Неявные методы решения дифференциальных уравнений
1. Неявные методы
Методы численного решения ОДУ, с которыми мы познакомились в первом разделе этого курса (метод Эйлера, метод средней точки и т. п.), называются «явными» методами. Однако иногда система ОДУ может стать «жесткой», а решать такие системы явными методами неудобно. В этом случае желательно изменить формулировку задачи так, что не пришлось иметь дело с жесткой системой. Но это не всегда возможно, поэтому вы должны уметь решать жесткие ОДУ. Для этого, как правило, используют методы решения, которые называются «неявными».
2. Пример жесткого ОДУ
Во-первых, в чем смысл и причина появления жестких уравнений? Давайте рассмотрим пример, который часто возникает в динамике. Предположим, что у нас есть частица, с координатами \((x(t),y(t))\) , и предположим, что мы хотим, чтобы ее \(y\) -координата всегда оставалась равной нулю. Один из способов добиться этого — добавить слагаемое \(-ky(t)\) , к производной \(\dot
(Кроме того, мы предполагаем, что частица не запускается из \(y_0=0\) ). В результате частица будет сильно притягиваться к прямой \(y = 0\) , и менее сильно — к \(x = 0\) . Если решать ОДУ на достаточно продолжительном интервале времени, то частица рано или поздно попадет в точку \((0, 0)\) и останется в ней.
Теперь предположим, что для решения уравнения мы используем метод Эйлера. Если сделать шаг размера \(h\) , то получим
Если мы посмотрим на \(у\) -компоненту этого уравнения, то увидим, что при \(|1-hk|>1\) , вычисленное нами \(y_
Теперь, если \(k\) – большое число, мы вынуждены делать очень маленькие шаги. Это означает, что частица будет двигаться к \((0,0)\) мучительно медленно. Даже если взять \(y_0\) очень близким к нулю, то придется делать настолько маленькие шаги, что изменение \(x\) -координаты будет практически незаметно. Вот так выглядит жесткое ОДУ. В данном случае жесткость возникает из-за слишком большого \(k\) , призванного удержать частицу возле прямой \(у = 0\) . Позже, когда мы будем рассматривать частицы, соединенные пружинами, мы увидим то же самое явление: от жесткости пружины и происходит термин «жесткое» ОДУ. Даже если мы используем более совершенный численный метод, такой как метод Рунге-Кутта 4-го порядка, это лишь слегка улучшит ситуацию с выбором величины шага, но мы все равно будем иметь серьезные вычислительные проблемы.
Теперь, как мы уже говорили выше, нужно попытаться переформулировать свою задачу так, чтобы избежать появления жесткого ОДУ. Если же это не получится, то нужно использовать неявный метод решения ОДУ. Метод, который мы покажем ниже, является самым простым из неявных методов. Он основан на том, что шаг обычного метода Эйлера выполняется «наоборот».
3. Решение жесткого ОДУ
Пусть дано дифференциальное уравнение
Формула явного метода Эйлера
продвигает систему вперед на шаг \(h\) во времени. Для жестких систем, однако, удобнее заменить эту формулу на следующую
То есть, нам нужно вычислить \(f\) в точке, в которую мы стремимся попасть ( \(\textbf
Чтобы справиться с этим, заменим \(f (\textbf
Теперь заменим \(f(\textbf
(Заметим, что поскольку \(f(\textbf
Разделим обе части последнего соотношения на \(h\) и перепишем результат в виде
где \(I\) — единичная матрица.
