Нестационарное уравнение теплопроводности для плоской стенки

Теплопроводность через стенку

Под теплопередачей через стенку понимают процесс передачи теплоты между двумя средами через непроницаемую стенку любой геометрической формы в стационарном и нестационарном режимах теплообмена. Стенка может быть многослойной.

Рассмотрим стационарный режим теплопередачи через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки при котором теплопередача — величина постоянная и температурное поле не изменяется во времени и зависит только от координаты. В этом случае при условии постоянства теплофизических свойств тела температура в плоской стенке изменяется линейно, а в цилиндрической — по логарифмическому закону, т.е.

Q = const и T = f(x) — линейная (при плоской стенке) или логарифмическая функция (при круглой стенке).

Согласно второму закону термодинамики процесс теплопередачи идет от среды с большей температурой к среде с меньшей температурой.

Теплопередача через непроницаемую стенку включает в себя следующие процессы:

1. теплоотдачу от горячей среды к стенке;
2. теплопроводность внутри стенки;
3. теплоотдачу от стенки к холодной среде.

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q [Вт] — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток [Вт]; F — площадь стенки [м 2 ].

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

λ/δ; [Вт/м 2 *К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м 2. К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Распределение температуры в плоской стенке

Рассмотрим изменение температуры в нашей стене. Так как у нас тепловой поток постоянный, то dT/dx = const=C₁; T=C₁х+С₂ (1). Определим С₁ и С₂ через граничные условия.

При х=0 T=T₁, подставим в уравнение (1) и получим T₁=С₂.
При х=δ T=T₂, подставим в уравнение (1) и получим T₂=С₁*δ+С₂, T₂=С₁*δ+T₁, получим: С₁=(Т₂-T₁)/δ. Теперь подставим в уравнение (1) найденные С₁ и С₂, получим следующее распределение температуры в нашей стене:

Если нам нужно узнать на какой глубине стены Т=То, то формула преобразуется в следующий вид:

Теплопроводность через многослойную стенку

Если у нас есть стенка из нескольких (n) слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ_i и разной толщиной δ_i.

Термическое сопротивление стенки считается так:

Для теплового потока формула будет иметь вид:

Температура на границе слоя вычисляется по следующей формуле:

Например, если нужно вычислить температуру между 3-м и 4-м слоем, формула будет такая:

Эквивалентная теплопроводность многослойной стенки:

Теплопередача через плоскую стенку в граничащую среду (граничные условия третьего рода)

Теплопередача — это более сложный процесс теплообмена между жидкими и газообразными средами, разделенными твердой стенкой. Теплопередача включает в себя и процесс теплопроводности, и процесс теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи α, Вт/(м 2 ·К) — это количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и окружающей средой, равной одному градусу.

Коэффициент теплопередачи k, Вт/(м 2 ·К), характеризует тепловой поток, проходящий через единицу площади поверхности стенки при разности температуры сред, равной одному градусу:

q = k * (T_{возд.внутри} — T_{возд.снаружи}); Вт/м 2

Коэффициент теплопередачи для n слойной стенки:

Термические сопротивления теплоотдаче на внешних поверхностях стенки будут равны:

Тогда общее термическое сопротивление теплопередаче будет равно:

Температуры на поверхности стенки можно определить по формулам:

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (граничные условия первого рода)

Теплообменные аппараты в большинстве случаев имеют не плоские, а цилиндрические поверхности, например рекуператоры типа «труба в трубе», кожухотрубные водонагреватели и т.д. Поэтому возникает необходимость рассмотрения основных принципов расчета цилиндрических поверхностей.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Подставим значения граничные значение и вспомним, что разность логарифмов равна логарифму отношению аргументов, получим:

Распределение температур внутри однородной цилиндрической стенки подчиняется логарифмическому закону, и уравнение температурной кривой имеет вид:

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины трубы L, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.

Теплопроводность при нестационарном режиме

Теплопроводность при нестационарном режиме

• Если теплопередача в теле зависит как от координаты, так и от времени (теплопроводность в нестационарных условиях), то это объясняется. Теплопроводность в процессе работы Долгое время инженеров интересовал нестационарный режим нагрева металла для различных технических операций, например, ковки, штамповки, закалки и др. Нестационарный режим.

С появлением сверхзвуковых самолетов, ракетных двигателей и др., интерес к процессу теплопроводности в нестационарных условиях представляет growing. In некоторые случаи Рекомендуется рассчитать теплозащиту головки ракеты или стенок камеры сгорания и сопла двигателя с учетом нестационарного режима работы. Дело в том, что самолет и его Двигатель может работать в очень короткие сроки, поэтому тепловой процесс элементов конструкции не успевает выйти на стационарный режим.

Переходные процессы характеризуются переходом от одного стационарного режима к другому. Людмила Фирмаль

Нестационарный режим Теплопроводность является периодической или переходной. Периодический режим называется режимом, в котором определенное распределение температуры повторяется через определенное время Промежуток времени, любое количество раз. В практике технических, временных Процесс более распространенный, поэтому он будет рассмотрен подробно. § 1.

Общее решение уравнения 1-мерной теплопроводности уравнение нестационарной теплопроводности（ Теплота тела) имеет вид dT dT, T = f (x, y, zₜt),= — коэффициент теплопроводности, ПК. Для 1-D уравнение упрощается следующим образом: Вычислите уравнение (V-1) методом разделения переменных таким же образом, как это было сделано при решении уравнения(V-1).Решение(V-1) находится в следующем виде: T = f (x, t)= X (x)F (t), где (V-2), X — он работает только с x. F является функцией только m.

Подставляя формулу (V-1) в (V-2) и деля ее на произведение X (x) F (x), i gx i 1 dF / watch X ’dx * A F dx * ’» один раз слева Равенство (V-3) является функцией только x, а правая сторона является функцией только r. Это означает, что он не изменяется в x и m. то есть, 1 d * X 1 X dxz «и J_dF F dx = const. Где уравнение (V-3) разбивается на 2 обыкновенных дифференциальных уравнения (V-4) и имеет формулу (V-4) для d ^ X dx2 = — ±k2X (V-5) (4-L2 Следующее общее решение: X =С₁ ？?* — pC₂e-Ч (V-6) и (- k2) для X-Coscos KX 4-csinsin KX. (U-7).

Обыкновенное дифференциальное уравнение (V-5)решается путем разделения переменных — = ±е * ал. После интегрирования этого уравнения в F — ±k2at4-InC₅ получается и записывается общее решение (±&2) (V-8) (v-5).Используется для общих решений (V-6), (V-7) и (V-8 Получить конкретное решение конкретной проблемы теплопередачи. Уравнение (V-6) предполагает экспоненциальное распределение температуры, а уравнение (V-7) допускает разложение Распределение бесконечных строк.

Уравнение (V-8) является периодическим, если экспоненциальное распределение температуры (знак минус экспоненциальный) или k2 является мнимым. Размер. Форма общего решения формулы (V-1) (для-k2) такова: Tg-XF =(Coscos KX +c₄sin KX) c₅e-AK * X. заметим, что решение уравнения не всегда является функцией (Теплопроводность) может быть выражена как произведение 2 функций, каждая из которых зависит только от 1 переменной. Например, решением уравнения (V-1) является следующая функция: (k -) 1Т=С, −1 —е (V-10) для подтверждения этого различают (V-10) относительно m, x (V-H) и подставляют результат в (V-1).

Последние 2 уравнения идентичны друг другу other. In другими словами, (V-10) является Решение (V-1). § 2.Неограниченная теплопроводность плоской стенки рассмотрим процесс охлаждения плоской стенки 2 /толщина (рисунок V-1).Температура стенки T равна、 направление оси X. Такое ограничение возможно в любом из 2 Условий.1. размеры стенки в направлении осей Y и Z не ограничены, то есть теплоотвод с конца.

Стена не искажает температурное поле в направлении оси X. 2. второе условие обеспечивает полную изоляцию торцов, но размеры стен в направлении оси y и оси z、 С конечным размером. если r = 0, то стенки начальной температуры T0, одинаковые во всех точках поперечного сечения, вступают в контакт с жидкостью при температуре Tf В. Процесс охлаждения стен не происходит change. It удобно использовать Tf в качестве точки отсчета температуры. То есть более сложные случаи, в которых to-f (x) рассматривается в специализированной литературе (57].

Форма, записанная с избыточной температурой Φ= T-Tf, является dx2a dt(V-12), а граничные условия (начальные и граничные) могут быть записаны в виде: начальное условие 1) m-0 0 = TQ-Tf = Oo для — / x c /; если граничное условие 2) (x> 0, — I = 0,\ dx, 1x = 0, потому что плоскость симметрии пластины проходит x = 0, 3) m> 0 =.в случае 5L прямая цитата.

Рассматриваемый В этом случае температура во всех точках стенки уменьшается со временем, поэтому нужно выбрать константу в следующем виде:— здесь Л2> 0.Имея это в виду, общее решение (V-9) является Напишите в виде О=СБе » Аач»c₃coskx4-c₄sin KX). Для определения константы (V-13) (V-13) используйте начальные условия 1, 2, 3.Во-первых, мы используем граничное условие 2. = МКО-ac2x (- C₃ksinkx + СК coskx).Это выражение должно быть равно нулю при x = 0./ ?Потому что # = 0, так как x = 0 и k cos k x, постоянная константа равна нулю, то есть С0.

Должно быть равно = 0. Форма (V-13) равна d = 0″ ALC cos kx. (V-14) чтобы найти собственные значения k =kₙ, используйте граничное условие 3.производная (V-14) относительно X —=〜Ce-ak2xk sin kx. dх(в-15) Найдите (V-14) Се ^ ⁴ = —V COS KX и замените его на (V-15). в результате DX — — -/?Вы получаете Sin£x. последняя форма уравнения cos kx x = / is-MtgW. \ dx> x ^ 1 I. наконец, применить Граничное условие 3, Get-kft / ₓₑ / TGA?/ = откуда последнее выражение может быть переписано в виде cigP-al X P -£/. Комплекс значений (в-16) био-критерии (II1-11) знаменатель(в-16).

Трансцендентальное уравнение (V-17) легче всего решить графически. Левая и правая части уравнения являются Z/₁>.Далее, пересечение линии y₂-P = — gj и котангентоид yx = = ctgP (рисунок V-2) определяет корень уравнения (V-17).Из рисунка(Фау-2)видно, что каждому значению BI имеет бесчисленное множество корней. На фото Первый корень Р₂, Р₃ р₃ и Р₄ отображаются для 3 значений BI. (Sh-11) температура стенки и жидкости относительно конкретного материала стенки и ее размер A°C Получилась фигура V-2.

Графическое решение граничного уравнения bi (V-17). Для Bi oo p равно. Прямая y., = y. совпадает с абсциссой и корни уравнения (V-14) равны:= ПЗ = уу……….. A =(2 «-1) y (V-18) (n = 1, 2, 3, Если Bi — > 0, то a — > 0 и (ft) ₓ ₌ Z-oo-to-TF, для P теплопередачи от пластины к жидкости Pet: прямая y₂ = — G-is Корни оси ординат и уравнения (V-17) равны:/ =(n-1) l. (n = 1, 2,…(V-19) для каждого значения Bi в диапазоне 0 Biкраевая задача (V-12）、（1）-（3）дополнительные сведения см. В разделе практическое руководство: 0 = 2 C. форма cosfo-Me»■, (V-20) i = 1. 2 X1 ■ константа.

