Нестандартный на тему тригонометрические уравнения

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ

Основные цели работы:

• освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra;
• изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций;
• отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Объект исследования: Тригонометрические уравнения

Предмет исследования: изменение тригонометрической функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров

Предположение исследования: программа GeoGebra позволяет визуально проследить изменение поведения функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров.

• Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач.
• Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
• Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
• Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач.
• Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Методы: эмпирический (практическая работа в программе); аналитический (анализ полученных результатов)

1. Знакомство с синтаксисом программы GeoGebra.

2. Освоение опций и функций программы.

3. Практическая работа: построение графиков. Сравнение графического и аналитического методов.

4. Анализ и описание полученных результатов.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Предполагается, что в результате работы будут:

1. Изучены (в первом приближении) основные возможности программы GeoGebra по созданию динамических чертежей.

2. Собрана (с использованием возможностей Интернета) библиотека файлов, содержащих графические иллюстрации к задачам типа С5 с параметрами.

3 Сформулированы основные принципы использования программы GeoGebra для иллюстрации решений тригонометрических уравнений графическим способом:

• динамическое изменение параметра позволяет демонстрировать взаимодействие графиков в режиме реального времени;
• функция «паузы» позволяет зафиксировать положение графиков при критических значениях параметра, которые потом необходимо вычислить аналитически;
• введение дополнительного параметра в условие задачи, отличного от заданного, позволяет продемонстрировать принципиальные изменения в исходной конфигурации, которые приводят к появлению новых критических значений параметра.

Предварительный просмотр:

Рабочая карта учащегося

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Решите самостоятельно уравнение графическим методом в интерактивной среде Geogebra;

• Откройте Geogebra(Пуск – Все программы – Geogebra)
• Настойте координатную плоскость(по оси аргумента – единичный отрезок π/2);
• Введите через строку ввода соответствующие функции;

Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и .

Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость. Правой клавишей мыши щелкните по координатной плоскости. В появившемся диалоговом окне поставьте флажок «шаг» и выберите значение π/2. Закройте диалоговое окно. Внесем функции через строку ввода. Для построения первой функции вводим следующее: . Для построения второй функции вводим .

Построение графика функции y= sin x

Построение графика функции y= cos x

Преобразования графика функции y= sin x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции

y= sin x
1) амплитуда А;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Преобразования графика функции y= cos x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции y= cos x
1) амплитуда A;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

1. Решите следующие уравнения графическим методом и аналитическим путем.

• Упростите левую часть уравнения;
• Окройте интерактивную среду Geogebra;
• Выполните построение;

Графический метод решения в Geogebra

Аналитический метод решения

Не требуется знать формулы

Требуется знать формулы

Необходимо уметь набирать функции

Нет необходимости учиться набирать функции

1. Операция «Спасение».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y=a cos(bx+c) в зависимости от параметров а, b и с. Рисуем график квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Изменение любого из трех коэффициентов изменяет поведение параболы. Модель можно посмотреть, перейдя по ссылке http://ggbtu.be/m221351 К онечный результат представлен на рисунке.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.

При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x

Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:

Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические\1. ggb

2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические\2. ggb

Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.

Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практические\корабль синих. ggb

Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.

Практические\корабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.

Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.

Точки пересечения кораблей – А и В . Практические\корабль желтых. ggb

Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .

При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практические\динамическая модель. ggb

Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.

Нестандартные тригонометрические уравнения

Разбор вариантов решения тригонометрических уравнений. Анализ типичных ошибок при нахождении корней тригонометрических уравнений. Изучение данной работы полезно старшеклассникам для подготовки к ЕГЭ по математике.

Математические знания могут применяться умело и с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.

Решения тригонометрических уравнений сводятся к решению элементарных уравнений посредством преобразования, разложения на множители, замены неизвестного. Ведущий принцип – не терять корни. Это означает, что при переходе к следующему уравнению не нужно опасаться лишних корней, а заботиться лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение являлось следствием предыдущего.

Пример 1: Основной прием решения нестандартных тригонометрических уравнений – это домножение обеих частей уравнения.

а) cos x·cos2x·cos4x·cos8x = (cos15x

Решение: умножим обе части уравнения на 16sinx

16sinx ≠ 0 x ≠ πn; n є z

2sin8x·cos8x = 2cos15x·sinx sin16x = 2cos15x·sinx

Используя формулу cosα·sinß = ((sin(ß-α)+sin(ß+α)) получаем: sin16x = -sin14x + sin16x sin14x = 0

14x = πk; k є z x = ; k є zт. к. sinx ≠ 0 x ≠ πk; k є z k ≠ 14n; где n, k є z

Ответ: x = ; k ≠ 14n; n, k є z.

Решение: умножим обе части уравнения на sinx sinx≠0 x≠πn; n є z

Имеем: sinx·cosx + sinx·cos3x = (sinx

( (2sinx·cosx) + sinx·cosx = (sinx

(sin2x + sinx·cos3x = (sinx

Используя формулу cosα·sinß = ( (sin(ß-α)+sin(ß+α)) получаем:

(sin2x + (sin4x — (sin2x = (sinx

При помощи формулы разности синусов получаем:

(·2sin ·cos = 0 sin = 0илиcos = 0 x= ; n є zx= + ; k є z n ≠ 3mk ≠ 5t + 2

Ответ: ; n є z; + ; k є z; n, k є z; n ≠ 3m; k ≠ 5t + 2

Пример 2: Возведение в квадрат обеих частей уравнения.

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат

Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Основная схема отбора состоит в следующем: находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение, на этом периоде отбираются корни. В частности, если период равен 2π, то нужно «обойти» тригонометрический круг.

Проведём отбор корней уравнения , удовлетворяющих условию

(не удовлетворяет условию)

Пример 3:Решение уравнений методом оценки левой и правой части.

Решение: т. к. cos3x ≤ 1 и cos ≤ 1, то данное уравнение эквивалентно системе уравнений: cos3x = 1 cos = 1

= 2πk; k є z x = ; x = ;

5n = 6k n = 6; k = 5

Пример 4: Решение уравнений методом понижения степени.

Используя формулы половинного аргумента, имеем:

Домножим обе части уравнения на 16:

Применяя формулу a + b = (a² + b²)² – 2a²b²

— домножаем уравнение на 8

— не удовлетворяет условию

Пример 5: Решение уравнений, содержащих модуль.

Получаем совокупность двух смещенных систем:

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:

Пример 6: Решение уравнений с параметрами

При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней?

Уравнениене имеет корней, если a +5 10 a 5

Ответ: уравнение не имеет корней при a, принадлежащем промежутку.

Основные принципы и методы решения тригонометрических уравнений, которые мною рассмотрены, носят достаточно общий характер. При решении любого уравнения важно, чтобы была соблюдена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования были выполнены верно, получен правильный ответ. Тригонометрия относится к сложным разделам математики. Углубленное изучение этой темы способствовало расширению кругозора, улучшению навыков решения тригонометрических уравнений.

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств

Тригонометрические уравнения и неравенства одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений вызывают особый интерес как у учителей, так и у учеников, которые интересуются математикой. Практика решения таких примеров определяет более высокое качество усвоения тригонометрии, полезна для развития и укрепления способностей к самостоятельному логическому мышлению, для обогащению математической культуры.