Разрешая это соотношение относительно \(\Delta\textbf
Вычисление \(\textbf
Применим теперь неявный метод для решения уравнения \eqref
Дифференцирование по \(\textbf
Тогда матрица \((1/h)\textbf — f^<\prime>(\textbf
Обращая эту матрицу и умножая на \(f(\textbf
Какова же предельная длина шага в этом случае? Ответ: нет предела! Если позволить \(h\) расти до бесконечности, мы получаем следующее
Это означает, что мы достигнем \(\textbf
4. Решение уравнений второго порядка
Большинство задач динамики записывается в виде ДУ 2-го порядка
Это уравнение легко преобразуется систему ДУ 1-го порядка, добавлением новых переменных. Если мы определим \(\textbf
что представляет собой систему ДУ 1-го порядка. Однако, применяя обратный (неявный) метод Эйлера к уравнению \eqref
Система \(n \times n\) , которая должна быть решена, получается следующим образом. Введем для краткости следующие обозначения \(\textbf
Применяя к \(f\) разложение в ряд Тейлора, которое в данном контексте является функцией и \(\textbf
В этом уравнении, производная \(\partial f / \partial\textbf
Подставив во вторую строку последнего равенства соотношение \(\Delta\textbf
Вводя единичную матрицу \(I\) и перегруппировав члены, получим соотношение
из которого находим \(\Delta\textbf
Выше, мы предполагали, что функция \(f\) не зависит явно от времени. Если же \(f\) зависит от времени явно (например, если \(f\) описывает изменяющиеся во времени внешние силы), то в уравнение \eqref
Ссылки
- D. Baraff and A. Witkin. Large steps in cloth simulation. Computer Graphics (Proc. SIGGRAPH), 1998.
- W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes. Cambridge University Press, 1986.
Читайте также
Комментарии
Дмитрий Храмов
Компьютерное моделирование и все, что с ним связано: сбор данных, их анализ, разработка математических моделей, софт для моделирования, визуализации и оформления публикаций. Ну и за жизнь немного.
Методы явные и неявные
Дата добавления: 2015-06-12 ; просмотров: 15060 ; Нарушение авторских прав
Процесс формирования математической модели для численного интегрирования обязательно включает этап алгебраизации, который состоит в преобразовании обыкновенных дифференциальных уравнений в алгебраические. Он основан на использовании одного из методов численного интегрирования.
Если задано дифференциальное уравнение
(3.1)
и начальные условия , то очередное значение может быть получено интегрированием (3.1):
(3.2)
Определенный интеграл в (3.2) численно равен площади под кривой на интервале (рис. 3.2).
Приближенно эта площадь может быть вычислена как площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции на левой границе интервала или значению на правой границе интервала. Очевидно, площади обоих прямоугольников, ограниченных сверху отрезками 1 и 2 на рис. 3.3, будут тем ближе к точному значению интеграла, чем меньше шаг интегрирования .
Подставив в (3.2) приближенные значения интеграла, можно получить две формулы:
(3.3)
. (3.4)
Выражение (3.3) представляет собой формулу явного метода Эйлера. Называется метод явным потому, что неизвестное значение может быть непосредственно вычислено по известному значению в предыдущей точке.
Формула (3.4) соответствует неявному методу Эйлера. Здесь в правой части выражения используется неизвестное значение , поэтому вычислить его непосредственно по этой формуле нельзя.
Более точное значение интеграла (3.2) дает метод трапеций, которому соответствует отрезок 3 на рис. 3.3. Тогда
. (3.5)
Эта формула относится, очевидно, тоже к неявным.
Для явных методов процедура формирования модели для численного интегрирования ограничивается алгебраизацией исходных дифференциальных уравнений. В частности, формула (3.3) не требует дальнейших преобразований и готова для применения.
Для неявных методов дальнейшие действия зависят от того, какой метод решения системы нелинейных уравнений реализован в данном пакете. Одним из вариантов может быть использование итерационного метода Ньютона, который, как известно, обладает наибольшей скоростью сходимости среди практически применяемых методов, и в котором многократно решается система линеаризованных алгебраических уравнений.
В этом случае реализуется второй этап подготовки математических моделей для неявных методов, который состоит в линеаризации нелинейных алгебраических уравнений, т.е. в разложении нелинейных функций в ряд Тэйлора и сохранении в результате только линейных членов.
Пусть задано нелинейное алгебраическое уравнение
(3.6)
где – вектор переменных.
Разложение (3.6) в ряд Тэйлора с сохранением только линейных членов дает приближенную замену
(3.7)
где –начальное приближение, в качестве которого берутся значения переменных на предыдущем шаге интегрирования;
– неизвестное значение переменной на шаге интегрирования.
Выражение (3.7) может быть записано как линейное алгебраическое уравнение
,(3.8)
где – вычисляется для известных значений переменных на предыдущем шаге интегрирования;
Таким образом, процесс численного моделирования в общем случае нелинейных систем неявными методами состоит в формировании и решении на каждом шаге интегрирования системы линейных алгебраических уравнений
, (3.9)
которая включает компонентные и топологические уравнения моделируемой схемы. При этом, процедурам алгебраизации и линеаризации подвергаются только компонентные уравнения, так как топологические уравнения всегда линейные алгебраические.
Рассмотрим пример связанный с подготовкой модели для численного решения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка
Первым шагом является сведение данного уравнения к задаче Коши, т.е. к системе уравнений первого порядка за счет введения новой переменной :
Явные формулы метода Эйлера имеют вид
Неявные формулы запишутся следующим образом:
Для перехода к матричной записи выполним ряд преобразований:
Здесь ,
Матричная запись имеет вид
.
Формулу (3.7), вообще говоря, необходимо применять итерационно. Решение этого уравнения, найденное для заданного начального приближения , следует использовать в качестве очередного приближения в (3.7) и повторять формирование и решение линейного алгебраического уравнения до тех пор, пока два последовательных приближения не станут близкими с заданной точностью. При численном моделировании можно ограничиться только одной итерацией, выбирая достаточно малый шаг интегрирования и учитывая, что при этом значения переменных на предыдущем шаге являются достаточно хорошим приближением.
3.2.3. Выбор между явными и неявными методами
в процедурах моделирования технических систем
Выбор между явными и неявными методами представляет серьезную проблему. Многие специалисты считают неявные методы более мощным и универсальным инструментом для решения задач моделирования технических систем [23, 15]. Следует, однако, заметить, что лишь недавно появились достаточно мощные и универсальные системы автоматизированного моделирования, такие, как, например, MATLAB или МВТУ [17], допускающие выбор явного или неявного метода решения задачи. Раньше использовались либо явные, либо неявные методы, так как это требовало разных компонентных моделей.
В современных перспективных системах автоматизированного моделирования, пригодных для моделирования технических систем, применяются, как правило, неявные методы численного интегрирования. Неявные методы лучше приспособлены для решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, к тому же они более устойчивы. В результате, несмотря на большие затраты машинного времени на каждом шаге интегрирования, связанные с необходимостью решения СЛАУ, общие затраты могут быть значительно меньше за счет увеличения шага интегрирования и уменьшения общего количества шагов.
Рассмотрим эту особенность неявных методов на примере явного и неявного методов Эйлера [21], определяемых формулами (3.3) и (3.4), соответственно.
Применим указанные формулы для численного интегрирования простейшего линейного дифференциального уравнения
.
Характеристическое уравнение данной динамической системы имеет вид
, или ,
где – постоянная времени системы.
Единственный полюс системы находится в левой полуплоскости, следовательно, исходная система устойчива. Соответственно, любое решение уравнения, при , стремится к нулю.
Разностное уравнение, соответствующее численному решению явным методом Эйлера, запишется как
.
Известно, что условием устойчивости полученного разностного уравнения является
или .
Это означает, что выбор может качественно изменить вид решения, превратив устойчивый процесс в неустойчивый.
Таким образом, на шаг интегрирования наложено очевидное ограничение – он не может быть больше постоянной времени системы, иначе дискретная аппроксимация станет неустойчивой. Если система имеет несколько постоянных времени, то подобное ограничение связывает шаг интегрирования с самой маленькой постоянной времени.
Переход к методам более высокого порядка мало меняет картину. Для метода Рунге – Кутты 4-го порядка требование устойчивости ограничивает шаг величиной , или, в более общем виде, , где – максимальное собственное значение матрицы Якоби [29].
Применение неявного метода Эйлера к той же системе дает
,
где ограничение на величину шага выглядит по-другому:
,
что позволяет выбрать шаг любой величины, ориентируясь только на требуемый уровень погрешности.
Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
Название: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа Добавлен 07:21:59 15 июня 2010 Похожие работы Просмотров: 722 Комментариев: 22 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать |