Нестандартные методы решения систем уравнений 9 класс

Решение нестандартных уравнений и систем уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение нестандартных уравнений и систем уравнений

1.1. Умножение уравнения на функцию……………………………………5

1.2. Метод неопределённых коэффициентов………………………………7

1.3. Метод введение параметра…………………………………….……….8

1.4. Метод введение новой неизвестной……………………………………8

1.5. Комбинирование различных методов……………………………….…9

1.6. Угадывание корня уравнения…………………………………………10

1.7. Использование суперпозиции функции…………………. …………10

1.8. Раскрытие знаков модулей…………………………….………………11

1.9. Уравнение вида ………………………………..…………12

1.10. Уравнение вида ……………………………………. …13

1.11. Использование свойств абсолютной величины……………………14

1.12. Понижение степени уравнения……………………………………. 15

1.13. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных……………………….……16

§2. Нестандартные системы уравнений …………………………………….19

Математика занимает одно из главных мест в школьном образовании, она изучается на протяжении всего периода обучения с 1-го по 11-й класс. Школьный курс математики имеет большое значение в системе общеобразовательной подготовки учащихся, формировании у них диалектно-материалистического мировоззрения и готовности к активному участию в сфере материального производства.

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

В данной работе систематизирован ряд таких приёмов.

Изучены методы решения уравнений, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций, применении производной и др. Кроме этого, в моей работе разобрана масса «хитрых» методов и приёмов решения различных уравнений.

Изучить умножение уравнения на функцию;

Изучить метод неопределённых коэффициентов;

Изучить введение параметра;

Изучить введение новой неизвестной;

Изучить комбинирование различных методов;

Изучить угадывание корня;

Изучить использование суперпозиции функции;

Изучить раскрытие знаков модулей;

Изучить уравнения вида ;

Изучить уравнения вида ;

Изучить использование свойств абсолютной величины;

Изучить понижение степени уравнения;

Изучить решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных;

Изучить использование графика функции.

§1.Нестандартные уравнения

1.1. Умножение уравнения на функцию

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример1. Решить уравнение

. (1)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен , не имеющий корней, получим уравнение

(2)

равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

(3)

Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет действительных решений.

Пример 2 . Решить уравнение:

(4)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен , получим уравнение

(5)

являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень , не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на и перегруппировав его члены, получим уравнение

(6)

равносильное уравнению (5). Обозначив , перепишем уравнение (6) в виде

(7)

уравнение (7) имеет два корня: , . Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5).

Так как корень является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня.

Ответ:

1.2. Метод неопределенных коэффициентов

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителя – многочленов, на которые разлагается данный многочлен, этот метод опирается на следующие утверждения.

два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях ;

любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;

Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух много членов второй степени.

Пример 1 . Разложить на множители многочлен

Решение. Будем искать многочлены и такие, что справедливо тождественное равенство

(1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде:

_.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения , , , ;

Легко видеть, что этим равенством удовлетворяют числа , , , , а это означает, что многочлен разлагается на множители и .

1.3. Метод введения параметра

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода хорошо видна в следующем примере.

Пример1 . разложить на множители многочлен

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром :

,

который при превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трёхчлен относительно :

.

Так как корни этого квадратного трёхчлена относительно есть и , то справедливо равенство

.

Следовательно, многочлен разлагается на множители и т.е.

.

1.4. Метод введения новой переменной

В некоторых случаях путём замены выражения , входящего в многочлен , через , можно получить многочлен относительно , который уже легко разложить на множители. Затем после замены на получаем разложение на множители многочлена .

Пример1. Разложить на множители многочлен

.

Решение. Преобразуем данный многочлен следующим образом:

.

Обозначим через . Тогда имеем:

.

Пример2. Разложить на множители многочлен

.

Решение. Обозначим через . Тогда

1.5. Комбинирование различных методов

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен в виде:

Применяя к первой скобки метод выделения полного квадрата, имеем:

.

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что

1.6. Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример . Решите уравнение

.

Решение. Очевидно, что есть корень данного уравнения. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Так как уравнение не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

1.7. Использование суперпозиции функции

Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых более простых функций.

Пример1. Решить уравнение

. (1)

.

Уравнение (1) можно переписать в виде:

.

Теперь очевидно, что если – корень уравнения , то и корень уравнения .

Корни уравнения есть и . Отсюда следует, что уравнение (1) имеет эти корни. Переписав уравнение (1) в виде:

(2)

и разделив многочлен (2) на многочлен , получим, что уравнение (2) можно записать в виде:

,

отсюда следует, что корнями уравнения (1) наряду с и являются также корни уравнения =0 , т.е. числа и .

Ответ: .

1.8. Раскрытие знаков модулей

Основной метод решения уравнений, содержащих модули, состоит в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых каждое из выражений, находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом таком множестве уравнение записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Объединение решений, найденных на всех этих множествах – частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех его решений.

Пример1. Решить уравнение

. (1)

Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных . Разобьём ОДЗ на два промежутка:

А) ,

Б) .

А) Пусть тогда и уравнение (1) запишется на этом множестве так:

.

Это уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного , т.е. его решениями являются все действительные . Из них условию удовлетворяют все из промежутка . Они и являются решениями уравнения (1) в случае А).

Б) Пусть , тогда и уравнение (1) запишется на этом множестве так:

. (2)

Решение этого уравнения есть , , Из этих значений условию удовлетворяют только , . Итак, решения уравнения (1) есть , и все из промежутка .

Ответ: .

1.9. Уравнения вида

(1)

можно решать основным методом. Однако в некоторых случаях полезно уравнение (1) решать следующим образом:

Найти ту часть ОДЗ уравнение (1), где ;

На этой области уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений

Решение этой совокупности, принадлежащие рассматриваемой области, и дадут решение уравнения (1).

Пример1. Решите уравнение

. (2)

Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные . Очевидно, что на ОДЗ, т.е. для любого ,

.

Поэтому уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

Убедимся, что первое уравнение решений не имеет.

Второе уравнение системы равносильно уравнению .

Ответ : .

1.10. Уравнение вида

(1)

можно решить согласно общему методу. Однако иногда бывает полезно заменить уравнение (1) уравнением , т.е. равносильное ему на его ОДЗ уравнением

Пример1: Решите уравнение

. (2)

Решение: ОДЗ уравнения (2) есть все действительные , возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

,

равносильное исходному. Это уравнение можно переписать в виде:

Оно равносильно совокупности уравнений:

Так как и дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то первое уравнение последней совокупности имеет единственный корень .

то решения второго уравнения совокупности есть , , .

Итак, исходное уравнение имеет четыре корня: , , , .

Ответ: .

1.11. Использование свойств абсолютной величины

При решении уравнений с модулем иногда бывает полезно решать их не основным методом, а применять различные свойства абсолютных величин действительных чисел.

Пример1: Решите уравнение

(1)

Решение: Обозначим через и через . Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

. (2)

Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда одновременно, и . Поэтому исходное уравнение (1) равносильно системе неравенств.

Решение этой системы неравенств, а значит, и исходного уравнения есть .

Ответ: .

1.12. Понижение степени уравнения

Некоторые алгебраические уравнения заменой в них некоторого многочлена одной буквой могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

Пример1: Решите уравнение

. (1)

Решение: Обозначим , тогда уравнение (1) можно переписать в виде . Последние уравнение имеет корни и . Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

Решение первого уравнения этой совокупности есть , . Решения второго уравнения есть , . Решениями уравнения (1) являются , , , .

Ответ: .

Пример2: Решить уравнение

(2)

Решение: Умножив обе части уравнения на и обозначив , , получим уравнение

.

Переписав это уравнение в виде:

(3)

и обозначив , перепишем уравнение (3) в виде:

.

Последние уравнение имеет корни и . Поэтому получаем, что уравнение (3) равносильно совокупности двух уравнений

Решение этой совокупности уравнений есть и , т.е. уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

(4)

Решение совокупности (4) являются и _, они и являются решениями уравнения (2).

Ответ: .

1.13. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных

Решение уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных проиллюстрирую в примерах.

Пример1: Решить уравнение

(1)

Решение. Пусть – решение уравнения (1).

Введем новую неизвестную

.

Тогда для нахождения и имеем систему уравнений

(2)

Поскольку , то вводя новые неизвестные

, , систему (2) можно переписать в виде:

Решение этой системы есть пары чисел ,,, , откуда для нахождения x ₀ и у ₀ получаем системы уравнений:

Решение первой из этих систем есть , и , . Вторая система решений не имеет.

Итак, все решения уравнения (1) содержатся среди чисел и .

Проверка показывает, что эти числа являются решениями уравнения (1).

Ответ: .

Пример2: Решить уравнение

. (3)

Решение: Пусть – решение уравнения (3).

Введем новую неизвестную , тогда и являются решением системы уравнений

(4)

Вводя новые неизвестные , , перепишем систему (4) в виде:

(5)

Решения системы (5) есть , . Д ля нахождения и получим систему уравнений

Эта система имеет две пары решений: и .

Итак, все решения уравнения (3) содержатся среди чисел и . Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями уравнения (3).

Ответ: .

Пример3: Решить уравнение

. (6)

Решение: Пусть – решение уравнения (6).

Введем новые неизвестные:

= u , = v .

Тогда и являются решениями системы уравнений

Эта система равносильна системе

(7)

Решения системы (7) есть ,; , , а это означает, что решениями уравнения (6) могут быть только число и . Проверка показывает, что эти числа являются решениями уравнения (6).

Ответ: .

§2. Нестандартные системы уравнений

В этом параграфе приведены примеры систем уравнений, для решения которых приходится использовать особые приемы.

(1)

Решение: Выполним некоторые преобразования первого уравнения системы:

,

,

.

Это уравнение равносильно системе уравнений

(2)

Уравнение сводится к совокупности уравнений:

В первом случае , во втором . Значит, система (2) равносильна совокупности двух систем:

Из первой системы находим

(3)

Из второй системы находим

(4)

(5)

Пары, задаваемые условиями (3), (4), (5) – решения системы (2). Воспользовавшись теперь тем, что , получаем решения системы (1):

Ответ:

.

Пример2: Найти все решения системы уравнений.

удовлетворяющие условию .

Решение: рассмотрим последнее уравнение как, квадратное уравнение относительно переменной : . Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его . С учетом условия , получаем условие .

Перепишем теперь второе уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно переменной :

Это уравнение разрешимо

С учетом условия , получаем, что система может быть разрешима при или . Подставляя в исходную систему, получаем:

Подставляя в исходную систему, получаем:

верно.

Ответ: ,

Основные методы решения систем повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)