Неявных решение уравнения фильтрации для двухмерных плата

Б ЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Российский научный центр «Курчатовский институт»

На правах рукописи

Расторгуев Иван Александрович

Решение задач фильтрации устойчивыми явными

05.13.11- Математическое и программное обеспечение вычислительных машин,

комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Российском научном центре «Курчатовский институт»

доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель:

Лебедев Вячеслав Иванович доктор технических наук, профессор Алексеев Владимир Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гуревич Михаил Исаевич

Ведущая организация Казанский Государственный университет

Защита диссертации состоится _ 2006 г. в ч. _мин.

на заседании диссертационного совета Д 520.009.04 в Российском научном центре «Курчатовский институт» по адресу 123182, г. Москва, пл. Курчатова, д.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт»

Автореферат разослан _ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук Г.В. Яковлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Задачи фильтрации в пористых средах имеют практическое значение для исследований, связанных с:

• защитой окружающей среды (прогнозы распространения загрязнения);

• гидротехникой (фильтрация вблизи плотин, водохранилищ и других гидротехнических сооружений);

• гражданским строительством (дренаж фундаментов и подвалов зданий);

• сельским хозяйством (ирригация и дренаж сельскохозяйственных полей) • водоснабжением и нефтегазодобычей.

В каждой из указанных выше областей применения задач фильтрации существует практическая потребность в численных методах, позволяющих решить задачи многомерной линейной (напорной) и нелинейной (безнапорной или ненасыщенной) фильтрации. В сегодняшней практике для численного решения фильтрационных задач, как правило, используются методы, основанные на неявном способе аппроксимации производной по времени. Неявные методы в случае линейной задачи не имеют ограничений на временной шаг, однако, при решении нелинейных задач они требуют и итераций для уточнения нелинейных параметров, и уменьшения размера для временного шага.

специальных явных разностных схем, которые не требуют итераций, не имеют ограничений, связанных с шагом по времени, знаком нелинейного оператора, и имеют преимущества перед неявными методами при решении «жестких»1 задач. Подобными достоинствами обладает «солвер», предложенный В.И.Лебедевым — DUMKA, который обладает следующими свойствами:

• использует явный способ записи дифференциального оператора;

• в нем задействован механизм выбора переменных шагов по времени, основанный на Т — последовательностях полиномов Чебышева;

• применительно к нелинейным задачам, метод не использует итераций и в связи с этим требует меньше временных затрат для расчетов.

Постановка условия жестких задач дана в книге В.И.Лебедева «Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва. Физматлит 2000»

Цели и задачи работы Целью данной работы является анализ эффективности, тестирование и программная реализация явного метода DUMKA для решения задач фильтрации. Для достижения цели диссертации рассмотрены решения нелинейных задач фильтрации, для которых метод DUMKA наиболее перспективен:

• численная одномерная и двумерная модели экспресс-налива в скважину; [4, 10];

• обратная задача по определению параметров водоносного горизонта, основанная на модели экспресс-налива (реализованная автором в виде графического интерфейса, программа SLUG) [4, 5];

• численная одномерная и двумерная модели налива (откачки) в скважину с учетом эффектов инерции [10, 12];

• одномерная и двумерная модели насыщенной-ненасыщенной фильтрации • двумерная модель капиллярного барьера [3].

Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Метод решения обратной задачи по определению параметров водоносного горизонта, реализованной в виде программы SLUG.

2. Численная двумерная модель налива (откачки) в скважину с учетом эффектов инерции.

3. Двумерная модель капиллярного барьера.

Методы исследования Основаны на базовых положениях теории экстремальных многочленов, наименее отклоняющихся от нуля; теории операторно-разностных схем; теории итерационных методов; численном моделировании с привлечением анализа экспериментальных материалов.

Научная новизна На основе проведенных численных расчетов моделирования фильтрации жидкости в насыщенной-ненасыщенной области с использованием явного метода DUMKA создана оптимальная, с точки зрения временных затрат на вычисления, программа для моделирования капиллярного барьера.

Предложен новый подход и методика интерпретации экспериментальных данных эксперимента экспресс-налив.

Выведены дифференциальные уравнения, на основе которых создана численная модель, описывающая двумерный процесс взаимодействия скважина-пласт с учетом эффектов инерции.

