Нестандартные методы решения уравнений и неравенств элективный курс

Программа элективного курса «Методы решения нестандартных уравнений и неравенств»
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Предлагаемый элективный курс поддерживает на должном уровне изучение одного из основных школьных предметов. Курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 34 часа.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Методы решения нестандартных уравнений и неравенств»

Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности

Предлагаемый элективный курс поддерживает на должном уровне изучение

одного из основных школьных предметов и может с успехом использоваться в классах любого профиля. Курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 34 часа.

Среди школьных предметов математика занимает совершенно особое место, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Следование математической логике может помочь при решении разного рода «нематематических» проблем, например, в рассуждениях касающихся философии, политики и даже обыденной жизни.

Знания и умения, выработанные на уроках математики, необходимы и при изучении других школьных предметов, где используется аппарат этой науки.

Элективные курсы по математике позволяют, не выходя за рамки учебной нагрузки, развивать содержание базового курса, перейти на более высокий уровень знаний, получить дополнительные навыки, необходимые при сдаче ЕГЭ, а также помогают готовить учащихся к осознанному выбору будущей профессии.

Элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений и неравенств» направлен на расширение и углубление знаний учащихся по отдельным разделам основного курса математики и предусматривает изучение общих методов решения уравнений и неравенств, но на более сложных задачах и с рассмотрением большего количества случаев, а также знакомит учащихся с нестандартными методами решения. При изучении данного курса у учащихся появится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании.

Целесообразность данного курса состоит и в том, что его содержание и форма организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.

Изучение данного курса определяется и тем, что экзамен по математике является обязательным для всех школьников. ЕГЭ по математике — процедура серьезная, требующая специальной подготовки, и большинству учащихся нужна не только хорошая оценка, а достаточно высокое количество баллов для поступления в вуз. Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат уравнения и неравенства, методы решения которых не рассматриваются в школьном курсе математики. Способов решения уравнений множество, и выпускник средней школы должен владеть значительным их количеством.

Элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, играет большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, аккуратность.

Материал курса разбит на 5 модулей, каждый из которых посвящен специальному виду уравнений и неравенств. Выделена тема «Тригонометрические уравнения и неравенства». При их решении используются общие правила решения алгебраических уравнений и неравенств, но тригонометрические уравнения и неравенства обладают рядом специфических особенностей: четность-нечетность, периодичность, выполнение ряда формул. На этой специфике построены эффективные методы решения. Уравнения и неравенства классифицируются не только по внешнему виду, так как большинство уравнений и неравенств, предлагаемых на ЕГЭ, а особенно на конкурсном экзамене в ВУЗы, трудно отнести к какому-то одному виду. Чаще всего они смешанные: там есть и тригонометрия, и логарифмы, и иррациональность и т. п.

Значительное место в программе отведено самостоятельному решению задач, анализу способов их решения. Задания носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

• расширить знания учащихся о методах решения уравнений и неравенств и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения;
• сформировать умения и навыки в решении уравнений и неравенств повышенной сложности;
• научить учащихся осуществлять выбор рационального метода решения и обосновывать сделанный выбор;
• развивать познавательную активность учащихся при изучении нового типа задач;
• повысить уровень математической подготовки учащихся.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

• формирование навыков анализа и систематизации ранее приобретенных знаний учащихся при проектировании решения новых нестандартных задач;

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры и интуиции;
• развитие у учащихся интереса к математике;
• развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей;
• развитие навыков организации умственного труда и самообразования;
• воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности.

На занятиях используются следующие методы обучения :

• объяснительно-иллюстративный;
• поисково-исследовательский;
• метод проблемного изучения материала;
• практический метод

Формы организации учебного процесса:

• лекция;
• беседа;
• практикум;
• консультация;
• работа в группе;
• творческая работа;
• самостоятельная работа.

Основой проведения занятий служит технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

• основные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств;
• теоретические основы способов решения.

