Нестационарное уравнение шредингера имеет вид

НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Основное уравнение (закон) нерелятивистской квантовой механики впервые сформулировал Э. Шредингер в 1926 году. Оно играет в квантовой механике такую же важную роль, как и уравнение второго закона Ньютона в классической механике.

Для микрочастицы массой m, движущейся в некотором силовом поле, нестационарное (временное) уравнение Шредингера имеет вид:

, (2.24)

где y = y |x, y, z, t|- искомая волновая функция микрочастицы,

i= -мнимая единица,

D — оператор Лапласа: ,

W_p— потенциальная функция частицы.

В том случае, когда W_p не зависит явно от времени, W_p имеет смысл потенциальной энергии частицы в силовом поле.

Уравнение (2.24) можно записать в более компактной символической форме

, (2.25)

где — оператор полной энергии – оператор Гамильтона (или гамильтониан).

Для решения уравнения Шредингера, то есть для отыскания y -функции, необходимо задать начальные временные условия, а также условия, определяющие движение частицы на границах рассматриваемого силового поля. Сама же волновая функция, описывающая реализуемые состояния микрочастицы, должна удовлетворять общим ограничительным условиям, сформулированным ранее (п. 2.3.1).

Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

Дата добавления: 2015-07-24 ; просмотров: 2424 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Нестационарное уравнение Шредингера.

Лекция 5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.

Вероятностный смысл волн де Бройля. Волновая функция.

Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии с волнами в классической физике. Это не электромагнитные волны, так как их распространение в пространстве не связано с распространением какого-либо электромагнитного поля. Вопрос о природе волн можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо амплитуды удобнее выбрать интенсивность волны, пропорциональную квадрату модуля амплитуды.

Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных по различным направлениям. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн в данной точке пространства определяет плотность вероятности попадания электронов в эту точку за 1 сек.

Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля.

Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке.

Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию, которая является функцией времени и координат, обозначается греческой буквой ψ и называется волновой функцией или просто пси-функцией.

По определению — вероятность того, что частица имеет координату в пределах x, x+dx.

Если , то — вероятность того, что частица находится в объеме dxdydz.

Следовательно, вероятность того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна квадрату модуля пси-функции и элементу объема dV.

Физический смысл имеет не сама функция ψ, а квадрат ее модуля , где ψ* — функция, комплексно сопряженная с ψ. Величина имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Иными словами определяет интенсивность волн де Бройля. Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул).

Нестационарное уравнение Шредингера.

Уравнения Ньютона в классической механике позволяют для макроскопических тел решить основную задачу механики – по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и начальным условиям найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т.е. описать движение тела в пространстве и времени.

При постановке аналогичной задачи в квантовой механике необходимо учитывать ограничения на возможность применения к микрочастицам классических понятий координат и импульса. Поскольку состояние микрочастицы в пространстве в данный момент времени задается волновой функцией, а точнее — вероятностью нахождения частицы в точке x,y,z в момент t , основное уравнение квантовой механики является уравнением относительно пси-функции .

Это уравнение было получено в 1926 г. Шредингером. Как и уравнения движения Ньютона, уравнение Шредингера постулируется, а не выводится. Справедливость этого уравнения доказывается тем, что полученные с его помощью выводы находятся в хорошем согласии с экспериментами.

Уравнение Шредингера имеет вид

,

здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, — оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию

.

U(x,y,z,t) – в рамках наших задач потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле. Из уравнения Шредингера следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т.е. в конечном счете, характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на пси-функцию. Этих условий три:

1) функция ψ должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

2) производные должны быть непрерывны

3) функция должна быть интегрируема, т.е. интеграл

должен быть конечным. В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки

Это означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. Первые два условия – обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения.

Поясним, как можно прийти к уравнению Шредингера. Ограничимся для простоты одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу (U = 0).

Сопоставим ей, согласно идее де Бройля, плоскую волну

Заменим и и перепишем

.

Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по x, получим

;

Энергия и импульс свободной частицы связаны соотношением

.

Подставив в это соотношения выражения для Е и р 2

Последнее выражение совпадает с уравнением Шредингера при U =0.

В случае движения частицы в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс р связаны соотношением

.

.

Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.

Уравнение Шредингера

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме d V в области с координатами x y z , описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В 1962 г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ( 1887 — 1961 , Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

В наиболее общем виде его записывают так:

— h 2 m ∇ 2 Ψ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i h ∂ 2 Ψ ∂ t 2 .

Здесь m обозначает массу частицы, i 2 — мнимую единицу, ∇ – так называемый оператор Лапласа, равный ∇ 2 Ψ = ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 , Ψ – искомую волновую функцию, а выражение U ( x , y , z , t ) соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция U не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z ) e — i E h t .

Параметр E обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение E остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

— h 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = E Ψ .

∇ 2 Ψ + 2 m h 2 ( E — U ) Ψ = 0 .

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона H ^ . Его можно найти, сложив значения операторов — h 2 2 m ∇ 2 + U = H ^ . Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии E .

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.