C определяется начальным условием 1.формула для r-0, 0-Oo для — / x /(V-20) принимает вид Oo = 2ciC⁰s (pi7 -)- Легко показать, что система функций 1 = 1,2 \1 (V-21) (Pn-положительный корень трансцендентного уравнения) ортогональна на отрезке| 0,Z], то есть если/#= / 0 #= 0 i = j. легко указать / o. So, чтобы найти его, действуйте следующим образом (закон Фурье): умножьте обе стороны (V-21) на cos y x и интегрируйте x в интервале 10, Z].И затем… Получить силу ортогональности системы/ / ДХ, (в-22) dxo2sⁱⁿp1⁰Pi-sin Пи, потому что Пи (в-23) в окончательном виде с DX материи.

Дж потому что Х) DX = ДХ, потому что — если значение Cₜ из с i-vo / (V-23) подставляется в Формулу (V-20), то можно записать решение о охлаждении plate. So, 00 — = y » О_ _ _ _ 2 sin Pj Pi — Ф-грех, потому что Пи п — ф = 1,2 а-2sⁱⁿP * ⁴pi — / — грех, потому что Пи-Пи или (V-17), потому что? Ввиду…?11 (V-24) (V-25) (V-26) A = f_lV4 ′ 2BⁱAnd2+ P? * ’^(Би ^ Би + Р? Анализ ) ’ Решение (V-2 4). Выражение с учетом (V-26) (V-24) может быть выражено в виде обобщенной переменной в виде следующей зависимости (111-15): а r / n-ar x\, — CV |> p’i)•, где числовой Фурье.

В случае охлаждения стенки, учитывая обозначение (V-27), зависимость (II1-15) находим в температурном поле стенки, что очень хлопотно (V-28) по формуле (V-24) — e F (Bⁱⁱt) Это требует времени. Поэтому в инженерной практике мы решаем такие задачи с помощью номограмм, которые строятся в виде уравнений (V-28).Обычно создается номограмма. Получены следующие значения безразмерных координат: -= 0 / x 1 и m = 1, что соответствует центру стенки (плоскости симметрии) и ее внешней поверхности.

Согласно каждому из (V-28) В такой номограмме B принимается за температуру интересующей безразмерной переменной, а число Фурье био-за безразмерную независимую переменную. Если дело имеет конкретное решение Когда тело охлаждается в виде (V-28), оно сохраняет свою прочность в случае нагрева, при определении 015]и параметра-Крит-Т / — К(V-29） Температура тела 7 ′ ₀ — начальная температура тела; T-температура среды для мытья тела.

Рисунки V-3 и V-4 являются номограммами для определения безразмерной температуры [57]6 (V-27) центр (симметричная плоскость) и стороны пластины. Не менее интересны и другие тела простой формы, например, аналогичные решения шариков и цилиндров (V-24). Бесконечная длина. Аналитические решения с громоздкостью не показаны here. In обобщенные переменные, форма решения как шара, так и цилиндра аналогична (V-28). На рисунках V-5 и V-6 показана номограмма для определения безразмерной температуры B(U-27) поверхности шара (безразмерные координаты-5 =1.г-текущий радиус, R-радиус шара） ivcentresreshold ^безразмерные координаты при нагреве.

В стандарте Biot радиус шара вводится как характерный размер. Цифры V-7 и V-8 являются номограммами для определения. Безразмерная температура на поверхности бесконечного цилиндра B (V-27) (безразмерные координаты= 1) и координаты-0) вводит радиус цилиндра R. (Рис. V-3, V-4, V-5, V-6, V-7 и V-8): число Фурье Fo = — и ссылка Bi =(оси Fo и Bi определяют все значения для определения цилиндра^безразмерный. Био-критерии в качестве характерного размера РНС. В-3. Для значения Bi 0,1-1000 составлен график для определения относительного превышения температуры 0С в середине пластины [57] V-4.

Для значения Bi 0,1-1000 составлен график для определения относительной избыточной температуры поверхности пластины 6a[57] V-5.График для определения относительного избытка Температура поверхности шара [57]рисунок V-6.График для определения относительной избыточной температуры центра шара[57] рис. V-7.График для определения относительного избытка Темпера! 0.1-1000 [57] 5 0.5 10 вам нужно знать 0 цилиндрической поверхности с Bi-значением).

Далее от точки на горизонтальной оси номограммы, где абсцисса равна i’o、 Восстановите перпендикуляр к точке пересечения с линией, соответствующей полученному значению Bi-в ординатах точки пересечения будет искомая безразмерная температура 9.Продолжать. Анализ решений (V-24).Дело Би — > ОО. Для данного материала X и размера стенки I условие Bi — > oo эквивалентно a — > — oo. Это значит что термальное сопротивление к передаче тепла Стенка 1 / а против жидкости равна нулю.

Это означает, что на протяжении всего процесса охлаждения наружная поверхность стенок и температура жидкости остаются равными друг другу. В этих условиях (V-18） Л =(2л-1), а коэффициент Aₜ(в-25) — это 2 греха Пи Р4-грех, потому что Пи пт 2 Син | [(2Н ->) Ф | (2л — — 1)г + грех(2 ″ — — 1) г Кос =( -!) «+>(V-30) cos(2n-1) — = 0 2 решение Подставляя значения Ai из (V-30) в (V-24), мы получаем рассматриваемый случай. То есть, (2l — 1) l X exp 4 —— cos /(2l −1) l для определения 2 (2d −1) 2L* ar 4 p (V-3I) скорость изменения.

Из основное направление температура стенки х (прочность охлаждение)(в-32) (в-32), эта стена охлаждая сила (б = /(% ) свойства)、 Коэффициент теплопроводности a. если значение критерия БИО очень мало (Bi 0,1). Bi — > ■для 0, (V-19) (n-1) l, согласно 4(2l-1) l’, Все коэффициенты A <серия (V-24) Он равен нулю, с первым исключением равным 1.Для 1-COS Pi Pl Pi-Pj — >0 можно заменить tg Pi на P. тогда из (V-16) получается, когда пластина охлаждается.

• И решение (V-24) принимает вид: В-9.Случай 0 Bioo распределение температуры y = /(X сила охлаждения рассматриваемого случая .(Bi) (V-33) равна d dr (V-34) случай 0 Bi. в этом случае Между 2 промежуточными позициями рассмотрены. Скорость охлаждения стенки определяется отношением интенсивности 2 эффектов-теплообмена через пограничный слой (Передача тепла в стене) и передача тепла материалом стены(термальной проводимостью в теле).

Безразмерное распределение температуры стенок по безразмерной координате X =y, а биопоказано при охлаждении Фурье-ориентированного Fo = случай 0. V-9.At первый момент, m = O, Fo = O, температура Φ= Oo(положение V-9, положение a). Итак… В более поздний момент времени форма кривой-f (x, Fo) Bi равна b и c (см. Рисунок V-9).В течение некоторого времени выполняется граничное условие для уравнения стенки (V-12) 3 время x> 0 для x = I и X = 1 имеет следующий вид или oY _ _ _ _ _ 0_ dx X Av-I0.

Касательная равна O, а O ’ = a равно O. Людмила Фирмаль

Распределение температуры£ — = / ( * ) PO VO рисунок V-11.VO над распределением температуры$ — = / (X) толщина Плоская стенка — толщина плоской стенки при охлаждении для корпуса Bi — >oo ki — >0 при охлаждении для case. So если мы проведем касательную линию в точке x =

/ кривая О/Оо-F (X)、 длина касательной не изменяется при r> 0.Это положение используется для определения температуры (I>/^₀) X₀₀ И (M> 0) x = 1 для заданных Bi и Fo, например, из номограммы (рис. V-3, V-4) можно построить(почти граф зависимостей Ф/Фо= /(X) (см. рис.) V-9).

Показаны рисунки V-10 и V-11 Зависимости.£( ) = «(*Рис. V. для −13, соответственно, у-в0, зависимости зависимостей / выражений (V-35) / h = f (Bi) [57]рис. V-12.F (Bi) [57]продолжение зависимости Pj =выражение (V-35) Анализ решений (V-24). Значение Pₜ представляет собой ряд возрастающих чисел Р1Рг * * * число ряда членов PF (V-24) быстро уменьшается с увеличением членов. Как вы увеличиваете значение Pᵢₜ в этом случае? То есть серия(V-24) сходится быстро. Из (V-24), для большого числа Фурье Fo, ряд сходится быстрее, чем для малого числа Фурье.

Для машиностроения Если уравнение (V-24) уже вычислено при Fo 0.3, то оно может быть ограничено только первым членом ряда*, и при этом принимает вид „l d x-P * — =A_cosposposp-e“, что значительно simplified. To решай Для величины Ax и Px можно использовать графики= /(Bi) (рисунок V-12) и Aₜ= / (Bi) (рисунок V-13) 157).Определение расхода тепла. Расход тепла на кубический метр материала охлаждаемая за время от m-0 до m = Tj стенка определяется по формуле: Q =Ф[Оо-0 (г)], (V-35) рис. V-14.

Определение средней температуры O (t)по толщине стенки Уравнение(V-36) (V-36), где О (г)-средняя температура M = Tj толщины стенки в конкретный момент (рисунок V -!4).Температура 0(t)、 Функция от 0 до Z(V-24), то есть найти область под кривой 0 (x, Tj)и разделить результат на I (рисунок V-14): Ieo _ _ Qpₙ2axflfl (Ti)» i L11 ″ Cos Pi-DX-BZ=i1oCos- дуплексный. Начиная с 1l, первое число в серии sin-pT — *(V-24) равно x / 1 = 0, Bi = = 1, Fo> 0.55 [57J .

Далее введем обозначение/ 1 / / sin Рассматривая P / P /(V-26), он обозначается как 2Bi2. В-И5.Зависимость формулы (V-38) Bi = /(Bi) [57]что в итоге получается-АС -/>? ^ — 1-v 2 ve•(V-37) » / ask = 1.2 для В инженерных расчетах последняя формула упрощается, и lДТ1А (т) = = ^ — вхе(V-38) может быть ограничена первым членом ряда, так что здесь коэффициент первого члена ряда уравнений (V-37).для облегчения расчета по формуле(V-38) можно использовать график-/(Bi). В-15. § 3.

Теплопроводность с неограниченным телом Бесконечное твердое тело с заданным начальным распределением, где температура изменяется только в одном направлении x. To определить температурное поле в любой момент времени t> 0 (Tm> o = Dx, m)) начальное условие Tₓ ₌ Q = f (x) должно решить уравнение (V-1) dt _ d * t DX〜a DX^.Ранее (§ 2) Функция (V-39) | l / 4at удовлетворяла уравнению、 Начальная state.

To уточним физический смысл константы с, содержащейся в формуле (V-39), определим количество теплоты Q, содержащейся в бесконечном ящике (вдоль оси x на базе dydz. Основной объем такого параллелепипеда содержит количество теплоты dQ = cpdydz Td (±- х) (заштриховано рисунком V-16,а). V-I6.To определите константу C из Количество тепла, включенное в уравнение (V-39) и поле Бесконечности, будет равно Интегралу последней Формулы cpdydz j j-OOC__ 1_ u l [Аат-CI-XP tax D (I-x) ^ cpdydzc.

Из Формулы (V-40) (V-40), величина C равна площади под кривой (V-39), размерность[C]-град-м. Из (V-39), в зависимости от времени t, кривая T = f(t） Чем круче, тем короче время t(рисунок V-16, б). Переход в (V-39) к пределу m — > 0 сохранит область ниже кривой. Начальная температура, Tx = 0, может рассматриваться как высота элементарного Площадь основания d% (рисунок V-17), но площадь таких участков постоянна C. используя (V-40) и учитывая, что базовый участок должен использовать dQ вместо Q, рисунок V И7.

Для уравнения (V-40), t = odB = F ( £ ) d£.Где константу С можно рассматривать как выход плоского источника тепла с временем 1 = 0 в вертикальной плоскости. X =ось x£.Если подставить значение константы C ((V-39)), то в результате получим решение (V-1) в другом виде), общее решение формулы (V-1)описывается .

Интегралом от частного Форма решения (V-41). известно, что общее решение линейного дифференциального уравнения (V-1) является суммой (V-42).(V-42) -] 4pt dp.] / 4ag = p или заменить переменную x + p 1/4 оси, то (V-43) (V-42)+°T (x, m）= ——-（F (X b P 4ax) e〜^ 4 при dB / I V4at X или T (x, x)= f F (x h-f f4ax) dp.(V-44) тогда, (V-44） Выполняется не только формула (V-1), но и начальные условия(если m = 0, то T-F(x)].если m = 0, то функция F равна F(x + p> 4ax)= F (x) и( V-44)равна Ch-oo 7(x, m = 0） = — ЛФ(х)е — » ДП. V L-so 4-00 5 e-t’dfi = Yi, oo T(x, x = 0)-F(x)следовательно, функция(V-44) удовлетворяет начальному условию. § 4.

Теплопроводность в полуограниченном теле 1D температурное поле (1-мерная материя) рассматривает теплопроводность объекта, который простирается бесконечно в направлении оси±g /;и-f-x является и отделяется плоскостью. перпендикулярно оси x при x = 0; такое тело называется semi-bounded. To определив температурное поле, необходимо решить уравнение (V-1) с начальным условием T(x,0)= F(x). = T0 = const и граничные условия T (0, t) — = 0.В качестве точки отсчета используется температура Tw.

Вам нужно найти зависимость y — = F (x, r). Используйте 1о для определения желаемой зависимости Решение (V-42), полученное для неограниченного body. To для этого продолжите функцию Γ (x) в отрицательном направлении и установите начальную температуру F (- x) на-F (x).С этим. Продолжение F (x = 0)= 0, условие поверхности выполнено, и решение x> 0 совпадает с решением исходной задачи (рисунок V-18).Обозначим Интеграл (V-42).

Как сумму 2 из двух терминов 1/ + +°°（£-） + Замените x в первом члене 5⁴atd£(V-45) (V-45) на x и получите F (- x)= — F (x) (V-46) из (V-43).、 (V-47) рис V-18.Распределение температуры в полу-ограничение тела V-19.Для уравнения зависимости±p/(e «p2) (V-47) график f (iP)=показан на рисунке V-19. Квадратные скобки (V-47) равны площади 123&2 ′ G1.Интеграл (V-47) может быть выражен в следующем виде(рисунок V-19): T I Go 1 / l $ e-!!- Да. — X U 4ax(V-48), Интеграл также равен площади 1233 ′ 2 ′ Г1 Его можно представить как сумму равных площадей: Ил. 122 ′ Г1 ч-ЛП.

Перепишите (V-48) в соответствии с 233 ’2’2 — = 2 pl 233’2’2 в виде: (V-49） Является функцией верхней границы. Уравнение (V-49)является искомым solution. It вводит символ, обычно называемый f u и k c. речь идет о erf z = — Str b на Гауссовой стороне w. Тогда решение (V-49） Может быть выражена в виде (V-50).Различные значения G erf z приведены в таблице. Фау-1.

Таблица V-1 функция ошибки или интеграл ошибки[92] erf2 — \ e Y * o g erf g G erf z SGG 2 2 2 erf з. 0.00 0.00000 0.66 0.64938 1.30 0.93401 1.94 0.99392 0.02 0.09253 0.68 0.66378 1.32 0.93807 1.96 0.99443 0.04 0.01511 0.70 0.67780 1.31 0.94191 1.98 0.99189 0.06 0.06762 0.72 0.69143 1.36 0.94556 2.00 0.99532 0.08 0.09008 0.74 0.70468 1.38 0.94902 2.05 0.99626 0.10 0.11246 0.76 0.71751 1.40 0.95229 2.10 0.99702 0、 12 0.13476 0.78 0.73001 1.42 0.95538 2.15 0.99764 0.14 0.15695 0.80 0.74210 1.44 0.95830 2.20 0.99814 0.16 0.17901 0.82 0.75381 1.46 0.96105 2.25 0.99854 0.18 0.20094 0.84 0 76514 1.48 0.96365 2.30 0.99886 0.20 0.22270 0.85 0.77610 1.50 0.96611 2.35 0.9991107 0.22 0.24430 0.88 0.78669 1.52 0.96841 2.40 0.9993115 0.24 0.26570 0.90 0.79691 1.54 0.97059 2.50 0.9995930 0.26 0.28690 0.92 0.80677 1.56 0.97263 2.60 0.9997640 0.28 0.30788 0.94 0.81627 1.58 0.97455 2.

70 0.9998657 0.30 0.32863 0.96 0.82542 1.60 0.97635 2.80 0.9999250 0.32 0.34913 0.98 0.83423 1.62 0、 97804 2.90 0.9999589 0.34 0.36936 1.00 0.84270 1.64 0.97962 3.00 0.9999779 0.36 0.38933 1.02 0.85084 1.65 0.98110 3.10 0.999988 * 1 0.38 0.40901 1.04 0.85865 1.68 0 98249 3r20 0.9999940 0.40 0.42839 1.06 0.86614 1.70 0.98379 3.30 0.9999969 0.42 0.44747 1.08 0.87333 1.72 0.98500 3.40 0.9999985 0.44 0.46623 1.10 0.88020 1.74 0.98613 3.50 0.99999925691 0.46 0.48466 1.12 0.88679 1.76 0.98719 3.60 0.99999964414 0.48 0.50275 1.14 0.89308 1.78 0.98817 3.70 0.99999983285 0.50 0.52050 1.16 0.89910 1.80 0.98909 3.80 0.99999992300 0.

