Неявные функции, определяемые одним уравнением
Неявные функции, определяемые одним уравнением
Неявные функции, определяемые одним уравнением. Найдем условия, при которых 1 уравнение с несколькими переменными определяет уникальную функцию. Начните с изучения уравнения, содержащего 2 неизвестных. Р(х, г)= 0. Если функция 2 переменных P(x, y) задана в подмножествах a плоскости K1Y, A и H1Y, а функция 1 переменной y = [(x) существует и определяется множеством B и Kx, содержащимся в проекции на ось Ox множества A, то (x, f (x) e A формируется на всех geB, если= 0 имеет место, то f называется неявной функцией, определяемой уравнением P (X, Y)= 0. 41.1.Неявные функции, определенные в одном уравнении 29 декабря.
То есть, одна из этих переменных определяется как другие функции. Людмила Фирмаль
- Лемма. Сделайте функцию P (x, y) смежной в окрестности прямоугольника о, ВА)= <<Х, Y).\ х-х0 \ 1, / г-версия v0 | Н>* Точек (n ’ 0, y0) и каждый фиксированный x =(x0-+ Он строго монотонен с y в интервале (y-R\, y0 + m].Следующий П(Хо, УО)= 0、 Тогда окрестности точек x0 и I ((x0)=(x0-δ, x0-φb)) (y0)=(y-E, yy-*-d) каждого xe (/(A ’0) кроме того, существует единственное решение уравнения (y0 Р(х, г)=0.Это решение является функцией x, обозначаемой y = f( x), и непрерывно в x0、 [(х0)= гИтак, в Лемме, в частности, при сделанных предположениях имеется неявная функция y = f (x), определяемая уравнением P (x, y)= 0, условием X e 6 /(x0).!/ е (/(у0) Р(Х, Y)= 0 и Y = F(х) Это эквивалентно. Proof. By условие леммы, функция P (x,. x) каждого фиксированного xe (x0-x0+») .. строго монотонно По переменной y в интервале (y0 -,, y0 + l).
В частности, функция P(x0, y) строго monotonic. To будьте ясны, давайте увеличим строго. Выберите любой e 0, который следует только условию 0 e c. Поскольку функция P (x (), y) переменной y строго увеличивается на интервал[r / 0-e, y0-fe], а гипотеза P (x0, y0)= 0、 П(х0, У0-е) 0,р(х0,У0 + к) 0 Однако функция 2 переменных P (x, y) является, по предположению, открытым множеством V (x0, y0) и (xn, y0-e) e (/(x0, yo), (x0, y°D) e (Y (xn, y0); таким образом, в окрестности точки (x0, yn-e) находится неравенство P (x0, y-E) и окрестности точки B (x0, y) образуется B (x0, y) 0. + e) неравенство p (x, y) 0 (см. лемму 19.3 подраздела 1). в частности, все x€=(xo-b, x0 + b) (рис. 150), неравенство Р(х, е-б).0, р (х, е + е) 0.(41.1) Поставь б /(хо)=(хо-б, Хо-| Б), В (Е)^(е-е е » б е).
- Согласно принятой в курсе нотации, окрестность точки (x0, ya) равна 11 ((l), а не 11 (x0, y0)., Y0)) является более точным. Для простоты, 2-я скобка опущена. $ 41.Неявная функция В случае фиксированного xe (f(x0), функция P (x, y) переменной y непрерывна в интервале[r / 0-e, p0 + e]из условия (41.1), согласно теореме Коши промежуточного значения. В функции рывка (см. теорему§ 6.2) будет y * eY (yp (см. Рисунок 6. 150), где P (x, y*) = 0. Монотонность приведенной выше функции P (x, y) Для интервала[r / 0-e, p0 + e] относительно переменной y указанный y * уникален. Таким образом, вы получаете соответствие 1-к-1 (функция 1-к-1): xn-y *, xe (/(x0) (r / 0), это представлено символом/. г * = F(х).
По определению этого соответствия, для xeY (x0) и y * [(x)、 П(х, г*) = 0,г * = 1!(Y0), и точка y *с этим свойством уникальна. Кроме того, гипотезы лемм P (x0, yp = 0, и x0e1 /(x0),| / 0e (Y(y0)).таким образом, единственность функции/дает нам p0 = f (x0). Наконец, обратите внимание, что E0 произвольно фиксируется с C в качестве условия, и для него найдено B0. x это x01. b (условие xeY(x0)) это включение f (x) e [/(yp, т. е. неравенство| /(x)-/(x0)| C e. это означает непрерывность функции / точки x0 с 0 Достаточное условие приложения для однозначной сольватации уравнения P (x, y)= 0 в окрестности точки, где P (x0, y0)= 0, задается следующей теоремой.
Таким образом, доказано существование и единственность искомой функции. Людмила Фирмаль
- Теорема I. пусть функция P (x, y) непрерывна в окрестности точки (x0, y°) и имеет частные производные Py (x, y) в этой окрестности и непрерывна в точке (x0, y°). П (Хо, УО) −0, ру (Хо, йо) Φ0、 Тогда существует окрестность V (x0) и V (y0) точек x0 и y0, и для каждого x = 0 (x0) существует единственное решение y = f (x) e I!(Y0)= 0 *K уравнения P (x, y).Это решение непрерывно везде в V (xφ и p0 = f(*) Далее предполагается, что функция имеет имеет частную производную в окрестности точки (x0, y0) * ’В этом случае они также говорят, что уравнение P (x, y)= 0 однозначно разрешимо в окрестности I! (х0, У0)= <(Х, Y). хеаС ’ (х0), уеу (У0)>точка (*оуо)41.1.Неявные функции, определенные в одном уравнении.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Производная функции, заданной неявно
Производная первого порядка
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2) .
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017
Неявные функции
Неявные функции, определяемые одним уравнением.
Пусть функция \(F(x,y)\) определена в \(R^2\). Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$
Множество \(G_F\) точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref
Так, график уравнения \(x^2 + y^2 — 1 = 0\) есть окружность, график уравнения \((x-1)(x+y-1)=0\) есть пара прямых \(x = 1\) и \(x+y-1=0\) (рис. 28.1).
Рис. 28.1
Если график \(G_F\) уравнения \eqref
Но, как правило, график уравнения \eqref
Меняя местами переменные \(x\) и \(y\), можно говорить о том, что уравнение \eqref
Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref
- функция \(F(x,y)\) имеет в окрестности точки \((x_0,y_0)\) непрерывные частные производные \(F_x(x,y)\) и \(F_y(x,y)\);
- \(F(x_0,y_0)=0\);
- \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\).
Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\). Функция \(y=f(x)\) непрерывно дифференцируема на интервале \((x_0-a,x_0+a)\) и
$$
f'(x)=-\frac
$$
\(\circ\) Разобьем доказательство на два пункта.
Доказательство существования неявной функции. Из условия \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\) следует, что либо \(F_y(x_0,y_0) > 0\), либо \(F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0\).
Так как функция \(F_y(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) непрерывна и в силу условия \eqref
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция \(F_y(x,y) > 0\).
Рис. 28.3
Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция \(\psi (y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\), так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия \(F(x_0,y_0)=0\)
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).
Возьмем любую точку \(x^*\in [x_0-a,x_0+a]\) и рассмотрим непрерывную на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) функцию одной переменной \(\varphi (y)=F(x^*,y)\). В силу условия \eqref
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка \(y^*\in [y_0-b,y_0+b]\), что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$
Так как \(\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0\), то функция \(\varphi(y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.
Таким образом, для любого \(x\in [x_0-a,x_0+a]\) найдется единственный \(y\in [y_0-b,y_0+b]\) такой, что \(F(x,y) = 0\). Это означает, что в прямоугольнике \(K\) уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).
Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике \(K\) функция \(F_y(x,y)\) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение \(\alpha\). Так как \(F_y(x,y) > 0\) на \(K\), то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$
Непрерывная на \(K\) функция \(F_x(x,y)\) ограничена на \(K\). Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.
Если известно, что уравнение \(F(x,y)=0\) определяет в прямоугольнике \(a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d\) переменную \(y\) как неявную функцию \(x\), то связь между \(dy\) и \(dx\) можно установить, формально дифференцируя тождество \(F(x,y(x)) = 0\). Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал \(d^2y\)
$$
F_
$$
Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Рассмотрим систему \(m\) уравнений с \(n+m\) неизвестными
$$
\left\<\begin
$$
При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если \(A\) и \(B\) — произвольные множества, то их декартово произведение \(A\times B\) есть множество пар \((x,y)\), где \(x\in A\), \(y\in B\). Так, декартово произведение \([a,b]\times [c,d]\) есть множество пар вещественных чисел таких, что \(a\leq x\leq b,\) и \(c\leq y\leq d\), то есть прямоугольник в \(R^2\).
Клеточной окрестностью точки \(x^0 =(x_1^0,\ldots,x_n^0)\) будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\
$$
где \(\varepsilon_i, \; i =\overline<1,n>\) — положительные числа, \(x = (x_1,…,x_n)\).
Легко видеть, что в том случае, когда \(K_1(x^0)\subset R^n\) и \(K_2(y^0)\subset R^m\) — клеточные окрестности, их декартово произведение \(K_1(x^0)\times K_2(y^0)\) есть клеточная окрестность точки \((x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0\) в пространстве \(R^
Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая \(x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)\), где \(y_1=x_
Тогда систему уравнений \eqref
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$
Функции \(F_i(x,y) = 0\) будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки \((x^0,y^0)\).
Пусть \(K(x^0)\subset R^n\) и \(Q(y_0)\subset R^m\) есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений \(F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>\), определяет в \(K(x^0)\times Q(y_0)\) переменные \(y_1,…,y_m\) как неявные функции переменных \(x_1,…,x_n\), если для любого \(x\in K(x^0)\) найдется единственный \(y\in Q(y^0)\) такой, что \(F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>\).
Пусть выполнены следующие условия:
Тогда найдутся клеточные окрестности \(K(x^0) \subset R^n\) и \(Q(y^0) \subset R^m\) такие, что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref
\(\circ\) Воспользуемся методом индукции по числу уравнений \(m\). При \(m=1\) доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).
Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref
Так как определитель \eqref
$$
<\begin
$$
(Здесь и в дальнейшем символ \(0\) означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом \(0\)).
Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\begin
Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.
Локальная обратимость регулярного отображения.
Пусть на множестве \(E\subset R^n\) заданы \(n\) функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$
Они задают отображение \(f: \; E\rightarrow R^n\), которое каждой точке \(x\in E\) ставит в соответствие точку \(y=f(x)\), где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$
Точка \(y=f(x)\) называется образом точки \(x\) при отображении \(f\). Точка \(x\) называется прообразом точки \(y\).
Если \(\Omega\subset E\), то множество
$$
f(\Omega)=\
$$
называется образом множества \(\Omega\) при отображении \(f\). Если \(\omega\subset f(E)\), то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\
$$
называется прообразом множества \(\omega\).
Пусть \(G \subset R^n\) есть открытое множество. Отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) называется непрерывным в точке \(x^0\), если \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0\) такое, что \(\forall x\) таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.
Если \(G\) есть открытое множество, а \(f: \; G\rightarrow R^n\) — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества \(\omega\in f(G)\) есть открытое множество.
\(\circ\) Пусть \(\Omega= f^<-1>(\omega)\). Возьмем любую точку \(x^0\in\Omega\). Тогда \(f(x^0)=y^0\in \omega\). Так как множество \(\omega\) открыто, то найдется окрестность \(S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega\). В силу непрерывности отображения \(f\) в точке \(x^0\) найдется шаровая окрестность \(S_<\delta>(x^0)\), для которой выполнено условие \eqref
Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и \(\Omega\) — открытое множество. \(\bullet\)
Как обычно, под окрестностью \(A(x^0)\) точки \(x^0\) будем понимать любое множество \(A\), для которого точка \(x^0\) внутренняя.
Пусть \(G \subset R^n\) — открытое множество. Отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции \(f_1(x),…,f_n(x)\), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в \(G\). Непрерывно дифференцируемое отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) будем называть регулярным, если в области \(G\) якобиан отображения \(j_f(x)\neq 0\). Якобианом отображения \(j_f(x)\) называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin
$$
Пусть \(G\) — открытое множество в \(R^n\), а отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) регулярно. Тогда в каждой точке \(x^0\in G\) оно локально регулярно обратимо, то есть \(\forall x^0\in G\) найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset G\) и \(B(y^0)\subset f(G)\), где \(y^0= f(x^0)\), что отображение \(f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) будет взаимно однозначным, причем обратное отображение \(f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)\) регулярно.
\(\circ\) Рассмотрим в \(G\times R^n\) систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$
Пусть \(x^0\) — произвольная точка множества G и \(y^0=f(x^0)\). Тогда функции \(F_i(x,y)\) непрерывно дифференцируемы в \(G\times R^n\) и \(y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>\). Так как отображение \(f\) регулярно, то Если \(f: \; G\rightarrow R^n\) есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества \(\Omega\subset G\) есть открытое множество. \(\circ\) Пусть \(\omega=f(\Omega)\). Возьмем произвольную точку \(y^0\in\omega\) и пусть \(x^0\) есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset \Omega\) и \(B(y^0) \subset \omega\); что отображение \(f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка \(y^0\in\omega\) принадлежит \(\omega\) вместе с некоторой окрестностью \(B(y^0)\). Множество \(\omega=f(\Omega)\) открыто. \(\bullet\) http://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/neyavnoy-funktsii/ http://univerlib.com/mathematical_analysis/functions_several_variables/implicit_functions/
$$
<\begin
$$
Для системы уравнений \eqref
$$
\begin
$$
что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref
$$
\begin
$$
Пусть \(B(y^0)\) есть внутренность \(Q(y^0)\):
$$
B(y^0) = \left\