• решать уравнения и неравенства различными методами;
• анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
• самостоятельно работать с математической литературой;
• проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата;
• представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях.

Повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности.

Текущий контроль осуществляется по результатам выполнения учащимися практических заданий на уроках и дома, промежуточный контроль после изучения каждого блока, в виде зачетной работы с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития. Смысл профильного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема».

Итоговое занятие планируется провести в форме семинара с презентацией задач по каждой теме.

Рабочая программа элективного курса в 10 классе «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств»

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового и профильного изучения алгебры и начал анализа. Данный курс поможет ученикам полнее удовлетворить свои запросы в математическом образовании. Элективный курс «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств» ознакомит учащихся с методами решения уравнений и неравенств, основанными на геометрических соображениях, свойствах функции (монотонности, ограниченности, четности), поможет научиться применять свои умения в нестандартных ситуациях. Курс позволяет выпускнику средней школы приобрести дополнительный набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к обучению в вузе, где математика является профилирующим предметом.

Просмотр содержимого документа
«Рабочая программа элективного курса в 10 классе «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств»»

Рабочая программа элективного курса в 10 классе «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств».

Основная задача обучения математике в школе — обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового и профильного изучения алгебры и начал анализа. Данный курс поможет ученикам полнее удовлетворить свои запросы в математическом образовании. Элективный курс «Нестандартные способы решения уравнений и неравенств» ознакомит учащихся с методами решения уравнений и неравенств, основанными на геометрических соображениях, свойствах функции (монотонности, ограниченности, четности), поможет научиться применять свои умения в нестандартных ситуациях. Курс позволяет выпускнику средней школы приобрести дополнительный набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к обучению в вузе, где математика является профилирующим предметом. Актуальность элективного курса определяется тем, что данный курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

В курсе систематизированы теоретические и практические основы знаний и умений, рассматриваются комбинированные уравнения. Каждый из модулей элективного курса имеет законченный вид, что позволяет старшекласснику, который ошибочно выбрал курс, пойти в следующей четверти или полугодии на занятия по изучению другого элективного курса.

Основная цель курса:

Создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами; углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения; формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи курса:
• сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения задач;
• развивать умения самостоятельно приобретать и применять знания;
• сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету для дальнейшей самостоятельной деятельности.

Курс рассчитан на 34 часа с регулярностью 1 час в неделю. В ходе изучения курса учащиеся должны знать:
• нестандартные способы и приёмы решения уравнений и неравенств;

• решать уравнения и неравенства высокой сложности;
• точно и грамотно излагать собственные рассуждения;
• применять рациональные приёмы вычислений;
• самостоятельно работать с методической литературой.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы.

Требования к уровню освоения содержания курса.

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;

умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;

умеют самостоятельно работать с математической литературой;

знают основные приемы решения нестандартных уравнений, понимают теоретические основы способов решения уравнений;

умеют решать нестандартные уравнения различными методами;

умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;

умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Особенность профильного образования заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому неправильно требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема». В конце каждого модуля проводится зачётное занятие, которым может быть:

Решение учеником индивидуального домашнего задания.

Групповое домашнее задание.

По окончанию курса проводится зачетное задание.

Уравнения, при решении которых используется ограниченность функции.

Множество значений функции. Понятие ограниченности функции.

Виды уравнений, при решении которых используется ограниченность функции.

Учащиеся должны знать:

Множества значений элементарных функций;

определения ограниченной функции (ограниченной снизу, ограниченной сверху) на промежутке;

обобщённый алгоритм решения уравнений методом оценки и критерии его применения.

Учащиеся должны уметь:

исследовать функции на ограниченность;

определять тип уравнения, к которому применим метод оценки;

решать нестандартные системы уравнений методом оценки.

Уравнения, при решении которых используется монотонность функции.