52 0.53790 1.18 0.90484 1.82 0.98991 3.90 0.99999996521 0.54 0.55494 1.20 0.91031 1.84 0.99074 4.00 0.99999998158 0.56 0.57162 1.22 0.91553 1.86 0.99147 4.20 0.99999999714 0.58 0.58792 1.24 0.92051 1.88 0.99216 4.40 Определение 0.99999999951 0.60 0.60386 1.26 0.92524 1.90 0.99279 4.60 0.99999999992 0.62 0.61941 1.28 0.92973 1.92 0.99338 4.80 0.99999999999 0.64 0、 63459 1.0 потребления тепла.

Количество тепла DQ, поступающего в среду для промывки поверхности YZ путем прохождения через платформу dydz (рисунок V-20) от полуограниченного объекта в течение времени dr в результате дифференциала Возвращает выражение (V-49). 4-х / Y4ax \x1dx ДХ \ г ^ₚJQ / уя УАТ в-20.Для определения расхода тепла полуограничивающим телом (формула V-53) заменить а на значение Х = 0 Последнее выражение принимает вид (V-52).Формула для теплопотребления в единицу времени поверхности YZ имеет вид^ = — K — ^ dydz. (V-53) dx Y L в уравнении расхода тепла .

Получим Интеграл (V-52) cp-Ydydz, (V-54) для временного интервала tx через поверхность YZ, чтобы получить. Значения характеризуют способность физических констант Вещество накапливает тепло. § 5.Рассмотрим охлаждение параллелепипеда (рис. V-21) конечного размера 2 / x, 2ly, 2lz из изотропии теплопроводности объекта ограниченных размеров.

Материал начальной температуры, то же самое[321 во всех точках его volume. At время t = » 0, параллелепипед погружен в жидкость с температурой TfT₀. При этом не изменяется на протяжении всего процесса охлаждения и коэффициент теплопередачи А. При таких условиях температурное поле симметрично относительно центра параллелепипеда. Поставь Происхождение есть.

Математическая постановка этой задачи основана на дифференциальном термическом уравнении (P-54)^(*dtATLₑV. T (W, t) состоит из dx и граничных условий. Р = 0. T (x, y, z)= To = const; b)границы t> 0,= a $(x, y, r, r)m / xx g^1xdx 38(X, y, 2, m)j 38 (x. u. 2, m)i du = FX GE8(x, y, 2, t) 1 L d2 и/ e»(X, y, ’•T) ’ | −0. к ДХ / х = 0/38 (x, y. gtP-0.1 du / / = 0 /(x, y. g ’ t) ’| −0.to dg A = 0 для-lₓX+lₓ, — lyylᵥ.на корме (x, y, z, t) АО (x, y, z, r) рисунок V-21.Теплопроводность объекта ограниченных размеров (принимается здесь） .

Обозначения О(х, ууг, т)=Т(х, у, з, т)-Tₕ—(T₀-ТФ)распределение температуры, чтобы найти нужную—= ф (х, Г, З,-С). «O 157J доказал, что искомая функция может быть выражена в виде: Продукт 3 функций. Если поле представляется как пересечение 3 таких стенок, то каждая из них может быть записана на основе неограниченного решения стены (V-24). Формат нужной функции-0 _ (х, т) 0(у.0 (z, т)•V-55) * Vo-это V0o. Oo O (X t) O (Y, t) 0 (z, t)O’o o’o OO-распределение температуры в неограниченной плоскости YZ、 XZ, XY.

Формой решения рассматриваемой задачи на основе (V-55) и (V-24) является/ + Pm. y, PVz 12y’h(V-56), где Aᵢₜx, am > y-коэффициенты ряда решений (V-25) соответственно. Если ограничиться только первыми членами (V-35) строки: 0 (x, t) и Bi =y-Zₓ, а также (y, t) и Bi = y-1y, 0(z, t) и Bi = y / Z. формула (V-56) значительно упрощается и принимает вид коэффициентов коэффициентов. ЛtheХ, Л₁₂, и характеристическое уравнение Пи, х, Р₁>у, Pᵢₜz корней, потребление тепла, чтобы определить из графика каждого может быть определена (рисунок V-12 и V-13 справки).

Теплопотребление каждый кубический метр материала параллелепипеда за время от m-0 до m-m (см. Рисунок V-21) определяется по формуле: Q — cf [- &₀- 0(m) 1, 0 ® — средняя температура Tx ly LZ e w = JJ Ji $ Y определяется из соотношения параллелепипеда в конкретной точке m = m. 2, x) dxdydz. (V-58) ’ x ’ y ’ zooo уравнение для усреднения При температуре 0 (t) в определенный момент времени tx значение d (x, y, z, t) из (V-58) получается путем подстановки (V-58) Oo 1X1 y x (V-59) коэффициентов Bᵢₓ, Bₗₜ y, Bᵢₜg и корня. Характерные уравнения₁жж, л, у, P1.Z можно определить из графика соответственно (см. Рисунки V-12 и V-15).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Теплопроводность плоской, цилиндрической и сферической стенок при стационарном режиме

Рисунок 7.3 – К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

Теплопроводность плоской стенки. Тепловой поток перемещается через плоскую стенку толщиной δ (рис. 7.3) из однородного материала, имеющего коэффициент теплопроводности .

На наружной поверхности стенки поддерживаются постоянные температуры и ( > ). Температура изменяется только в направлении оси х, перпендикулярной плоскости стенки, т.е. температурное поле одномерно, а изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

В соответствии с дифференциальным уравнением теплопроводности (7.23) .

В результате интегрирования этого выражения получим:

.

Таким образом, температура по толщине плоской стенки при установившемся тепловом режиме изменяется линейно, а градиент температуры сохраняет постоянное значение.

Константы интегрирования и определяют из граничных условий:

При , следовательно ;

При ,

.

С учетом найденных констант:

. (7.25)

Дифференцируя последнее уравнение, имеем: .

Подставив найденные значения температурного градиента в уравнение, выражающее основной закон теплопроводности (7.12), получим уравнение теплопроводности для плоской стенки при стационарном режиме:

, (7.26)

.

Рисунок 7.4 – К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки

Отношение (l/d) носит название тепловой проводимости стенки, а (d/l) – термического сопротивления стенки.

Если стенка многослойная(рис. 7.4), состоит из n слоев толщиной с коэффициентами теплопроводности соответственно, при этом температуры наружных поверхностей и , а температуры на границе слоев , то при установившемся тепловом режиме тепловой поток Q, проходящий через каждый слой, одинаков и уравнение теплопроводности для каждого из них может быть выражено уравнением (7.26):

для 1-го слоя , или ;

для 2-го слоя , или ; (7.27)

для n-го слоя , или .

Складывая левые и правые части выражение (7.27), получим уравнение теплопроводности плоской многослойной стенки для стационарного режима:

, (7.28)

где i – порядковый номер слоя.

Таким образом, общее термическое сопротивление плоской многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев стенки при условии, что слои плотно прилегают друг к другу. Внутри каждого слоя линия изменения температуры (рис. 7.4) – прямая, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию.

Рисунок 7.5 – К выводу уравнения теплопроводности цилиндрической стенки

Теплопроводность цилиндрической стенки. В однородной цилиндрической стенке длиной L (рис. 7.5) температура в случае одномерного стационарного поля изменяется только в радиальном направлении, поэтому для поверхности произвольного радиуса r уравнение Фурье можно представить в виде

. (7.29)

Для кольцевого слоя с радиусом r и толщиной dr, выделенного внутри стенки (рис. 7.5), при внутреннем и наружном радиусах соответственно r₁ и r₂ и температурах на внутренней и наружной поверхностях стенки и , согласно уравнению (7.29) имеем:

.

В результате интегрирования последнего выражения получим:

(7.30)

либо .

Если учесть, что ( и – наружный и внутренний диаметры цилиндра соответственно), то:

. (7.31)

Уравнения (7.30) и (7.31) являются уравнениями теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена. Они показывают, что по толщине цилиндрической стенки (в отличие от плоской) температура изменяется криволинейно – по логарифмическому закону. При этом влияние кривизны стенки учитывается коэффициентом кривизныφ, значение которого определяется отношением диаметров . При

Рисунок 7.6 – Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки	Рисунок 7.7 – К выводу уравнения теплопроводности сферической стенки

В соответствии с законом Фурье количество тепла, проходящее через шаровой слой толщиной dr и радиусом r

. (7.34)

В результате разделения переменных и интегрирования этого выражения в соответствующих пределах, получим:

,

, (7.35)

где и – диаметры внутренней и внешней поверхности соответственно.

Уравнения (7.35) являются расчетными формулами теплопроводности сферической стенки. Как следует из них, при = сonst температура в сферической стенке меняется по закону гиперболы.

По аналогии с плоской и цилиндрической стенками для многослойной сферической стенки

. (7.36)

Тепловое излучение

В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда наблюдается и тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, отдающего тепло, тем большее количество тепла передается в виде лучистой энергии.

Тепловое излучение представляет собой процесс распространения внутренней энергии излучающего тела путем электромагнитных волн. При поглощении электромагнитных волн какими-либо другими телами они вновь превращаются в энергию теплового движения молекул. Источниками электромагнитных волн являются заряженные материальные частицы, т.е. электроны и ионы, входящие в состав вещества. По своей природе тепловое излучение аналогично излучению света, оба они представляют собой один вид энергии – лучистой – и подчиняются одним и тем же законам отражения, преломления и поглощения. Соответственно этому тепловое излучение характеризуется длиной волны. Однако в отличие от видимых световых лучей, имеющих длину волн 0,4÷0,8 мкм, длина волн теплового излучения лежит в основном в невидимой (инфракрасной) части спектра и составляет 0,8÷40 мкм.

Все тела излучают и поглощают лучистую энергию непрерывно. Интенсивность излучения зависит от природы тела, его температуры, длины волны, состояния поверхности, а для газов – еще от толщины слоя и давления. Твердые и жидкие тела имеют значительные поглощательную и излучательную способности. Вследствие этого в процессах лучистого теплообмена участвуют лишь тонкие поверхностные слои. Поэтому в этих случаях тепловое излучение приближенно можно рассматривать как поверхностное явление. Газы и пары характеризуются объемным характером излучения, в котором участвуют все частицы объема вещества. Излучение всех тел зависит от температуры. С увеличением температуры тела его энергия излучения увеличивается, так как увеличивается внутренняя энергия тела. При этом изменяется не только значение этой энергии, но и спектральный состав. При увеличении температуры повышается интенсивность коротковолнового излучения и уменьшается интенсивность длинноволнового излучения. В процессах излучения зависимость от температуры значительно большая, чем в процессах теплопроводности и конвекции. Вследствие этого при высоких температурах основным видом переноса тепла может быть тепловое излучение.

Лучистая энергия распространяется в однородной и изотропной среде прямолинейно. В отличие от теплопроводности и конвекции, лучистый теплообмен происходит не только между соприкасающимися, но и между удаленными друг от друга телами. Поток лучей, испускаемый нагретым телом, попадая на поверхность другого лучеиспускающего тела, частично поглощается, частично отражается (при этом угол падения равен углу отражения) и частично проходит сквозь тело без изменений, т.е.

; (7.37)

то есть ,

где – общая энергия падающих на тело лучей; – энергия, поглощенная телом; – энергия, отраженная от поверхности тела; – энергия лучей, проходящих сквозь тело без изменений.

Таким образом, отношения , и характеризуют поглощательную, отражательную и пропускательную способности тела. Если тело полностью поглощает падающую на него лучистую энергию, т.е. , а и равны нулю, то оно носит название абсолютно черного. При полном отражении телом лучистой энергии, , а , такие тела называют абсолютно белыми. Наконец, если тело пропускает все падающие на него лучи, не поглощая их и не отражая, , а , его называют абсолютно прозрачным или диатермичным.

В природе не существует абсолютно черных, абсолютно белых и абсолютно прозрачных тел. Все тела в той или иной степени поглощают, отражают и пропускают сквозь себя падающие на них лучи, т.е. являются серыми. Однако твердые тела и жидкости практически непрозрачны для тепловых лучей, а большинство газов, наоборот, диатермичны.

Основные законы излучения

Закон Стефана-Больцмана. Количество тепла, излучаемого единицей поверхности тела в единицу времени, называют лучеиспускательной способностью тела Е, Вт/м 2 :

. (7.38)

Как указывалось ранее, энергия излучения зависит от длины волн и температуры Т. Характеристикой энергии излучения по длинам волн служит интенсивность излучения I – лучеиспускательная способность тела в интервале длин волн от до + d , отнесенная к этому интервалу d , т.е.

. (7.39)

Лучеиспускательная способность тела E является интегральной характеристикой, которая учитывает энергию излучения волн всех длин от λ = 0 до λ = ∞.

. (7.40)

На основании электромагнитной теории света Планком аналитически была определена функциональная зависимость интенсивности излучения I₀ от температуры и длины волн для абсолютно черного тела. Согласно этой зависимости

, (7.41)

где c₁ – константа, равная 3,74∙10 –16 Вт/м 2 ; с₂ – константа, равная 1,44∙10 –2 (м∙К).

Интегрирование выражения (7.40) с учетом (7.41) дает зависимость для определения лучеиспускательной способности абсолютно черного тела Е₀:

, (7.42)

где к₀ – константа излучения абсолютно черного тела,
к₀ = 5,67∙10 –8 Вт/(м 2 ∙К 4 ).

Зависимость (7.42) носит название закона Стефана–Больцмана, так как была найдена экспериментально Стефаном и подтверждена Больцманом до того, как Планк вывел соотношение (7.41).

Таким образом, согласно закону Стефана–Больцмана, лучеиспускательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры.

При проведении технических расчетов выражение (7.42) удобнее использовать в виде

, (7.43)

где С₀ – коэффициент излучения абсолютно черного тела, равный С₀ = k₀∙10 8 = 5,67 Вт/(м 2 ∙К 4 ).

Исследования показали, что закон Стефана-Больцмана применим не только к абсолютно черным телам, но и к серым. В этом случае его записывают в виде

(7.44)

(C по аналогии с абсолютно черным телом называют коэффициентом излучения серых тел).

Отношение коэффициентов излучения данного тела и абсолютно черного С/С₀ = e носит название относительной излучательной способности или степени черноты данного тела. С учетом этого понятия закон Стефана-Больцмана принимает вид

. (7.45)

Рисунок 7.8 – К выводу закона Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает соотношение между лучеиспускательной и поглощательной способностями тел. Это соотношение может быть получено из рассмотрения процесса обмена лучистой энергией между абсолютно черным и серым телами (рис. 7.8).

Поверхности рассматриваемых тел параллельны и расположены на расстоянии, при котором излучение каждого из тел попадает на другое. Абсолютно черное тело имеет температуру T₀, лучеиспускательную способность E₀ и поглощательную A₀ = 1, серое тело имеет соответственно Т, Е и А, при этом Т > T₀. Излучение Е попадает на абсолютно черное тело и целиком им поглощается. Излучение E₀ попадает на серое тело. При этом часть этого излучения, равная E₀А, поглощается, а другая часть, равная E₀(1 – А), отражается на абсолютно черное тело и поглощается им. В результате этого обмена абсолютно черное тело получает суммарное количество энергии:

. (7.46)

При выравнивании температур обоих тел наступает тепловое равновесие, при котором Q = 0, т.е. . Следовательно,

. (7.47)

Последнее соотношение является математическим выражением закона Кирхгофа, согласно которому отношение лучеиспускательной способности тел к их поглощательной способности для всех тел одинаково, равно лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре и зависит только от температуры.

В результате подстановки значений E и E₀ из равенств (7.44) и (7.45) в соотношение (7.47) получаем

. (7.48)

Рисунок 7.9 – К формулировке закона Ламберта

Так как , то , т.е. способность тела к поглощению излучения численно равна степени его черноты. Учитывая, что e и A изменяются в пределах от 0 до 1, из равенства (7.47) следует, что лучеиспускательная способность реального тела всегда меньше лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.

Закон Ламбертаопределяет изменение интенсивности излучения по различным направлениям. Согласно этому закону излучение энергии элементом поверхности в направлении элемента (рис. 7.9) пропорционально излучению dQ (по направлению нормали к ), телесному углу dψ (под которым виден элемент из элемента ) и косинусу угла φ, образованного прямой, соединяющей элементы и , и нормалью к элементу .

При этом лучеиспускательная способность в направлении нормали в p раз меньше полной лучеиспускательной способности тела.

Таким образом, количество энергии, излучаемой элементом в направлении элемента :

. (7.49)