Нестандартные при мы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения. Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления. Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;

3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

Информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

Фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.

План урока:

I. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

III. Изучение нового материала.

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

VI. Задание на дом.

I Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

· Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

· Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

· Основные методы решения иррациональных уравнений.

1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1) использование равносильных преобразований

для уравнения вида

для уравнения вида

2) после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Проверка: x=2 x=5

— посторонний корень

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:

2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:

Сделаем замену причём тогда

не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т. к. а + в = 4, то

Значит: 9 – x = 8 , х = 1.

3. Метод разложения на множители или расщепления.

· Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:

III Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

4. Умножение на сопряжённое выражение.

5. Переход к модулю.

6. Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

§ Область значения функции

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

§ Использование суперпозиций функций

· Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой

Пример 8:

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ:

· Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:

Пример 9:

§ Если , то , тогда

тогда

§ Если , тогда ,а

§ Если , тогда , а

· Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:

ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ:

Пример 11:

, тогда

Тогда невозможно.

Ответ: корней нет.

§ Область значений функции

Пример 12:

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть — функция может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

· Если и , то

Пример 14:

Заметим, что , т. е. , а

Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:

· Пусть — функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.

· Пусть — функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция — убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .

Рассмотрим функции и .

монотонно возрастает, а — убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:

Пример 16:

Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то — единственный корень .

Ответ:

§ Использование суперпозиций функций

· Если — монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.

Пример 17:

Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию — монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

не удовлетворяет условию

Ответ:

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

2 3 4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) *

Используемая литература.

1. Чулков курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

2. , , Морозова государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2

3. Шарыгин курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

4. , Якушев : интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.

5. , Голобородько и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Проверочная работа по теме: «Методы

Нетрадиционные методы решений иррациональных уравнений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Исакова М.М., Тлупова Р.Г., Эржибова Ф.А., Ибрагим А.С.

Введение. Математика, как и другие предметы общеобразовательного профиля, имеет целью повышение общего интеллектуального уровня, специальной математической подготовки, развитие творческого подхода к решению поставленных вопросов. В ходе изучения и практического решения уравнений возникают широкие возможности по формированию интуиции, по­вышению логики мышления. Материалы и методы . Обширная часть программы по математике в колледже уделена исследованию уравнений . Частный случай алгебраических уравнений – иррациональные урав­нения. Описаны нетрадиционные способы решений иррациональных уравнений , основанные на применении неравенств Коши и Бернулли. Представлены уравнения с полными реше­ниями, базирующимися на использовании указанных неравенств . Результаты. Решения иррациональных уравнений представляют для студентов наи­боль­шую сложность не только в логике , но и в технике. Безошибочное их решение во многом пре­до­пределяет успешный результат профильного уровня ЕГЭ. Рассмотрены психолого-педагогиче­ские условия усвоения нетрадиционных способов решения иррациональных уравнений . Обсуждение. Использование нестандартных путей решения иррациональных уравнений на занятиях способствует повышению шкалы успеваемости, улучшает уровень математической логики . Заключение. Студенты, овладевшие нетрадиционными путями решения иррациональных уравнений , успешно справятся с заданиями повышенной трудности. Представленный материал может стать подспорьем в работе учителей специализированных математических классов, окажет значительную помощь учащимся.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Исакова М.М., Тлупова Р.Г., Эржибова Ф.А., Ибрагим А.С.

NON — TRADITIONAL METHODS OF IRRATIONAL EQUATIONS DECISIONS

Introduction. Mathematics, like other subjects of the general education profile, aims at raising the general intellectual level, special mathematical training, developing a creative approach to solving the questions posed. During the study and practical solution of the equations, there are ample opportunities to form intuition, increase the logic of thinking. Materials and methods. An extensive part of the mathematics program at the college is devoted to the study of equations. A particular case of algebraic equations is irrational equations. Described unconventional methods for solving irrational equations are based on the application of the Cauchy and Bernoulli inequalities. Equations with complete solutions based on the use of the indicated inequalities are presented. Results. The solutions of irrational equations are the most difficult for students, not only in logic , but also in engineering. Their undisputed solution largely predetermines the successful result of the profile level of the USE. The psychological and pedagogical conditions for mastering non-traditional ways of solving irrational equations are considered. Discussion. The use of non-standard ways of solving irrational equations in the classroom helps to increase the scales of achievement, improve the level of mathematical logic . Conclusion. Students who have mastered non-traditional ways of solving irrational equations will successfully cope with tasks of increased complexity. The presented material can be a help in the work of teachers of specialized mathematical classes and provide significant assistance to the students.

Текст научной работы на тему «Нетрадиционные методы решений иррациональных уравнений»

search from digital machine guns to techno bio — creatures [An electronic resource] Mezhdunarodnyj zhurnal issledovanijkul’tury. 3, 11-12. Available from: http://www.culturalresearch.ru/files/open_issues/03_2012/ IJCR_03%288%29_2012.pdf (Accessed 23th May 2018). (In Russian).

15. Sokolova N.L. (2012) Cifrovaya kul’tura ili kul’tura v cifrovuyu ehpohu [Digital culture or culture during a digital era] Mezhdunarodnyj zhurnal issledovanij kul’tury. 3, 6-10. Available from: https://www.cul-turalresearch.ru/files/open_issues/03_2012/IJCR_03%288%29_2012.pdf (Accessed 5th May 2018). (In Russian).

16. Prokudin D.E., Sokolova E.G. (2013) «Cifrovaya kul’tura» vs «Analogovaya kul’tura» [«Digital culture» vs ‘Analog culture»] Vestnik SPbGU. 17. 4, 83-91. (In Russian).

17. Ruliene L.N. (2016) Cifrovaya gramotnost’ i gumanitarnaya kul’tura pedagoga v innovacionnoj obrazovatel’noj praktike [Digital literacy and humanitarian culture of the teacher in innovative educational practice] Otkrytoe i distancionnoe obrazovanie. 4. 64, 53-58. (In Russian).

18. Bolshakova Z.M., Gnatyshina E.V., Nemudraya E.Yu., Tsiulina M.V., Shkitina N.S. (2018) Managing Pedagogical University Master Students’ Empathic Training. Modern Journal of Language Teaching Methods (MJLTM). Vol. 8 (5), 16-28.

19. Gnatyshina E.V. (2015) Aksiologicheskie osnovaniya informacionnoj podgotovki v professional’nom obrazovanii [The axiological bases of information preparation in professional education] Sovremennaya vys-shaya shkola: innovacionnyj aspekt. 4, 71-77. (In Russian).

20. Gnatyshina E.V. (2007) Teoreticheskie aspekty formirovaniya informacionnoj kul’tury pedagoga professional’nogo obucheniya: monografiya [Theoretical aspects of forming the information culture of a vocational training teacher: monograph] Chelyabinsk, ChGPU Publ. (In Russian).

A (x )= B (x ), A (x )> 0, B (x )> 0,

где А(х) В(х) — рациональные функции, к е N.

Проиллюстрируем изложенное на примерах. _

№ 1. Дано уравнение V х2 + 2х +10 = = 2х — 1, укажите его корни.

Решение. Эквивалентная комбинированная система имеет вид:

Уравнение х2 + 2х +10 = (2х -1) имеет корни х1 = -1, х2 = 3. Проверив выполнение неравенства х>^ , заключаем: уравнению удовлетворяет значение х = 3. Ответ: 3. _

№ 2. Дано уравнение, V — 9х2 + 3х — 6 = = -6х — 24 укажите его корни.

Решение. Эквивалентная комбинированная система имеет вид:

Г- 9 х2 + 3х — 6 = (- 6 х -24 )2, [- 6х-24 > 0.

Уравнение — 9х2 + 3х — 6 = (- 6х — 24) имеет корни х1 = -1, х2 = 2. Проверив выполнение неравенствах С , А — среднее арифметическое, С — среднее геометрическое неотрицательных величин [18, с. 5]. Общий случай допускает переход и к среднему арифметическому, и к среднему геометрическому [19]. Неравенство Коши а- + + а» > п]а1 • . • ап , верное при неотрицательных значениях а-. ап, можно переписать так: а- + . + ап > п^а-•. • ап Частный случай при п = 2 будет: а- + а2 > 2 ^а- • а2 (з ). Использование неравенства (3) при решении уравнений вида (1 ) требует только выполнения знака «равно». После преобразования последнего получаем: а1 + а2 — 2^а1 • а2 > 0 О (а^л[а2)2> 0 о (а—^/оТ)2 = 0. При выполнении равенства а- = а2 мы получаем знак «равно». Частные случаи, п>з, определяются равенствами а- = . = ап и гарантируют выполнение знака «равно»

в неравенстве Коши. _

№ 3. Дано уравнение х д/ 2 <5 - 8 х )+

+ 24^1 + х2 = ^26(х2 + 225) , укажите его корни.

Решение. Привлечём для рассуждений скалярное произведение векторов _а_(х1; у1) и Ь (х2; у2 ) :

х 1Х2 + у 1у2 0, х > 0 От-= „ 2ч

8 5 — 2 16 (1 + х2)

16х2(1 +х2) = —-(5 — 8х2) о 16х2 (1 + х2) = 8

= 225^ 5 — х2 ^ . Пусть х2 = у > 0 , тогда 16у(1 + у) = 225 (5 — 8у) о 128у2 + 1928у —

— 1125 = 0, —=9642 +128 1125=10362 4

-964 ±1036 72 9 У1,2 =-^-, У1 =

у2 = -15,625 — не удовлетворяет. Значит,

не удовлетворяет. Ответ:—

№ 4. Дано уравнение Vх + 4 + V-2-х = = х2 + 6х + 11 , укажите его корни.

Решение. Рассмотрим функции:

/(х) = у/х + 4 +4-2-х , g(х)= х2 + 6х + 11.

Преобраз(вав (функцию g (х ), получим: g (х )= х2 + 6х + 1 = (х + 3)2 + 2 > 2. Используя неравенство (3 ), получаем 3(х) 1+ (4) [19]. Неравенство (4) верно при а) к е (-1; + ю); р е N. б) к е (-1; + ю)

Решение. Записываем левую часть уравнения в виде суммы степеней:

5/1 + л/1 — х2 + 5/1 -V1 — х2 = (+л/1 — х2 ) + (-V1 — х2 )1. Основания степеней с рациональны-

знак «равно» бу-еслид/1 — x2 = 0 о

ми показателями неотрицательны:

0 -1 и — V1 -x2 >-1, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Умения и навыки по применению неравенств Коши и Бернулли к решению заданий профильного уровня ЕГЭ поможет учащимся оттачивать логику мышления [20].

4. Обсуждение (Discussion). Обучение нестандартным путям решения различных заданий способствует усвоению математических понятий; формирует практические навыки по применению теоретических знаний на практике; развивает такие личностные качества, как настойчивость, упорство, самостоятельность, ответственность; развивает внимание, мышление.

5. Заключение (Conclusion). Изложенные нестандартные приёмы исследования иррациональных уравнений, основанные на неравенствах Коши и Бернулли, имеют развивающий характер, способствуют получению строгих приёмов и подходов к решению, повышают значимость теории в применении к практике. Студенты, изучающие новые

пути нахождения решений, получают импульс развития логики, повышают прикладной аспект в познавательной деятельности. Всё это поспособствует повышению интереса к исследовательской деятельности студентов СПО. Применение классических-синтетического[21] и аналитического [22], методов часто приводит к громоздким преобразованиям. Оптимальный поиск решения приведёт к выбору нетрадиционных способов решений уравнений.

Применение эффективных методов поиска решений, основанных на использовании неравенств Коши и Бернулли, окажет практическую помощь учащимся в овладении сложных, на их взгляд, тем, в частности — исследовании и решении иррациональных уравнений. Повышение уровня багажа знаний, познание новых путей поиска решения задач способствует успешности, уверенности в дальнейшей интеллектуальной деятельности.

1. Жафяров, А.Ж. Методология и технология внедрения компетентного подхода в математическом образовании [Электронный ресурс] / А.Ж. Жафяров // Вестник Новосибирского государственного педагогического университета. — 2016. — № 3. — С. 105-115. — Режим доступа: http://vestnik. nspu.ru/article/1823 [Дата обращения: 25.03.2018]. DOI: 10.15293/2226-3365.1603.10

2. Шахмейстер, А.Х. Иррациональные уравнения и неравенства [Текст] / А.Х. Шахмейстер. -М.: Петроглиф; Виктория плюс, МЦНМО, 2011. — 216 с.

3. Крылов, А.Н. Значение математики для кораблестроения [Текст] / А.Н. Крылов // Мои воспоминания. — Ленинград: Судостроение, 1979. — С. 87-91.

4. Хайдеггер, М. Время и бытие: статьи и выступления [Текст] / М. Хайдеггер. — СПб.: Наука, 2007. — 447 с.

5. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности [Текст] / М.И. Башмаков. — М.: Академия, 2013. — 208 с.

6. Фирсов, В.В. Планирование обязательных результатов обучения математике [Текст] / В.В. Фирсов. — М.: Просвещение, 1989. -236с.

7. Жафяров, А.Ж. Реализация технологии внедрения компетентного подхода в школьном курсе математики [Электронный ресурс] / А.Ж. Жафяров // Вестник Новосибирского государственного педагогического университета. — 2017. — № 2. — С. 71-84. — Режим доступа: http://vestnik.nspu.ru/ агйс1е/2363 [Дата обращения: 25.03.2018]. DOI: 10.15293/2226-3365.1702.05

8. Пуанкаре, А. Математическое творчество [Текст] / А. Пуанкаре // О науке / под ред. Л.С. Пор-тнягина. — М.: Наука, 1989. — С. 399-414.

9. Пойа, Д. Как решать задачу [Текст]: монография / Д. Пойа. — М.: Госучпедгиз, 1959. — 208 с.

10. Сканави, М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы [Текст] / М.И. Ска-нави. — 6-е изд. — М.: Мир и Образование, 2013. — 608 с.

11. Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике. [Текст] / В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. — М.: Наука, 1974. — 592 с.

12. Василевский, А.Б. Обучение решению задач по математике [Текст]: монография / А.Б. Василевский. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 256 с.

13. Ященко, И.В. ЕГЭ — 2018. Математика. Профильный уровень. Методические указания [Текст] / И.В. Ященко, С.А. Шестаков. — М.: МЦНМО, 2018. — 240 с.

14. Батуева, К.С. Иррациональные уравнения и неравенства в школьном курсе [Текст] / К.С. Ба-туева, Н.М. Закирова //Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2017. — Выпуск 19 (316). — С. 204-209.

15. Башмаков,М.И. Математика. Учебник [Текст] / М.И. Башмаков. — 2-е изд. — М.: КноРус, 2017. — 394 с.

16. Шабунин, М.И. Уравнения: лекции для старшеклассников и абитуриентов [Текст] / М.И. Ша-бунин. — Серия «Математика». — Вып. 1. — М.: Чистые пруды, 2005. — 32 с.

17. Башмаков, М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Задачник [Текст] / М.И. Башмаков. — 5-е изд. — М.: Академия, 2014. — 416 с.

18. Калинин, С.И. Метод неравенств решения уравнений [Текст]: учебное пособие по элективному курсу для классов физико-математического профиля / С.И. Калинин. — М.: Московский лицей, 2013. — 112 с.