Теорема о количестве корней монотонной функции. Виды уравнений, при решении которых используется монотонность функций.

Учащиеся должны знать:

определения возрастающей, убывающей функций;

Теорема о количестве корней монотонной функции.

алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функций;

виды уравнений, решаемых с использованием монотонности функций.

Учащиеся должны уметь:

находить область определения функций;

исследовать функцию на монотонность;

применять обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функции к соответствующим видам уравнений.

Симметрические и возвратные уравнения.

Симметрические уравнения 3 и 4 степени. Возвратные уравнения. Алгоритм решения симметрических и возвратных уравнений.

Учащиеся должны знать:

Определение симметрического и возвратного уравнения.

Алгоритм решения симметрических и возвратных уравнений.

Учащиеся должны уметь:

Определять тип уравнения.

Применять алгоритм решения симметрических и возвратных уравнений.

Решение неравенств методом интервалов. Обобщенный метод интервалов.

Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Применение метода интервалов для решения неравенств. Обобщенный метод интервалов.

Применение метода областей для решения неравенств с 2 переменными.

Учащиеся должны знать:

Определение непрерывной функции.

Свойства непрерывных функций.

Алгоритм применения метода.

Учащиеся должны уметь:

Решать неравенства методом интервалов

Решать неравенства с 2 переменными методом областей.

Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Уравнения вида |f(x)|=g(x), |f(x)=|g(x), неравенства с модулем и их решение. Использование свойств модуля в сложных заданиях.

Учащиеся должны знать:

Определение и свойства модуля.

Учащиеся должны уметь:

уметь решать линейные, квадратные уравнения с модулем;

уметь решать линейные, квадратные неравенства с модулем;

строить графики уравнений, содержащие модули;

Уравнения и неравенства, содержащие параметры.

Линейные и квадратные уравнения с параметром. Уравнения и неравенства с параметром, содержащие модуль.

Учащиеся должны знать:

Основные приемы и методы решения уравнений и неравенств с параметром.

Учащиеся должны уметь:

уметь решать линейные, квадратные, рациональные уравнения с параметром;

уметь решать неравенства с параметром.

Системы алгебраических уравнений.

Решение системы уравнений. Метод последовательного исключения переменных (Метод Гаусса). Применение метода приведения к квадратному уравнению с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Метод замены переменных. Симметрические системы уравнений. Метод оценок значений неизвестных.

Учащиеся должны знать:

Алгоритмы решения различных типов систем уравнений.

Учащиеся должны уметь:

Применять алгоритмы решения систем уравнений

Практикум по решению некоторых других нестандартных уравнений предполагает исследовательскую деятельность учащихся

Учащиеся должны знать:

этапы исследовательской деятельности.

Учащиеся должны уметь:

использовать этапы исследовательской деятельности на практике.

Тематический план курса

Уравнения, при решении которых используется ограниченность функции

Уравнения, при решении которых используется монотонность функции

Симметрические и возвратные уравнения

Решение неравенств методом интервалов. Обобщенный метод интервалов. Метод областей

Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Уравнения и неравенства, содержащие параметры.

Системы алгебраических уравнений.

Практикум по решению комбинированных нестандартных уравнений и неравенств.

Учебно-методическое обеспечение курса

С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. Электронная библиотека КГУ.

И. Ф. Шарыгин. Математика для поступающих в вузы. М., «Дрофа», 2000г..

А. Р. Рязановский.500 спосоов и методов решения задач по математике. М., «Дрофа», 2001г.

Типовые экзаменационные варианты ЕГЭ 2012. Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко,М., Национальное образование, 2011г.

П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. «Илекса» «Гимназия», Москва-Харьков, 1998г.