Достоверность Представленные в диссертации результаты обоснованы теоретическим анализом, численным моделированием и были верифицированы на экспериментальных данных.

Практическая значимость Предложенная численная модель капиллярных барьеров может быть использована при проектировании хранилищ отходов. Созданная программа SLUG по определению параметров водоносных пластов может быть использована как инструмент, необходимый при проведении работ по опробованию скважин и пластов. Программа SLUG была успешно опробована на скважинах следующих объектов:

• площадка временных хранилищ радиоактивных отходов на территории РНЦ «Курчатовский институт» (результаты интерпретации приведены в диссертации);

• Обоснование дренажа взлетно-посадочной полосы в аэропорту Минеральные • для обоснования защиты подземных вод от загрязнения на военной базе на озере Ладога;

• Московский Зоопарк;

• Калининградское целлюлозно-бумажное предприятие «Цепрусс»;

• Старообрядческий комплекс (бывшая улица Войтовича, г. Москва);

• Наблюдательные и артезианские скважины на территории бывшей гостиницы «Россия», г. Москва, улица Варварка, 6.

Апробация работы Основные результаты докладывались на всероссийской молодежной научной школеконференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач»

(г. Казань, КГУ, 2001, 2003, 2004), на международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания»

(г. Обнинск, 2002), на всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти А.Ф.Сидорова (г. Новороссийск, 2002), на научно-производственной конференции «Инженерные изыскания в XXI веке» (Москва, ПНИИС, 2003), на научно-практической конференции, посвященной 70-летию ФГУП «НИИ ВОДГЕО» (Москва, ФГУП «НИИ ВОДГЕО», 2004), второй курчатовской молодежной научной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2004), на международной конференции «FEM-MODFLOW» (Чехия, Карловы Вары, 2004), на научно-производственной конференции «Урал атомный – Урал промышленный» (г. Екатеринбург, 2005), на всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г. Новороссийск, 2005), на оборудование и технологии в проектировании, строительстве и эксплуатации систем водоснабжения из подземных источников» (г. Москва, 2005), на второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод (памяти Л.С.Язвина)» (г. Звенигород. 2006), на VI всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики» (Казань, 2006).

Личный вклад автора Постановка и решение задач диссертации. Развитие современных методов численного эффективности явного метода DUMKA с неявным методом, и определен тип задач, для которых алгоритм DUMKA наиболее эффективен. Решен ряд задач – о насыщеннойненасыщенной фильтрации в одномерной и двумерной однородной и неоднородной областях, о капиллярных барьерах, о моделировании экспресс-наливов и динамики движения столба жидкости в стволе скважины с учетом инерции. Диссертантом предложен новый подход по определению параметров эксперимента экспресс-налив на основе численных методов. Этот подход была реализован в виде программы SLUG.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 7 в соавторстве. Из них 2 — статья в материалах международной конференции, 5 статей в сборниках трудов, 3 — в тезисах докладов всероссийских конференций и 2 в реферируемых журналах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Общий объем диссертации 155 страниц, в том числе 29 рисунков, 43 графиков, таблиц. Список литературы состоит из 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В настоящий момент общепринятым модельным уравнением, описывающим фильтрации в насыщенных условиях используют уравнения Буссинеска. Оба типа задач фильтрации, описываемых уравнениями Ричардса и Буссинеска, относятся к классу «жестких» задач.

исследование корректности постановок краевых задач параболического типа (типа П.Я. Полубаринова-Кочина, В.И. Лебедев, Г.И. Марчук, Н.С. Бахвалов, В.И. Агошков, Р.П. Федоренко, А.В. Лапин, Г.М. Кобельков, Ю.В. Василевский, А.А. Самарский, В.Е. Шаманский. Разработке физических основ, выводу постановок, включая моделированию уделено внимание в трудах – Я. Бэра, Б.С. Шержукова, В.С. Алексеева, Н.П. Куранова, В.М. Мироненко, В. Румынина, Р.Х. Каримова, В.М. Гаврилко, И.М. Гершановича, А.Д. Курманенко, А.Г. Тесля, Ф.М. Бочевера, Н.Н. Лапшина, А.А. Киселева, С.Ф. Григоренко, Э.А. Грикевича, В.М. Шестакова, С.О. Гриневского, А.В. Лехова, С.П. Позднякова, Р.С. Штенгелова, В. Кинзельбаха и др.

Первая глава посвящена физическому описанию процессов насыщеннойненасыщенной фильтрации, приведены уравнения состояния Ван Генухтена, БруксаКури и основное уравнение ненасыщенной фильтрации – уравнение Ричардса (уравнение параболического типа), описывающее динамику движения ненасыщенной влаги:

где C(h)=d/dh – дифференциальная влагоемкость [1/L]; h — давление, измеряемое высотой водного столба [L]; — объемное влагосодержание, равное отношению объема пор, занятого водой, ко всему объему породы [L3/L3]; K(h) – коэффициент фильтрации, [L/T]; z – вертикальная координата, предполагающая, что положительным является направление снизу вверх; t – время.

Для уравнений Брукса-Кури было использовано преобразование Кирхгофа, которое из-за вида уравнений Брукса-Кури может быть вычислено аналитическим образом. Преобразование Кирхгофа позволяет привести правую часть уравнения (1) вида ( K (h) h) к стандартному виду 2 ( (h)). Плюс этого преобразования – оно сокращает временные затраты. Минус — преобразование легко реализуется только для однородных задач.

Динамика движения жидкости при насыщенном режиме фильтрации описывается уравнением Буссинеска, которое в радиальном представлении выглядит следующим образом:

где h( r, t ) = p ( r, t ) + z -напор воды, равный сумме величин давления и вертикальной координаты от выбранной плоскости сравнения (в данном случае от подошвы (гравитационная или упругая, в зависимости от типа водоносного горизонта); t –время;

rc — радиус скважины; T(r,t) [L2/T] – гидропроводимость водоносного пласта; K [L/T] – коэффициент фильтрации; m [L] — мощность водоносного пласта (расстояние между верхним и нижним водоупорами).

В первом параграфе первой главы даны смешанные постановки для одномерной задачи насыщенной-ненасыщенной фильтрации. В следующем параграфе приводятся постановки задач насыщенной фильтрации — об экспресс-наливе, для одномерной и двумерной задачах о притоке воды к скважине с учетом эффектов инерции. Третий параграф первой главы посвящен описанию пространственной дискретизации задач насыщенной-ненасыщенной фильтрации, четвертый – описанию задач об экспрессналиве одномерной и двумерной задач с учетом инерции.

Алгоритму DUMKA отведен пятый параграф первой главы, в котором приведено краткое описание этого метода численного решения жестких задач. Описание включает в себя блочную схематизацию расчета с помощью DUMKA, интерфейс обращения к программным кодам. Приведена аналитическая формула эффективности DUMKA по сравнению с обычным явным методом Эйлера. Для обеспечения устойчивости счета в алгоритме DUMKA временные шаги связаны с параметрами многочленов Чебышева.

Оценка показывает, что превосходство алгоритма DUMKA над явным методом равно степени этих полиномов.

Во второй главе приведены результаты численных расчетов для поставленных в первой главе задач, решения которых были получены с помощью алгоритма DUMKA:

1) одномерной насыщенной фильтрации (параграф 6);

2) одномерной насыщенной-ненасыщенной фильтрации (параграф 6);

3) одномерной неоднородной ненасыщенной фильтрации (параграф 6);

4) двумерной неоднородной ненасыщенной фильтрации (параграф 6);

5) профильной насыщенной-ненасыщенной фильтрации в пласте со скважиной (для этой задачи были просчитаны разные варианты, по которым было произведено сопоставление с программой VS2D) (параграф 7);

6) о капиллярных барьерах (параграф 8);

7) об экспресс-наливе (параграф 9);

8) об одномерном взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции (параграф 9);

9) о двумерном взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции (параграф 9).

Кратко приведем описание результатов расчетов, которые были выполнены для задач №№ 2,5,6,9.

Особенность задачи №2 заключается в том, что для ненасыщенной области используется конечно-разностная постановка (1), которая решается явным методом DUMKA. В насыщенной же области коэффициент перед производной по времени в (1) C(h) равен нулю, задача становится эллиптической и решается неявным методом – методом верхней релаксации. Фронт просачивания движется, движется граница раздела насыщенной и ненасыщенной области – задача превращается в задачу с подвижной границей.

