Курсовая работа: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
Название: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа Добавлен 16:25:18 01 января 2011 Похожие работы Просмотров: 1501 Комментариев: 23 Оценило: 5 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |||||||||
|
|
Т.к. 3 — период функции , то , тогда уравнение (7) примет вид , рассмотрим два случая.
1) пусть , т.е. , тогда уравнение примет вид:
, значит и значит,
2) пусть то , тогда уравнение примет вид:
; итак ,
т.е. , .
Ответ: .
Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x 2 + |x|
График четной функции
Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x 3 .
График нечетной функции
Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x 3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1). А это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. является функцией общего вида (ФОВ).
Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
Таковой суммой является функция
Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.
Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображена на рисунке 6
|
Рисунок 6 http://mathematics.ru/courses/function/design/images/buttonModel_h.gif
Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.
· Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
· Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
· Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
· Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).
Пример 2.4.1 Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2x 8 – 3аx 6 + 4x 4 – аx 2 = 5
Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если x0 – корень данного уравнения, то -x0 – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.
Пример 2.5.1 Решите уравнение
. (8)
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям и , т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.
Пример 2.5.2 Решите уравнение
. (9)
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям , , , т. е. ОДЗ есть . Подставляя эти значения х в уравнение (9), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.
Ответ:
Пример 2.5.3 Решите неравенство
. (10)
Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все х, удовлетворяющие условию . Ясно, что х = 1 не является решением неравенства (10). Для х из промежутка имеем , а . Следовательно, все х из промежутка являются решениями неравенства (10).
Ответ: .
Пример 2.5.4 [26] Решите неравенство
. (11)
Решение. ОДЗ неравенства (11) есть все х из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .
Для х из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому неравенство (11) не имеет решений на этом промежутке.
Пусть х принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (11) также не имеет решений.
Итак, неравенство (11) решений не имеет.
Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методам решения.
Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.
Пример 3.1.1 Решите уравнение
. (1)
Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен , не имеющий корней, получим уравнение
, (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде
. (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их не имеет.
Пример 3.1.2 [19]Решите уравнение
. (4)
Решение. Умножив обе части этого уравнения на многочлен , получим уравнение
, (5)
являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень , не являющийся корнем уравнения (4).
Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку не является корнем уравнения (5), то, разделив обе его части на и перегруппировав его члены, получим уравнение
(6)
равносильное уравнению (5). Обозначив , перепишем равнение (6) в виде
. (7)
Уравнение (7) имеет два корня: и . Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений
и .
Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5):
, , ,
Так как корень является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: x1 , x2 , x3 .
Ответ:
Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.
Пример 3.2.1 Решите уравнение
. (8)
Решение. Перепишем уравнение (8) в виде:
. (9)
Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что х = 12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен
Так как многочлен не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень х = 12.
Пример 3.2.2. Решите уравнение
(10)
Решение. Легко заметить, что и являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно и решено.
Ответ:
Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.
Пример 3.3.1Решите уравнение
. (11)
Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (11) есть . Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение (11) в несколько ином виде.
Поскольку справедливы тождественные равенства
,
то уравнение (11) можно переписать так:
. (12)
Теперь очевидно, что если ― корень уравнения (12), то также корень уравнения (12), поскольку
. (13)
Покажем, что если , есть корень уравнения (11), то также есть корень этого уравнения.
Действительно, так как
то отсюда и вытекает это утверждение.
Итак, если , ― корень уравнения (11), то оно имеет еще корни
, , , ,
т. е. уравнение (11) имеет корни
, , , , , .
Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).
Ответ:
Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.
Пример 3.4.1 Решите уравнение
. (14)
Решение. Перепишем уравнение в виде или, используя формулу разности
, (15)
. (16)
Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть . Докажем, что уравнение
(17)
решений не имеет.
Разобьем числовую ось на промежутки
Для любого x из промежутка имеем, что левая часть уравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.
,
то для любого х из промежутка этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке уравнение (17) также не имеет решений.
,
то для любого x из промежутка этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке уравнение (17) не имеет решений.
Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение .
В процессе исследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:
1.Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.
2.Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.
3.Рассмотрены и опробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
Продолжение исследования может заключаться в изученииприменения свойств синуса и косинуса, применении производной, использовании числовых неравенств, использовании графиков и других нестандартных способов решения уравнений и неравенств.
1. Абылкасымова А. Е. «Алгебра 10 класс», Мектеп, 2006 г.
2. Алилов М. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа». Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение», 2002 г.
3. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. «Лекции и задачи по элементарной математике», М.: Изд. «Наука», 1974 г.
4. Газета «Математика» №20, 2008 г.
5. Голубев В. И. «Решение сложных и нестандартных задач по математике», 1995 г.
6. Горштейн П. И. «Задачи с параметрами», М. «Илекса», 1999 г.
7. Гусев В. А., Мордович А. Г. «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение», 1990 г.
8. Далингер В. А. «Нестандартные уравнения и методы их решения», Омск, 1995 г.
9. Жафяров А. Ж. «Профильное обучение старшеклассников», 2001 г.
10. Журнал «Математика в школе», 1999-2007 г.
11. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Швардцбурд С. И. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа», М: «Просвещение», 1990 г.
12. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2008 г.
13. Кравцев С. В. «Методы решения задач по алгебре», М. «Оникс», 2001г.
14. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2003 г.
15. Кушнир А. И. «Математическая энциклопедия», Киев «Астарта», 1995 г.
16. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия», 1991 г.
17. Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа», М.: Высшая школа, 1995 г.
18. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Нестандартные методы решения», 1992 г.
19. Письменский Д. Т. «Математика для старшеклассников». Издательство, «Айрис». М., 1996 г.
20. Постникова, С. Я. «Уравнения с параметрами на факультативных занятиях», 2002 г.
21. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2002 г.
22. С. А. Барвенов «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
23. Сканави М. И. «Сборник задач для поступающих в ВУЗы», М. «Высшая школа», 1988г.
24. Супрун В. П. «Нестандартные методы решения задач по математике» Минск «Полымя», 2000 г.
25. Теляковский С. Л. «Алгебра». Учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение», 1995 г.
26. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987 г.
27. Шабунин. М. И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
28. Шыныбеков А. Н. «Алгебра 10 класс», Атамура, 2006 г.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Докажите, что следующее уравнение не имеет решений:
a. .
b. .
c. .
d. .
e.
2. Решите уравнение:
a.
b. .
c. .
d. .
e. .
f. .
g.
Ответ:.
h. .
Ответ:
3. Решите неравенство:
a. .
Ответ:.
b. .
Ответ:.
c. .
Ответ:.
d. .
Ответ:.
e. .
Ответ:
Нестандартные методы решения систем уравнений с несколькими неизвестными для профильной подготовки учащихся 11 класса
ID (номер) заказа
1516359
Понятие «система уравнений», процедуры «решения систем уравнений» занимают достойное и очень обширное место в школьной программе математики с 8-го по 11-й классы. В ЕГЭ задачи на решение систем уравнений часто представлены в группе самых трудных задач под достойным номером 18. Еще чаще с системами уравнений приходится сталкиваться тому, кто решает текстовые задачи, особенно на дополнительных вступительных испытаниях в престижные вузы страны. Решение «одиночных» уравнений нередко сводится к решению равносильных им систем, содержащих как уравнения, так и неравенства.
Математическая энциклопедия дает следующее определение: «совокупность уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям, называется системой уравнений». Требование «Решить систему уравнений» как раз и означает «Найти совокупность значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям».
Изучению систем уравнений уделяется особое внимание в области элементарной математики, поскольку именно системы уравнений являются математическими моделями очень многих физических и иных прикладных задач. Известно, что методы их решения в большинстве случаев вызывают затруднения у учащихся. Имеется большая путаница между понятиями «система» и «совокупность» уравнений. Многие школьники просто не различают эти понятия, а уж писать ли «фигурную скобку» или «квадратную скобку» для них есть просто вопрос вкуса!
Система уравнений затрагивает многие тонкие математические вопросы: графический способ решения, насколько он правомочен? всякое ли уравнение определяет линию? всякая ли линия определяется уравнением? должно ли число неизвестных равняться числу уравнений? что будет представлять собой «решение», если линии, задаваемые уравнениями, не пересекаются в одной точке? Как понимает любой математик, ответ на каждый из этих вопросов – целый отдельный раздел современной математики.
Объект нашего исследования: системы уравнений.
Предмет исследования: методы и приемы решения систем уравнений.
Цель исследования: описать и предложить приемы современных информационных технологий для систематизации методов и приемов решения систем уравнений и в обучении решению практических задач.
Планируемый результат исследования: выработка методических рекомендаций для учителей и выпускников школ для обучения и решения систем уравнений.
Структура и объем исследования. Курсовая работа состоит из введения, теоретическо-методической части, компьютерной части, заключения и списка использованной литературы.
Нет нужной работы в каталоге?
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»
Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
Данная работа — исследовательский реферат, который учащиеся представляли на научной практической конференции , а также материалы этой работы представляли на уроке — семинаре в 11-м классе по теме » Решение логарифмических и показательных уравнений нестандартными методами». Данную рароту можно использовать учителям как методическое пособие на факультативных занятиях, при подготовке к ЕГЭ заданий С1, С3 и для работы в профильных классах . Преимущество этой работы в том, что здесь выведены и подробно описаны алгоритмы решений уравнений и неравенств, что не наблюдается в обычных источниках.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
referat.doc | 822.5 КБ |
Предварительный просмотр:
- Метод ограниченности функций:
1.1. Решение уравнений
2. Метод неотрицательности функций:
3. Метод использования области допустимых значений:
4. Метод использования свойств синуса и косинуса:
5. Метод использования числовых неравенств:
5.2. решение неравенств
6. Метод использования производной:
6.2. решение неравенств
7. Решение неравенств методом замены функций.
« Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…»
В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное.
Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть? Что это даёт ученику? Или это только удел одарённых учеников? На эти вопросы мы попробуем найти ответы. Учимся мы в физико – математическом классе и увлечены математикой.
Хотим иметь прочные и высокие знания по данному предмету, которые понадобятся нам при дальнейшем обучении в вузах. Почему мы выбрали именно эту тему?
Данная тема актуальна, она соответствует нашему профилю, потому что её изучение помогает расширить и углубить знания по теме: «Методы решения уравнений и неравенств». Эта работа поможет нам успешно сдать ЕГЭ и приобрести опыт выполнения научной работы.
- Метод ограниченности функций.
1.1. Решение уравнений.
Данный метод основан на применении следующей теоремы:
Теорема: Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функции y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений:
Пример 1. Решите уравнение: .
- Рассмотрим функции g() = и f()=
- E(g()) =, т.к .
- E(f()) =, т.к , то .
- g()=1 для функции g() = и f()=1 для функции f()= , значит можно воспользоваться теоремой о ограниченности функции.
5. Составляем систему уравнений и решаем её:
Достаточно решить одно, более простое уравнение, и сделать проверку корней в другом уравнение.
Проверка: если , то ,, -1 = -1, верно, значит является решением исходного уравнения.
Пример 2 . Решите уравнение:
Преобразуем данное уравнение:
Рассмотрим функции и
- Е, т.к ,
- Е, т.к
- Составляем систему уравнений и решаем её:
1.2. Решение неравенств.
Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:
Пусть множество есть общая часть (пересечение) областей существования функций и и пусть для любого справедливы неравенства и где — некоторое число. Тогда неравенство
равносильно системе уравнений
Обе части неравенства определены для всех действительных чисел . Для любого , поэтому Следовательно, неравенство равносильно системе
которая, в свою очередь, равносильна системе
Единственное решение второго уравнения системы есть Это число удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение
Обе части неравенства определены на множестве Для любого имеем
Поэтому неравенство равносильно системе уравнений
Первое уравнение системы имеет единственное решение , которое удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение .
- Метод неотрицательности функций.
2.1. Решение уравнений.
Данный метод основан на следующей теореме:
Пусть левая часть уравнения F(х)=0 (1), есть сумма нескольких функций F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования.
Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений:
Так как и 0, то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений:
Проверка:
если х=3, то 0 = 0, верно. Так как х = 3 является решением системы равносильной исходному уравнению, то оно является корнем первоначального уравнения.
преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты двух выражений
Так как данные функции f(x)=(x+22) и g(x)=(2-1) неотрицательны, то данное уравнение равносильно системе двух уравнений:
Проверка: если x = 0, то 2 = 0, неверно.
Так как уравнение имеет единственное решение
x = 0, которое не является решением второго уравнения , то система не имеет решений, следовательно первоначальное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
2.2. Решение неравенств .
Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:
Пусть левая часть неравенства есть сумма нескольких неотрицательных функций , каждая из которых неотрицательна для любого из области определения ее существования, тогда данное неравенство равносильно системе уравнений
Так как для любого справедливы неравенства
данное неравенство равносильно системе уравнений
Второе уравнение системы имеет два решения: и . Из этих чисел только удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют единственное решение
Каждая функция и неотрицательна для любого из области ее существования. Поэтому неравенство равносильно системе уравнений
Первое уравнение системы имеет два решения: и . Из этих чисел только 4 удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеет одно решение .
- Метод использования области допустимых значений .
3.1. Решение уравнений.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения подстановкой чисел из ОДЗ.
Пример 1 . Решите уравнение:
ОДЗ этого уравнения состоит из всех , одновременно удовлетворяющих условиям и , т.е ОДЗ есть пустое множество, значит ни одно из чисел не может являться решением, т.е.это означает, что уравнение корней не имеет.
Ответ: нет корней.
Рассмотрим ещё один пример.
Пример2 . Решите уравнение:
ОДЗ этого уравнения состоит из чисел, удовлетворяющих условиям т.е. ОДЗ есть Сделаем проверку, подставив эти значения в уравнение, получим верное равенство.
3.2. Решение неравенств.
Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве М , состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.
Рассмотрим этот метод на следующих неравенства х :
1.Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:
2.Решим эту систему:
3. Решением этой системы являются два числа: и .
4.Сделав проверку в первоначальное неравенство, x = 1 не удовлетворяет ему. Следовательно, решением неравенства является x = 5.
- Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:
2.Эта система не имеет решений, а значит и данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.
- Метод использования свойств синуса и косинуса.
4.1. Решение уравнений.
Решение некоторых тригонометрических уравнении может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут быть следующие:
где , , А и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа. При этом используются следующие свойства: если для некоторого числа справедливо строгое неравенство или , то такое число не может быть корнем ни одного из уравнений данного вида.
Пример 1. Решите уравнение : (1)
- Если число — решение уравнения (1), то sin=1 или sin=-1.
- Если , то из уравнения (1) следует, что , а это невозможно.
- Если sin=1, то cos4=1.
- Eсли sin=-1, то cos4= — 1.
- Следовательно, любое решение уравнения (1) является решением совокупности двух систем уравнений
- Первое уравнение системы (2) имеет решения .
Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются её решением.
- Первое уравнение системы ( 3) имеет решения . Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений.
- Значит, все решения уравнения (1) совпадают со всеми решениями системы (2).
4.2. Решение неравенств.
Аналогичные рассуждения могут применяться и при решении неравенств.
Рассмотрим следующий пример:
1.Допустим -решение данного неравенства, тогда так как в противном случае было бы справедливо неравенство что невозможно. Следовательно, решением неравенства является решение системы:
2. Решая первое уравнение, получается Это решение удовлетворяет второму уравнению. Значит, это решение является решением неравенства.
- Метод использования числовых неравенств.
5.1. Решение уравнений.
Применяя то или иное числовое неравенство к одной из его частей уравнения, его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, где a и b – неотрицательные числа, причём равенство здесь возможно лишь при a=b.
Можно использовать следствие из этих неравенств, например, , при , причём тогда и только тогда, когда , или при , причём
тогда и только тогда, когда
Пример 1. Решите уравнение:
причём она равна четырём, если x=0.
3. Правая часть при х=0 также равна четырём, а для всех меньше четырёх
4. Следовательно, х=0 , единственное решение
Пример 2. Решите уравнение:
- Введём новые переменные: , , где a>0 и b>0.
- Перепишем левую часть уравнения и докажем, что
- Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений
6. Из второго уравнения системы находим его решения и . Подставим эти значения в первое уравнение системы, получим верное равенств, следовательно, они являются его решением. Значит, и являются решением исходного уравнения.
5.2. Решение неравенств.
1. Преобразуем левую часть неравенства, получаем:
Применяя формулу этого метода, получаем, что для любого x справедливо неравенство:
Равенство здесь справедливо, когда x=0.
Так же для любого x справедливо неравенство:
Равенство здесь справедливо, когда x=0.
2.Следовательно, неравенство имеет одно решение x=0.
3. Из последних двух неравенств следует, что исходное неравенство справедливо лишь тогда, когда обе части исходного неравенства равны 4, а это возможно лишь при х = 0.
- Метод использования производной.
6.1. Решение уравнений.
Использование монотонности функции .
Пример 1. Решите уравнение:
- Рассмотрим функцию
- D
- Эта производная принимает только положительные значения на всей области определения, значит функция возрастает. Следовательно, она принимает каждое своё значение только в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
- Подбором находим, что .
Использование наибольшего и наименьшего значений функции
Пример 2. Решите уравнение: .
- ОДЗ уравнения есть интервал .
- Рассмотрим функцию на отрезке
- Так как функция непрерывна на своей области определения, то её наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел , ,
- Наибольшее значение есть , следовательно уравнение имеет единственный корень .
Применение теоремы Лангранжа.
Теорема: Если функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале , то найдется такая точка с интервала , что .
Пример 3. Решите уравнение:
- Подбором находим, что и . Докажем, что других корней уравнение не имеет.
- Предположим, что уравнение имеет три корня
- Рассмотрим функцию . Она непрерывна на всей числовой прямой.
- Найдем её производную: . Данная функция тоже непрерывна на всей числовой прямой.
- По теореме Лагранжа имеем
- Значит, существует хотя бы две точки и , в которых производная функции f(x) равна нулю.
- Уравнение имеет только один корень.
- Значит , заданное уравнение имеет два корня: -2 и 1.
Пример1. Решить неравенство
2. D() = (). на области определения, значит функция f(x) возрастает на своей области определения и принимает каждое своё значение ровно в одной точке.
3. Тогда уравнение f(x) = 0 может иметь не более одного корня и таким корнем является х = 0.
4. Определим знаки функции: так как функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то для x f(x) а для x >0 имеем f(x)>0.
5. Значит , решением исходного неравенства являются все х из промежутка (0;).
- Решение неравенств методом замены функций.
Данный метод основан на следующем утверждении:
Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции , то неравенства
Это утверждение означает то, что если одна из функций или имеет более простой вид, то при решении этих неравенств ее можно заменить на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций.
Области определения функций и совпадают. Кроме того, при :
Следовательно, для функций и условия утверждения выполнены.
Пример 1. Решите неравенство
Приведем числитель дроби к основанию 2, а знаменатель к основанию 5.
Последнее неравенство решается методом интервалов, его решением является объединение промежутков
Области определения функций и совпадают. Кроме того,
Следовательно, для функций и условия утверждения выполнены.
Последнее неравенство решаем методом интервалов.
Данное неравенство равносильно неравенству
Множество — решение последнего неравенства.
При нечетном утверждение справедливо. Кроме того, при четном области определения функций совпадают, и
Следовательно, при четном для функций и также выполнены условия утверждения.
Решив последнюю систему методом интервалов, получаем
Области определения функций и совпадают. Кроме того, при :
Следовательно, для функций и при выполнены условия первоначального утверждения.
Это неравенство равносильно следующему:
Это неравенство равносильно следующему:
Изложенные методы решения эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение или частное двух функций указанных выше видов, а правая часть равна нулю.
Для того , чтобы успешно решать такие уравнения и неравенства , предлагаем придерживаться общего алгоритма:
1. Визуально проанализировать уравнение(неравенство)
( определить тип, не спешить раскрывать знак модуля, скобки, возводить в степень)
- Преобразовать, если необходимо
- Определить способ решения и учитывать его особенности при выполнении
- В процессе преобразований необходимо постоянно следить за областью допустимых значений и равносильностью преобразований
- Уравнение – проверка!
Работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив новые методы решения уравнений и неравенств, мы обогатили свой опыт:
- Новыми научными понятиями
- Научились работать со справочной литературой
- Узнали методы, которые выходят за рамки школьной программы
- Углубили и расширили свои знания
Самыми трудными оказались методы: применение производной: использование теоремы Лагранжа( ещё требует дополнительного изучения), использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств.
Также мы приобрели навыки пользователя компьютера:
- Форматирование и редактирование текста
- Работа с редактором формул в Microsoft Word
- Работа с мастером функций в Microsoft Excel
Данные методы позволяют рационально решать сложные уравнения и неравенства, а порой являются и единственными способами. Для того, чтобы овладеть этими методами, необходимо иметь прочные навыки по стандартным методам, преобразованиям, знать много теоретического материала и дополнительно решать.
- Никольский С.М. « Алгебра и начала анализа . 11 класс», Москва, « Просвещение» — 2004.
- С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко « Уравнения и неравенства», Москва, «Экзамен» — 1998.
- Журнал « Математика для школьников», № 4 – 2005.
- С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы», Москва, « Дрофа» — 2002.
- Школьная энциклопедия « Математика», Москва, « Дрофа» — 1997.
- Мордкович А.Г. « Алгебра и начала анализаю 10-11 класс. Учебник и задачник», Москва, « Мнемозина» — 2002.
- Медиаресурсы: «Вся математика», « Повторяем весь школьный курс», « Алгебра 7 – 11».
http://skachatvs.com/1516359/nestandartnye-metody-resheniya-sistem-uravneniy-s-neskolkimi
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/12/nestandartnye-metody-resheniya-uravneniy-i