Рабочая программа по математике. Элективный курс. Тема «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» (10-11 классы)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

Составитель: Гжимало Елена Владимировна,

ГБОУ Школа №45 им. Л.И.Мильграма

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 10-11 классов общеобразовательного профиля. Курс опирается на знания и умения, полученные учащимися при изучении алгебры основной школы. Тематика курса составлена с таким расчетом, чтобы систематизировать и обобщить полученные на уроках знания учащихся, одновременно расширяя и углубляя их, а также рассмотреть некоторые вопросы, изучение которых не предусмотрено школьной программой.

Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Тематика задач не выходит за рамки курса образовательного стандарта, но уровень их трудности — повышенный, превышающий обязательный.

Особенности курса: приоритет развивающей функции обучения над информационной, усиление практической значимости изучаемого материала, широкие возможности для реализации уровневой дифференциации в обучении. Значительное место в учебном процессе отведено самостоятельной математической деятельности учащихся, учитывающей мыслительные особенности данного возраста.

В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;

умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;

мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагаются задания с неравенствами и уравнениями. На изучение вопросов, представленных в программе, отводится 134 часа (68 часов в 10 классе, 66 часов в 11 классе). Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности, требующих исследовательской деятельности.

Цели курса:

формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;

освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;

овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;

развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

Задачи:

систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7 – 11 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;

обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;

развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;

формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;

оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Достижению целей служат специально подобранные задачи. На занятиях рассматриваются такие задачи, решение которых не требует дополнительных знаний, но эти знания используются в новых нетривиальных ситуациях.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов проводится на каждом занятии благодаря наблюдению учителя за работой учеников, использованию практикумов, самостоятельных работ. Домашние контрольные работы включают в себя задания различной сложности, каждое задание оценивается определенным количеством баллов. Проверка этих работ производится на занятиях, ученики самостоятельно оценивают свой уровень знаний по пройденному материалу. Наиболее сложные задачи, вызвавшие затруднения учащихся решаются совместно.

Структура материала курса такова, что учащиеся имеют возможность решать задачи теми способами и средствами, которыми к этому времени располагают в результате изучения материала основного курса. Многие задания допускают несколько способов решений, которые рассматриваются и разбираются на занятиях. Предпочтение отдается наиболее доступным, рациональным способам, которые помогут учащимся «набить руку» в практике решения разнообразных задач.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях.

Содержание и организация процесса обучения

Тематическое планирование построено в соответствии с содержательными линиями разделов, объединяющими связанные между собой вопросы. Эти вопросы могут рассматриваться как в 10-м, так и в 11-м классах, повторяя и дополняя друг друга.

10 класс

Глава1. Уравнения высших степеней (26часов)

Многочлены. Деление многочлена.

Теорема Безу. Схема Горнера.

Введение новой переменной.

Выделение полного квадрата.

Метод неопределенных коэффициентов.

Дробно- рациональные уравнении.

Неравенства. Метод интервалов.

Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Глава 2. Уравнения и неравенства с модулем.(26часов)

Уравнения и неравенства с несколькими модулями;

Уравнения и неравенства, содержащие модуль в модуле,

Уравнения и неравенства, решаемые заменой переменной;

Построение графиков функций, содержащих модуль (метод симметрии)

Глава 3 .Иррациональные уравнения и неравенства(16часов)

уравнения и неравенства, решаемые введением новой переменной,

приведением к квадрату двучлена под знаком радикала;

умножением на сопряженное;

применение однородных уравнений;

использование свойств, входящих под знак радикала функций.

11 класс

Глава 4. Тригонометрические уравнения (18 часов)

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Линейные тригонометрические уравнения: способ универсальной тригонометрической подстановки; способ вспомогательного аргумента; однородные уравнения первой степени; однородные уравнения второй степени; решение уравнений способом понижения степени; решение уравнений с помощью преобразований.

Уравнения, решаемые умножением на некоторую тригонометрическую функцию

Уравнения, решаемые с помощью оценок для sinx и cosx

Уравнения со сложными тригонометрическими функциями

Подбор корней в тригонометрических уравнениях.

