Неявную функцию заданную уравнением записать в параметрической форме

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

• Различать неявно и параметрически указанные функции 1. Дифференциация неявных функций Если функция задана уравнением y = / (π), решенным для 2 /, функция задана в явном виде (явная функция). Неявное определение функции означает определение функции в форме F (x; y) = 0. Это не решено в отношении y. Явно определенная функция y = f (x) неявно задается выражением f (x) -y = 0, но не наоборот.

• Решение уравнения y не всегда легко, а иногда и невозможно (например, y -f 2x + cozy-1 = 0 или 2U-x + y = 0). Если неявная функция задается уравнением F (x \ y) = 0, нет необходимости решать уравнение для y.

Чтобы найти производную y по x: x рассматривается как функция от x и x y ‘. Людмила Фирмаль

Производная неявной функции представлена ​​аргументом x и функцией y. Пример: Найти производную функции y, заданной выражением xg + yy-3hu = 0. (1) ♦ Функция u указана неявно. Чтобы различить, х есть уравнение (1). 3×2 + 3 • y’2 • y ‘-3 (1 • y + x • y’) = 0 2 y’2y ‘-xy’ = y-x2, т.е. y ‘= x-t у-х

Примеры решения, формулы и задачи

• Дифференциация определенных функций параметрический Дает зависимость между аргументом x и функцией y параметрически в виде двух уравнений. х = х (т), у = у (т), Где t вспомогательная переменная, называемая параметром. Предполагая, что функция (2) имеет производную, а функция x = x (t) имеет обратную t = y (x), найдите производную y’x.

По правилам Обратное дифференцирование функций = (H) Функция y = f (x) 1, определенная параметрическим уравнением (2), может рассматриваться как комплексная функция y = y (t). Где t =
. ♦ х \ -312, у [= 21. Так что y’x = -J, то есть = ♦ Теперь вы можете подтвердить это, найдя зависимость y от x напрямую. На самом деле, t = Yx. Тогда у = Так здорово =

Пример: пусть разместить 2 3 Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Производные функций, заданных неявно и параметрически.

Пусть функции х = j(t) и у = y(t) определены и дифференцируемы на некотором множестве Т и пусть j(t) имеет дифференцируемую обратную функцию t = j –1 (x) . Тогда функция у = y(j –1 (x)) есть сложная функция, которая может быть задана параметрически , tÎ Т. Найдем производную этой функции. Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций, имеем

у¢_х = (y(j –1 (x)))¢ = ,

т.е. производная функции равна

. (2)

Например, для функции , используя формулу (2), получим

Если же записать функцию у как функцию от х: Þ у = х 6 , то получим у¢ = 6х 5 = – тот же результат.

Найдем вторую производную функции , предполагая, что она существует. Первую производную у¢_х этой функции можно задать параметрически уравнениями . Применяя к этой функции правило (2), находим

.

Аналогично можно найти третью производную

, и т.д.

Рассмотрим неявно заданную функцию у переменной х: F(x, y) = 0

Правило дифференцирования неявной функции таково:

1) Продифференцировать обе части равенства F(x, y) = 0 по х, пользуясь основными правилами и формулами дифференцирования, но помня при этом, что у есть функция от х: у = у(х) с неизвестной производной (т.е. везде, где происходит дифференцирование у, обязательно умножать на у¢ как при дифференцировании сложной функции).

2) Из полученного равенства выразить у¢ через х и у.

Пример: Найдем производную функции у, заданной неявно уравнением

Действуем по изложенному правилу:

.

Заметим, что производная неявной функции обычно также есть функция неявная.

4. Дифференциал функции, его приложения.

Согласно определению 4.2, функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение Dу в этой точке представимо в виде

где А – константа, причем из теоремы 4.2 следует, что А = f ¢(x₀). Таким образом, приращение дифференцируемой функции может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которых – f ¢(x₀).Dх – линейно относительно приращения Dх (точнее, пропорционально ему), а другое – о(Dх) – есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх. При Dх ® 0 бесконечно малые Dу и f ¢(x₀).Dх эквивалентны. Действительно

= .

Следовательно, основные свойства суммы f ¢(x₀).Dх + о(Dх) определяются свойствами первого слагаемого и эквивалентны свойствам самого приращения функции. Поэтому этому слагаемому в математике отводят особое место и называют его дифференциалом.

Определение 4.4.

Часть приращения функции у = f(x), линейная относительно приращения аргумента, называется дифференциалом этой функции и обозначается dy.

Дифференциал функции у = f(x) обозначают также df(x), df. Дифференциал зависит от точки х₀ и от величины приращения Dх. При фиксированном Dх имеем dy = f ¢(x).Dх – функция переменной х. Рассмотрим функцию у = х, используя равенство df(x) = f ¢(x).Dх, получаем dx = Dx, т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Учитывая это свойство, принято записывать

Эту формулу обычно используют для вычисления дифференциала функции в произвольной точке, в которой эта функция дифференцируема. Например,

Кроме того, в силу формулы (1), непосредственно из правил вычисления производной вытекают правила нахождения дифференциалов:

d(uv) = vdu + udv

Докажите эти формулы самостоятельно.

Из правила дифференцирования сложной функции следует замечательное свойство дифференциала – свойство инвариантности (неизменности) дифференциала: пусть у = f(j(x)), обозначим и = j(х); тогда

,

значит, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента.

Из формулы (3) следует также, что , т.е. используемое нами выражение можно понимать не только как обозначение производной, но и как отношение дифференциалов зависимой и независимой переменных.

Определим геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции у = f(x). Возьмем на этом графике точку А(х₀ ; f(x₀)) и проведем в ней касательную к графику функции (рис. 1).

Имеем dy = f ¢(x₀).Dх. Учитывая геометрический смысл производной, получаем , откуда dy = tga.Dх.

Таким образом, dy = CB, т.е. приращению касательной в точке х₀. Итак, с геометрической точки зрения, дифференциал функции характери­зует приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.

эту формулу можно использовать для приближенного вычисления значения функции в некоторой точке х по известному (или легко вычисляемому) значению функции и ее производной в соседней точке х₀.

Заменим в формуле (4) Dх = х – х₀, получим

называют формулой линеаризации функции в окрестности точки х₀.

Замена функции приближенно равной ей линейной функцией называется линеаризацией функции или линейной аппроксимацией.

Например, линеаризуем функцию f(x) = ln( ) в окрестности точки х₀ = 0. Вычислим:

f(0) = ln e = 1, f ¢(0) = = 1.

Тогда вблизи точки 0 выполняется равенство f(x) » 1+ х.

Геометрически линеаризация функции означает, что в окрестности точки графика с абсциссой х₀ линия графика заменяется отрезком прямой, которая, очевидно, является касательной к графику функции в соответствующей точке. Уравнение этой касательной имеет вид

Прямая, проходящая через точку (х₀, f(x₀))перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии у = f(x) в этой точке. Уравнение нормали имеет вид

у = f(x₀) – (х – х₀).

Аналогично тому, как были определены производные высших порядков, можно ввести понятие дифференциалов высших порядков:

Отметим формулы, с помощью которых эти дифференциалы можно вычислять:

дифференциал второго порядка d 2 y = f¢¢ (x)dx 2 , где dx 2 = (dx) 2 ;

дифференциал третьего порядка d 3 y = f¢¢¢ (x)dx 3 , и т.д.

Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=f(х), разрешенным относительно у, — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемКирилл Доможиров

Похожие презентации

Презентация на тему: » Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=f(х), разрешенным относительно у,» — Транскрипт:

1 Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=f(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде ( явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0,не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у=f(х) можно записать как неявно заданную уравнением f(х)-у=0, но не наоборот. Не всегда легко,а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например у+2х+cosy-1=0 или 2 у -х+у=0). Если функция задана неявно, то для нахождения производной от у по х нет необходимости рахрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х,рассматривая при этом у как функцию х,и полученное затем уравнение разрешить относительно.

2 Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у. Пример: Найти производную функции у, заданную уравнением Решение : Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство Из полученного соотношения :

3 Функция,заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений (1) Где t- вспомогательная переменная,называемая параметром. Функцию у=f(х), определяюмую параметрическими уравнениями(1), можно рассматривать как сложную функцию у=у(t), где. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:. Где Получаем:

4 Полученная формула позволяет находить производную От функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х. Пример: Пусть Найти. Решение: Имеем Следовательно, т.е. В этом можно убедиться,найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно, Тогда Отсюда, Т.е.

5 Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать.А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. Пример: Найти производную функции Решение:Можно найти с помощью правил и формул дифференцирования.Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию: Дифференцируем это равенство по х:

6 Выражаем : Т.е Существуют функции,производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием.К их числу относится так называемая степенно-показательная функция. Где u=u(x) и v=v(x) –заданные дифференцируемые функции от х.Найдем производную этой функции: Логарифмируем : Дифференцируем:

7 Выражаем : Т.е.: Или (*) Правило :Производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u=соnst,и производной степенной функции,при условии v=const/

8 Пример: Найти производную функции Логарифмируем: Дифференцируем:

9 Подставляем в полученное равенство Получим: