Нетривиальное решение систем линейных уравнений

Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений

Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.

Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Найдем ранг матрицы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂, значит, неизвестные x₁,x₂ – зависимые (базисные), а x₃,x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
22x₂ = 14x₄ — x₃ — 24x₅
6x₁ + 2x₂ = — 2x₄ — 11x₃ — 6x₅
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂ через свободные x₃,x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₂ = 0.64x₄ — 0.0455x₃ — 1.09x₅
x₁ = — 0.55x₄ — 1.82x₃ — 0.64x₅
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x₃,x₄,x₅ значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x₁,x₂.
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Решение

Задача . Найти общее решение системы. Проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства). Решение Пример 3
Пример 4

Нетривиальное решение систем линейных уравнений

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрица системы:

.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e₁ , e₂ , . e_n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, . n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

где c₁ , c₂ , . c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Нетривиальное решение систем линейных уравнений

Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку она всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные решения.

Теорема 1 . Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: r ( A )= r n .

Справедливо следующее утверждение: линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.

Максимальная линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений содержит ( n — r ) векторов. Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений нужно:

1) r базисных переменных выразить через свободные переменные;

2) выбрать линейно независимую систему ( n — r ) векторов ( n — r )-мерного пространства (например, это могут быть единичные векторы);

3) поочередно заменить свободные переменные координатами векторов выбранной системы и вычислить значения базисных переменных.

Полученные решения , , …, образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

,

где — произвольные числа.