Глава 5. Показательные уравнения и неравенства (18часов)

Свойства показательных функций.

Основные свойства степеней.

Методы решения показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной.

Метод интервалов при решении показательных неравенств.

Глава 6. Логарифмические уравнения и неравенства (18часов)

Основное логарифмическое тождество.

Формулы преобразования логарифмов.

Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов.

Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной.

Глава 7. Итоговое повторение (12 часов)

Уравнения высших степеней, системы уравнений, неравенства.

Уравнения и неравенства с модулем, системы уравнений и неравенств.

Иррациональные уравнения, системы уравнений, неравенства.

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений.

Показательные уравнения, системы уравнений, неравенства.

Логарифмические уравнения, системы уравнений, неравенства.

Требования к результатам обучения

В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

— знание математических определений и теорем, предусмотренных программой;

— умение точно и сжато выразить математическую мысль в письменном изложении, используя соответствующую символику;

— уверенное владение математическими умениями и навыками решения математических задач;

— свободно решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений (включая алгебраические, показательные, логарифмические и тригонометрические выражения);

Преобразовывать тригонометрические выражения и решать тригонометрические уравнения;

Решать тригонометрические неравенства;

Применять свойства многочленов к решению задач;

Делить многочлен на многочлен с остатком и без остатка, используя теорему Безу;

Использовать схему Горнера;

Решать системы линейных уравнений (методами Гаусса, Крамера);

Решать нелинейные алгебраические системы уравнений;

Решать однородные, симметрические, возвратные уравнения;

Решать иррациональные уравнения, системы уравнений;

Решать дробно- линейные, квадратные и иррациональные неравенства;

Решать уравнения, системы уравнений, неравенства с модулем;

Решать уравнения и неравенства с двумя переменными;

Строить графики функций, содержащих модуль;

Решать уравнения и неравенства: линейные, дробно- рациональные, квадратные с параметром аналитически и графически;

Решать комбинированные уравнения и неравенства.

Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

1. Уравнения высших степеней (14 часов)

Вводное занятие. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Метод интервалов при решении рациональных неравенств.

Многочлены. Деление многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Метод неопределенных коэффициентов

Выделение целой части. Введение новой переменной.

Введение новой переменной. Выделение полного квадрата.

Возвратные уравнения. Однородные уравнения. Симметрические уравнения

Дробно-рациональные уравнения, решение их способом подстановки. Нестандартные способы решения дробно-рациональных уравнений.

Итоговое занятие по теме «Рациональные уравнения и неравенства»

2. Уравнения и неравенства с модулем.(20 часов)

Модуль и его свойства. Преобразование выражений, содержащих знак модуля. Геометрический смысл модуля. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, с помощью геометрического смысла модуля

Решение линейных и квадратных уравнений, содержащих знак модуля. Решение уравнений и неравенств методом замены переменных.

Уравнения и неравенства с несколькими модулями. Метод интервалов при решении уравнений с модулем.

Применение возведения в квадрат обеих частей уравнения или неравенства, содержащих модуль.

Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля. Графический способ решения уравнения и неравенств, содержащих модуль. Метод областей.

Решение уравнений и неравенств, содержащих ”вложенные” модули. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модули. Практическое занятие.

Итоговое занятие по теме «Уравнения и неравенства с модулем»

3. Иррациональные уравнения и неравенства(16 часов)

Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. Уравнения вида:

Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Эквивалентные преобразования неравенств. Неравенства вида:

Уравнения и неравенства, решаемые введением новой переменной. Уравнения и неравенства, решаемые приведением к квадрату двучлена под знаком радикала. Уравнения и неравенства, решаемые умножением на сопряженное

Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств. Урок-практикум

Итоговое занятие по теме «Иррациональные уравнения и неравенства»

4. Задачи на составление уравнений (14 часов)

Задачи на движение. Типы задач на движение. Движение навстречу и вдогонку. Средняя скорость

Движение по воде. Движение по окружности. Движение протяженных тел.