19. Жафяров, А.Ж. Обучающий задачник. Математика. 10-11 классы. Профильный уровень [Текст] / А.Ж. Жафяров. — М.: Просвещение, 2007. — 208 с.

20. Ерина, Т.М. Математика. Профильный уровень, практическое руководство. ЕГЭ 2018 [Текст] / Т.М. Ерина. — М.: УчПедГиз, 2018. — 352 с.

21. Исакова, М.М. О синтетическом методе решения задач [Текст] / М.М. Исакова, Р.Г. Тлупова, С.Х. Канкулова, Ф.А. Эржибова, А.С. Ибрагим // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. — 2018. — № 1. — С. 108-117. DOI: 10.25588/CSPU.2018.01.11

22. Исакова, М.М. Применение аналитического метода при поиске решения задач [Текст] / М.М. Исакова, Р.Г. Тлупова, Ф.А. Эржибова, С.Х. Канкулова, А.С. Ибрагим // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. — 2018. — № 2. — С. 71-78.DOI: 10.25588/ CSPU.2018.02.07

M.M. Isakova1, R.G. Tlupova2, F.A. Erzhibova3, A.S. Ibragim4

:ORCID No. 0003-1189-9456, Academic Title of Associate Professor, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor at the Department of Algebra and Differential Equations, Kabardino-Balkarian State University n.a. H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: isakova2206@mail.ru 2ORCID No. 0002-6336-1378, Lecturer at the Department of Mathematical and General Science Discipline of the College of Information Technologies and Economics, Kabardino-Balkarian State University n.a. H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: rgtibra05@mail.ru 3ORCID No. 0002-3821-1124, Lecturer at the Department of Mathematical and General Science Discipline of the College of Information Technologies and Economics, Kabardino-Balkarian State University n.a. H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: ershibowa@yandex.ru 4ORCID No. 0002-5884-4578, Master’s Degree student, Kabardino-Balkarian State University n.a.

H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: asibragim@gmail.com

non — traditional methods of irrational equations decisions

Introduction. Mathematics, like other subjects of the general education profile, aims at raising the general intellectual level, special mathematical training, developing a creative approach to solving the questions posed. During the study and practical solution of the equations, there are ample opportunities to form intuition, increase the logic of thinking.

Materials and methods. An extensive part of the mathematics program at the college is devoted to the study of equations. A particular case of algebraic equations is irrational equations. Described

unconventional methods for solving irrational equations are based on the application of the Cauchy and Bernoulli inequalities. Equations with complete solutions based on the use of the indicated inequalities are presented.

Results. The solutions of irrational equations are the most difficult for students, not only in logic, but also in engineering. Their undisputed solution largely predetermines the successful result of the profile level of the USE. The psychological and pedagogical conditions for mastering non-traditional ways of solving irrational equations are considered.

Discussion. The use of non-standard ways of solving irrational equations in the classroom helps to increase the scales of achievement, improve the level of mathematical logic.

Conclusion. Students who have mastered non-traditional ways of solving irrational equations will successfully cope with tasks of increased complexity. The presented material can be a help in the work of teachers of specialized mathematical classes and provide significant assistance to the students.

Keywords: equation, inequality, method, irrational equation, logic.

• The main types of irrational equations are considered;

• Characteristics of general methods for solving irrational equations are given;

• Inequalities of Cauchy and Bernoulli are presented;

•The non-traditional application of the Cauchy and Bernoulli inequalities to the solution of irrational equations is shown;

• Analogues of equations with solutions included in the profile level of the USE are presented.

1. Zhafyarov A.Zh. (2016) Metodologiya i tekhnologiya vnedreniya kompetentnogo podhoda v matematicheskom obrazovanii [Methodology and technology for introducing a competent approach in mathematical education] Vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 3, 105-115. Available from: http://vestnik.nspu.ru/article/1823 [Accessed 25th March 2018]. DOI: 10.15293/22263365.1603.10 (In Russian).

2. Shahmejsster A.H. (2011) Irracional’nye uravneniya i neravenstva [Irrational equations and inequalities] Moscow, Petroglif, Viktoriyaplus, MCNMO Publ. (In Russian).

3. Krylov A.N. (1979) Znachenie matematiki dlya korablestroeniya [The value of mathematics for shipbuilding] Moi vospominaniya. Leningrad, Sudostroenie Publ. (In Russian).

4. Hajdegger M. (2007) Vremya i bytie: Stat’i i vystupleniya [Time and Being: Articles and speeches] Saint Petersburg, Nauka Publ. (In Russian).

5. Bashmakov M.I. (2013) Matematika. Sbornik zadach profil’noj napravlennosti [Mathematics. Collection of tasks of profile orientation] Moscow, Akademiya Publ. (In Russian).

6. Firsov V.V. (1989) Planirovanie obyazatel’nyh rezul’tatov obucheniya matematike [Planning of compulsory learning outcomes for mathematics] Moscow, Prosveshchenie Publ. (In Russian).

7. Zhafyarov A.Zh. (2017) Realizaciya tekhnologii vnedreniya kompetentnogo podhoda v shkol’nom kurse matematiki [Implementation of a technology for introducing a competent approach in the school course of mathematics] Vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2, 71-84. Available from: http://vestnik.nspu.ru/article/2363 [Accessed 25th March 2018]. DOI: 10.15293/2226- c 3365.1702.05 (In Russian).

8. Puankare A. (1989) Matematicheskoe tvorchestvo [Mathematical creativity] O nauke. Ed. L.S. Portnyagina. Moscow, Nauka Publ. (In Russian).

9. Poja D. (1959) Kak reshat’ zadachu [How to solve the task] Moscow, Gosuchpedgiz Publ. (In Russian).

10. Skanavi M.I. (2013) Sbornik zadach po matematike dlya postupayushchih vo vtuzy [Collection of tasks in mathematics for those who enter the vetuz] Moscow, Mir i Obrazovanie Publ. (In Russian).

11. Boltyanskij V.G., Sidorov Yu.V., Shabunin M.I. (1974) Lekcii i zadachi po ehlementarnoj matematike [Lectures and tasks on elementary mathematics] Moscow, Nauka Publ. (In Russian).

12. Vasilevskij A.B. (1988) Obuchenie resheniyu zadach po matematike [Training in solving tasks in mathematics] Minsk, Vyshehjshaya shkola Publ. (In Russian).

13. Yashchenko I.V., Shestakov S.A. (2018) EGEh — 2018. Matematika. Profil’nyj uroven’. Metodicheskie ukazaniya [USE — 2018. Mathematics. Profile level. Methodical instructions] Moscow, MCNMO Publ. (In Russian).

14. Batueva K.S., Zakirova N.M. (2017) Irracional’nye uravneniya i neravenstva v shkol’nom kurse [Irrational equations and inequalities in the school course] Matematicheskij vestnik pedvuzov i universitetov Volgo-Vyatskogo regiona. Kirov. Vol. 19 (316), 204-209. (In Russian).

15. Bashmakov M.I. (2017) Matematika. Uchebnik [Mathematics. Textbook] Moscow, KnoRus Publ. (In Russian).

16. Shabunin M.I. (2005) Uravneniya: lekcii dlya starsheklassnikov i abiturientov [Equations: lectures for high school students and applicants] Seriya «Matematika». Moscow, Chistye prudy Publ. (In Russian).

17. Bashmakov M.I. (2014) Matematika: algebra i nachalo matematicheskogo analiza, geometriya. Za-dachnik [Mathematics: algebra and the beginnings of mathematical analysis, geometry. Taskbook] Moscow, Akademiya Publ. (In Russian).

18. Kalinin S.I. (2013) Metod neravenstv resheniya uravnenij: uchebnoe posobie po ehlektivnomu kursu dlya klassov fiziko-matematicheskogo profilya [The method of inequalities in the solution of equations: a tutorial on the elective course for classes of physics and mathematics] Moscow, Moskovskij licej. (In Russian).

19. Zhafyarov A.Zh. (2007) Obuchayushchij zadachnik. Matematika. 10-11 klassy. Profil’nyj uroven’ [Learning task book. Mathematics. 10-11 classes. Profile level] Moscow, Prosveshchenie Publ. (In Russian).

20. Erina T.M. (2018) Matematika. Profil’nyj uroven’, prakticheskoe rukovodstvo [Mathematics. Profile level, practical guidance] Moscow, UchPedGiz Publ. (In Russian).

21. Isakova M.M., Tlupova R.G., Kankulova S. H., Erzhibova F.A., Ibragim A.S. (2018) O sinteticheskom metode resheniya zadach [On the synthetic method for solving problems] Vestnik Chelyabinskogo gosudarst-vennogo pedagogicheskogo universiteta. 1, 108-117. DOI: 10.25588/CSPU.2018.01.11 (In Russian).

22. Isakova M.M, Tlupova R.G., Erzhibova F.A., Kankulova S.H., Ibragim A.S. (2018) Primenenie analiticheskogo metoda pri poiske resheniya zadach [The application of the analytical method in the search for solving problems] Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2, 71-78. (In Russian).

g DOI: 10.25588/CSPU.2018.03.07

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Урок по теме: » Нестандартные методы решения иррациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений

Образовательная: расширить и углубить знания учащихся по данной теме познакомив их с нестандартными методами решения иррациональных уравнений, научить применять эти методы, повысить уровень понимания и практической подготовки учащихся при решении иррациональных уравнений.

Развивающая: развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений.

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения.

3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров.

4. Приобщение учащихся к исследовательской работе.

Тип урока : урок исследования

Форма урока: групповая работа

Оборудование: презентация в Pover Point, интерактивная доска, раздаточный материал.

1. Организационный момент.

Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Вот и мы займемся уравнениями.

Чтобы узнать о каких уравнениях пойдет речь, мы обратимся к домашнему заданию.

При правильном выполнении домашнего задания у вас получился знак радикала.

Как можно это связать с нашим уроком?

Какие цели мы поставим перед собой на уроке?

— Узнать новые нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

— Рассмотреть применение новых методов при решении иррациональных уравнений.

— Расширить и углубить свои знания о иррациональных уравнениях.

На сегодняшнем уроке вы будите работать в творческих группах. У каждого из вас лежит оценочный лист, запишите свою фамилию. Максимальный балл за урок -10 баллов.

1. Основные вопросы теории открытия иррациональности.

Что вы знаете об иррациональности?

1. Иррациональное в переводе с греческого “Уму непостижимое, неизмеримое, немыслимое” .

2. Открытие иррациональности опровергало теорию Пифагора, что “всё есть число”.

3. История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Евклид, Декарт, Ньютон( Он ввёл современное изображение корня) .

2. Основные методы решения иррациональных уравнений.

Метод возведения в степень, равную показателю корня, метод «пристального взгляда», метод введения новой переменной, метод разложения на множители, функционально – графический метод.

Какой этап содержат в основном все эти методы? ( Проверка)

3. Работа в группах. Исследовательская работа.

Целью исследования является изучение нестандартных методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕНТ.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

1. Умножение на сопряжённое выражение.

Если в левой части иррационального уравнения сумма или разность корней, а подкоренное выражение – линейная функция одинаковыми линейными коэффициентами,

а в правой части некоторое число, то левую и правую части уравнения умножают на выражение, сопряженное выражению в левой чисти ( + и — ) — сопряженные).

Рассмотрите решение иррационального уравнения методом умножения на сопряженное выражение.

Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:

Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:

т. е.

Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни Проверка.

Приходим к ответу:

Ответьте на вопросы:

1. Что лежит в основе данного способа решения иррациональных уравнений.

2. Каков алгоритм решения иррациональных уравнений данным способом?

Теперь согласно истине такой “Теория мертва, без практики живой”

2 группа

3 группа