равны одному и тому же положительному числу. В данном случае условие сонаправлености имеет вид:

11 4-й метод решения Решим следующие уравнение:

13 Мы получим: Таким образом уравнение примет вид:

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения. Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления. Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;

3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока:

Методы обучения:

Информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

Фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.

План урока:

I. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

III. Изучение нового материала.

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

VI. Задание на дом.

I Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

· Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

· Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

· Основные методы решения иррациональных уравнений.

1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1) использование равносильных преобразований

для уравнения вида

2) после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Проверка: x=2 x=5

— посторонний корень

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:

2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:

Сделаем замену причём тогда

не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т. к. а + в = 4, то

Значит: 9 – x = 8 , х = 1.

3. Метод разложения на множители или расщепления.

· Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:

III Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

4. Умножение на сопряжённое выражение.

5. Переход к модулю.

6. Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

§ Область значения функции

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

§ Использование суперпозиций функций

· Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой

Пример 8:

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ:

· Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:

Пример 9:

§ Если , то , тогда

тогда

§ Если , тогда ,а

§ Если , тогда , а

· Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:

ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ:

Пример 11:

, тогда

Тогда невозможно.

Ответ: корней нет.

§ Область значений функции

Пример 12:

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть — функция может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

· Если и , то

Пример 14:

Заметим, что , т. е. , а

Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:

· Пусть — функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.

· Пусть — функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция — убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .

Рассмотрим функции и .

монотонно возрастает, а — убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:

Пример 16:

Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то — единственный корень .