Задачи на производительность и работу. Задачи на бассейны и трубы

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Решение задач с помощью уравнений

Итоговое занятие по теме «Задачи на составление уравнений»

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные уравнения и неравенства

4.Тригонометрические уравнения (18 часов)

Вводное занятие. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Методы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Однородные уравнения. Разложение левой части на множители. Использование тригонометрических формул при решении уравнений.

Универсальная подстановка. Метод вспомогательного аргумента.

Использование свойств тригонометрических функций. Условие равенства тригонометрических функций. Использование свойства ограниченности функции

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Решение тригонометрических уравнений с помощью различных методов.

Итоговое занятие по теме «Тригонометрические уравнения»

5. Показательные уравнения и неравенства (18 часов)

Простейшие показательные уравнения. Метод уравнивания оснований. Метод замены переменной

Метод группировки степеней с одинаковыми показателями; с одинаковыми основаниями.

Метод, основанный на свойствах функций.

Решение показательных неравенств. Равносильные переходы при решении показательных неравенств

Метод интервалов при решении показательных неравенств

Метод замены переменных. Разложение на множители

Метод рационализации при решении показательных неравенств

Итоговое занятие по теме «Показательные уравнения и неравенства»

6. Логарифмические уравнения и неравенства (18 часов)

Решение логарифмических уравнений по определению, метод потенцирования.

Методы: логарифмирование, введение новой переменной, приведение к одному основанию.

Использование нескольких приёмов при решении логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие неизвестную в оновании логарифма

Решение комбинированных уравнений.

Решение логарифмических неравенств. Метод замены переменных. Равносильные переходы при решении логарифмических неравенств. Метод интервалов.

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств

Итоговое занятие по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»

7. Итоговое повторение (12 часов)

Уравнения высших степеней. Системы уравнений и неравенств

Уравнения и неравенства с модулем, системы уравнений и неравенств.

Иррациональные уравнения, системы уравнений, неравенства

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений

Показательные уравнения, системы уравнений, неравенства

Логарифмические уравнения, системы уравнений, неравенства

Рекомендуемая литература

Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений/ СМ. Саакян, A . M . Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение 2003 г.

Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа: Кн. Для учащихся 11 кл. общеобразовательных учреждений / Е.А. Семенко, С.Д. Некрасов и др. – М.: Просвещение, 1997 г.

Мерзляк А.Г. и другие «Алгебраический тренажёр: Пособие для школьников и абитуриентов – Киев «А.С.К.»1997г.

Доброва О.Н. Задания по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 9-11 кл. обще образовательных учреждений – М.: Просвещение, 1996 .

Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметром. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве»,2004.

Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы. – М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола,2005.- 120с.

Романова Т.Е., Романов П.Ю. Задания с параметром: Методическое пособие.- МГПИ,1996г.

Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.-285

Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003,-336с.

Романова Т.Е. Решение уравнений и неравенства первой степени с параметрами. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля: Учебно-методическое пособие. – Магнитогорск: МаГУ, 2004.-63 с.

Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. Сканави. – М:1996г

Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы.: Учеб. пособие. Дыбов П.Т. и др. под ред. Прилепко – М.: Высш. школа,1983 г.

Система тренировочных задач и упражнений по математике/Симонов А.Я. и др. – М.: Просвещение,1991г.

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука,1989 г.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф 1997г.

Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в ВУЗы: Учеб. пособие – М.: «Дрофа»,1997г.

Иванов М.А. Математика без репетитора: 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. – М: Вентана-Графф,2002.

Краткое описание документа:

Предлагаемый элективный курс «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 10-11 классов общеобразовательного профиля. Курс составлен для систематизации и обобщения полученных на уроках знаний учащихся, расширения и углубления этих знаний, а также для рассмотрения некоторых вопросов и тем, изучение которых не предусмотрено школьной программой.