Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений проект

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ

Основные цели работы:

• освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra;
• изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций;
• отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Объект исследования: Тригонометрические уравнения

Предмет исследования: изменение тригонометрической функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров

Предположение исследования: программа GeoGebra позволяет визуально проследить изменение поведения функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров.

• Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач.
• Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
• Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
• Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач.
• Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Методы: эмпирический (практическая работа в программе); аналитический (анализ полученных результатов)

1. Знакомство с синтаксисом программы GeoGebra.

2. Освоение опций и функций программы.

3. Практическая работа: построение графиков. Сравнение графического и аналитического методов.

4. Анализ и описание полученных результатов.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Предполагается, что в результате работы будут:

1. Изучены (в первом приближении) основные возможности программы GeoGebra по созданию динамических чертежей.

2. Собрана (с использованием возможностей Интернета) библиотека файлов, содержащих графические иллюстрации к задачам типа С5 с параметрами.

3 Сформулированы основные принципы использования программы GeoGebra для иллюстрации решений тригонометрических уравнений графическим способом:

• динамическое изменение параметра позволяет демонстрировать взаимодействие графиков в режиме реального времени;
• функция «паузы» позволяет зафиксировать положение графиков при критических значениях параметра, которые потом необходимо вычислить аналитически;
• введение дополнительного параметра в условие задачи, отличного от заданного, позволяет продемонстрировать принципиальные изменения в исходной конфигурации, которые приводят к появлению новых критических значений параметра.

Предварительный просмотр:

Рабочая карта учащегося

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Решите самостоятельно уравнение графическим методом в интерактивной среде Geogebra;

• Откройте Geogebra(Пуск – Все программы – Geogebra)
• Настойте координатную плоскость(по оси аргумента – единичный отрезок π/2);
• Введите через строку ввода соответствующие функции;

Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и .

Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость. Правой клавишей мыши щелкните по координатной плоскости. В появившемся диалоговом окне поставьте флажок «шаг» и выберите значение π/2. Закройте диалоговое окно. Внесем функции через строку ввода. Для построения первой функции вводим следующее: . Для построения второй функции вводим .

Построение графика функции y= sin x

Построение графика функции y= cos x

Преобразования графика функции y= sin x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции

y= sin x
1) амплитуда А;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Преобразования графика функции y= cos x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции y= cos x
1) амплитуда A;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

1. Решите следующие уравнения графическим методом и аналитическим путем.

• Упростите левую часть уравнения;
• Окройте интерактивную среду Geogebra;
• Выполните построение;

Графический метод решения в Geogebra

Аналитический метод решения

Не требуется знать формулы

Требуется знать формулы

Необходимо уметь набирать функции

Нет необходимости учиться набирать функции

1. Операция «Спасение».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y=a cos(bx+c) в зависимости от параметров а, b и с. Рисуем график квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Изменение любого из трех коэффициентов изменяет поведение параболы. Модель можно посмотреть, перейдя по ссылке http://ggbtu.be/m221351 К онечный результат представлен на рисунке.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.

При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x

Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:

Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические\1. ggb

2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические\2. ggb

Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.

Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практические\корабль синих. ggb

Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.

Практические\корабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.

Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.

Точки пересечения кораблей – А и В . Практические\корабль желтых. ggb

Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .

При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практические\динамическая модель. ggb

Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.

Проект » Методы решения тригонометрических уравнений»

Проект ориентирован на учеников 10 класса. Данный проект посвящен учебным темам «Тригонометрические уравнения, решение тригонометрических уравнений». В данной работе представлены общие сведения о тригонометрических уравнениях, методы решения тригонометрических уравнений, рассмотрены приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Рассматривается применение изученных методов для решения тригонометрических уравнений базовой части и уравнений повышенной сложности.

Проект:»Методы решения тригонометрических уравнений»

Урок — проект: » Методы решения тригонометрических уравнений»

Просмотр содержимого презентации
«1 группа»

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась её вспомогательным разделом.

Астрономы при нахождении расстояний до планет и звёзд использовали свойства треугольника.

Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями .

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов .

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

называется уравнение, в котором

переменная является аргументом

одной или нескольких

простейшие тригонометрические уравнения

2 . Отметить точку а на оси абсцисс .

3 . Построить перпендикуляр в этой точке .

4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью .

5 . Полученные точки – решение уравнения cost = a.

6 . Записать общее решение уравнения .

Частные случаи уравнения

2 . Отметить точку а на оси ординат .

3 . Построить перпендикуляр в этой точке .

4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью .

5 . Полученные точки – решение уравнения sint = a.

6 . Записать общее решение уравнения .

Частные случаи уравнения

« Метод замены переменой»

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Основное тригонометрическое тождество: следствия:

Косинус двойного аргумента :

Метод решения — замена переменной

• Сделайте замену переменной.
• Решите полученное алгебраическое уравнение относительно новой переменной.
• Сделайте обратную замену и получите совокупностьпростейших тригонометрических уравнений.

• Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно

cos х = t , sin х = t .

A sin 2 x + B cosx + C = 0

A cos 2 x + В sinx + C = 0

• A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0
• A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.

не удовлетворяет условию

Пример 2 . Решить уравнение

2 sin 2 x + sinx — 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2 t 2 + t — 1 = 0.

Решим его: D = 1 + 8 = 9,

sinx = 1/2 или sinx = -1.

Пример 3 . Решить уравнение

6 sin 2 x + 5 cosx — 2 = 0.

Заменяя sin 2 x на 1-с os 2 x , получим квадратное уравнение относительно с osx .

6 ( 1- cos 2 x ) + 5 cosx — 2 = 0,

-6 cos 2 x + 5cosx + 4 = 0,

6 cos 2 x — 5cosx — 4 = 0.

Пусть cos x = t , тогда 6t 2 — 5t — 4 = 0,

t 1 = — 1/2, t 2 = 4/3.

1.» width=»640″

Cледовательно, с os x = — 1/2 или cos x = 4/3 .

Решая уравнение с os x = -1/2 , находим:

Уравнение cos x = 4/3 не имеет решений, так как 4 /3 1.

Пример 4 . Решить уравнение

то уравнение можно записать в виде:

Обозначим tgx через t . Получим уравнение

которое приводится к квадратному t 2 — 3t + 2 = 0,

По теореме, обратной теореме Виета,

Желаю творческих успехов!

Спасибо за внимание!

Просмотр содержимого презентации
«группа 2»

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

• «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все

• Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Формулы двойного аргумента

• sin 2 x = 2 sin x cos x ,
• cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Уравнения, допускающие разложение на множители

основной метод решения:

• основной метод решения:

• Используя метод группировки, разложить одночлены, входящие в состав уравнения, на множители.Используя условие равенства произведения нулю, получите и решите совокупность простейших тригонометрических уравнений.
• Используя метод группировки, разложить одночлены, входящие в состав уравнения, на множители.
• Используя условие равенства произведения нулю, получите и решите совокупность простейших тригонометрических уравнений.

Уравнения, решаемые разложением на множители

sin 2 x – sin x = 0

sin 2 x = 2 sin x cos x ;

2 sin x cos x – sin x = 0,

sin x (2 cos x – 1) = 0

sin x = 0 или 2 cos x – 1 = 0

Если в уравнении встречаются тригонометрические функции с разными, но кратными аргументами х, 2х, 4х , … , то

• Приведите все аргументы к одинаковым, используя тождества двойного аргумента и/или тождества понижения степени.
• Решите полученное уравнение содинаковыми функциями одинаковых аргументов

Пример 3 . cos x + cos 3 x = 0

Для решения этого уравнения необходимо вспомнить формулу суммы косинусов

2 cos 2 x  cos (– x ) = 0,

2 cos 2 x  cos x = 0,

cos 2 x =0 или cos x = 0,

Нанесем эти решения единичную окружность и убедимся, что вторая серия корней полностью входит в первую, поэтому в ответе достаточно записать только первую серию корней.

Пример 4 . sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0

Пример 5 . sin 2 x = cos 3 x

Пример 6 . 2 sin x cos 2 x – 1 + sin x – 2 cos 2 x = 0

Пример 7 . sin 4 x + sin 2 2 x = 0

Просмотр содержимого презентации
«группа 3»

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

Тригонометрия (от греч. trigonon -треугольник и metrio- измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития.

Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2 a .

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ( IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).

• В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ( IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль — Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.

Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1 ’ с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках.

• Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль — Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1 ’ с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках.

Сумма показателей степеней при sin x и cos x

у всех слагаемых такого уравнения равна n.

• Уравнение вида asinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
• Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени:

• Посмотреть, есть ли в уравнении членasin2x.
• Если членasin2xв уравнении содержится (т.е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения наcos2xи последующим введение новой переменной.
• Если членasin2xв уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносятcosx.

Если тригонометрическое уравнение является однородным уравнением относительно синуса и косинуса одинаковых аргументов, то

1. Проверьте является ли решение

Если является, то запишите это решение.

2. Разделите уравнение почленно на

косинус в степени уравнения.

3. Замените sin x/cos x = tgx.

4. Решите полученное уравнение с

одинаковыми функциями одинаковых аргументов

Заданное уравнение можно привести к однородному уравнению с помощью тригонометрического разложения единицы:

x= arctg ( ) + π k, k Z

Формулы двойного аргумента

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x, или

cos 2 x = 1 – 2 sin 2 x и

cos 2 x = 2 cos 2 x – 1.

Просмотр содержимого презентации
«методы решения»

Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

• Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
• 1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
• ( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

• Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

• а ) перенести все его члены в левую часть;
• б ) вынести все общие множители за скобки;
• в ) приравнять все множители и скобки нулю;
• г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
• cos ( или sin ) в старшей степени;
• д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
• П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
• Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
• sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
• tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,
• корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда
• 1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу

Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида:

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму

Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

7. Универсальная подстановка

• Рассмотрим этот метод на примере.

Таким образом, решение даёт только первый случай

Просмотр содержимого презентации
«урок метод проектов»

Учиться можно только

знания, надо поглощать

Подготовила учитель математики

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

обобщить, систематизировать и углубить имеющиеся у школьников знания о методах решения тригонометрических уравнений.

— воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

— формирование умения анализировать поставленную задачу;

— формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.