Были получены три варианта решения задачи №2: с использованием уравнений на коэффициенты Ван Генухтена, Брукса-Кури и Брукса-Кури с преобразованием Кирхгофа. Для апробации построенного численного алгоритма были также выполнены расчеты с помощью программы SWMS_2D, разработанной геологической службой США (USGS). Важно отметить следующую особенность решения задач насыщеннойненасыщенной фильтрации: вид фронта насыщения напоминает движение фронта типа «ступенька» при решении гиперболических задач.

Постановка задачи №5 (профильной насыщенной-ненасыщенной фильтрации в пласте со скважиной), приведенной в параграфе 7 второй главы была предложена автором для того, чтобы сопоставить эффективность расчетов явного алгоритма DUMKA по сравнению с неявными методами. Для сравнения была взята программа VS2D, которая использует метод неполной факторизации в качестве «солвера». Была (насыщенной-ненасыщенной фильтрации). Результаты сопоставлений приведены в таблице 1. Расчеты для обоих «солверов» были выполнены с одинаковой точностью аппроксимации решения и говорят о близких временных затратах на решение линейной задачи и о существенном превосходстве DUMKA при решении нелинейной задачи.

Таблица 1. Процессорное время в условных временных единицах (у.в.е.), затраченное методами VS2D и DUMKA для решения линейной и нелинейной задач Решение задачи о капиллярных барьерах приведено в параграфе 8 второй главы. Капиллярные барьеры образуются в ненасыщенных условиях, когда слой мелкозернистых пород лежит на слое крупнозернистых отложений. Барьер возникает из-за разной проницаемости мелко-крупнозернистых пород в ненасыщенных условиях и расположения обоих слоев под определенным углом ( 0 к горизонтальной поверхности). Для оценки эффективности капиллярных барьеров существует аналитическая формула Росса:

L-длина непроницаемого для воды капиллярного барьера, -угол наклона где барьера, — эмпирическая константа, Кs – коэффициент фильтрации мелкозернистого слоя при полном насыщении, q- инфильтрационное питание. Входящие в (3) значения Кs, q, относятся к верхнему мелкозернистому слою. Из формулы (3) следует, что капиллярный барьер существует, если угол наклона 0 и инфильтрационное питание q Кs. Формула Росса дает предельный размер капиллярного барьера. Она получена для установившихся условий с использованием ряда приближений.

В результате проведенных численных расчетов было найдено распределение давлений h, насыщенность порового пространства водой S и приток к нижней границе барьера, который можно интерпретировать как инфильтрационное питание и просачивание через барьер. График, характеризующий протекание через барьер, полученный по результатам расчетов с подробной дискретизацией, приведен на рис. 1.

Из графика на рис. 1 следует, что при расчетах с подробной дискретизацией вблизи границы слоев достигается хорошее совпадение с формулой Росса. При этом численные расчеты показывают, что протекание через барьер начинается раньше, чем это следует из аналитического решения и защитное действие барьера оказывается больше, чем по решению Росса. Установлено, что положение точки, где соотношение количества влаги, прошедшего вертикально сквозь барьер к количеству поступившей равно 0.5, что точно совпадает с решением для заданных условий L = 32.6 м (пересечение сплошной и пунктирной линий на рис 1).

(Количество вытекающей)/(Количество втекающей) влаги Рис.1.Сравнение численных результатов с результатами, полученными по формуле Росса Проведенные численные эксперименты доказали формирование капиллярного барьера и показали хорошее совпадение с аналитической формулой Росса. Это позволяет считать, что модель была разработана верно и может быть использована для расчетов капиллярных барьеров.

взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции2 (задача №9), для которой была проведена апробация модели на фактических данных и представлены результаты эксперимента – скорости движения столба жидкости в скважине, которые описаны в работе Э.Грикевича3. Для сопоставлений расчетов для модели, учитывающей инерцию и не учитывающей инерцию были выполнены тестовые расчеты для 4 сценариев коэффициентов фильтрации (К=20м/сут и К=200м/сут) с учетом инерции и без Здесь под инерцией подразумевается наличие столба воды в скважине с ненулевой массой.

Э.А. Грикевич. Влияние гидравлических сопротивлений скважины на приток воды. – ВНИИМОРГЕО, Рига, инерции (см. таблицу 2). Значения остальных параметров модели были выбраны следующими: µ = 0.02, rs = 0.02 м, m = 6 м, h0 = 12.0 м, Q = 800 м3/сут.

Таблица 2. Расчетные понижения и удельные дебиты для тестовых сценариев 1- Удельный Глядя на таблицу 2, следует отметить существенное уменьшение удельных дебитов при учете инерционных эффектов. Вертикальное распределение притока к фильтру скважины позволяет выявить наиболее нагруженную область фильтра. Как видно из рис. 2, 3 — это верхние 2 метра фильтровой части скважины. Нижняя часть фильтра при этом испытывает малую нагрузку. Исходя из этого, можно сделать вывод, что независимо от длины фильтра при откачке или закачке наиболее нагруженной частью (рабочей) является только определенная зона фильтра. Значительное снижение удельного дебита скважины при учете динамических эффектов в стволе скважины требует использования скорректированных моделей при подборе водоподъемного оборудования, выборе конструкции скважин и при выполнении гидравлических расчетов скважинных водозаборов.

скорости фильтрации(м/сут) Радиальная состовляющая Рис. 2. Распределение по вертикали радиальных скоростей фильтрации и напоров на границе фильтра для сценариев 1 и 2 (K=20 м/сут) скорости фильтрации(м/сут) Радиальная состовляющая Рис. 3. Распределение по вертикали радиальных скоростей фильтрации и напоров на границе фильтра для сценариев 3 и 4 (K=200 м/сут) Оценке чувствительности одномерной модели экспресс-налива к параметрам, основанной на конечно-разностной постановке уравнения (2) уделено внимание в последней части второй главы. В качестве входных параметров для анализа чувствительности были выбраны основные — K, µ,, rs, H 0 -коэффициент фильтрации, водоотдача, сопротивление прискважинной зоны или скин-эффект, радиус фильтра и начальный напор (начальное возмущение уровня воды в скважине). Были получены кривые с относительными значениями чувствительности параметров K, µ,, rs, H 0, корреляции параметров друг с другом и зависимость относительной ошибки определения параметров µ, K, в зависимости от начального возмущения H 0.

Третья глава начинается с обзора полевых экспериментов по опробованию скважин.

Приведены такие методы, как опережающее опробование водоносных пластов, расходометрия. Описан принцип опробования скважин с помощью пластоиспытателей, эксперимент по оценке скорости притоков к скважинам Грикевича, испытание скважины с помощью экспресс-налива, выполненное Шержуковым4, а также другие эксперименты.

являются, во-первых, использование лишь линеаризованных моделей (это ограничение связано с используемыми методами построения аналитических решений) и, во-вторых, сложность интерпретации результатов по трехпараметрическому аналитическому решению. Поэтому, в качестве альтернативы аналитическим методам предлагается программный подход по определению параметров, основанный на численных методах.

В тринадцатом параграфе третьей главы приведено описание программы SLUGD по определению параметров водоносного пласта — коэффициента фильтрации, экспериментальных данных на основе решения задачи об оптимальном управлении.

В связи с необходимостью визуально наблюдать за процессом поиска параметров и пользоваться интерактивным режимом подготовки и загрузки входных данных, была предложена модификация программы SLUGD – программа SLUG.

Программа SLUG была разработана в среде MSDEV 4.0 с помощью графической библиотеки MFC. Также как и в программе SLUGD, в программе SLUG для численных расчетов задействован «солвер» DUMKA.

Б.С Шержуков, В.С.Алексеев, А.Д.Курманенко Рекомендации по определению параметров горных пород и грунтов методом экспресс-налива в несовершенные скважины. -ВНИИ ВОДГЕО, Поиск параметров в программе SLUG производится вручную. Двигая один из «слайдеров», (стандартный контроль MS Windows), отвечающих одному из параметров K, µ, варьируется численное значение соответствующего параметра (см. рис. 4) в заданном диапазоне (см. рис. 5).

Рис. 4 Главное окно программы SLUG – поиск параметров (прерывистая кривая – фактические данные, сплошная– модельные) Рис. 5 Окна ввода основных и дополнительных параметров программы SLUG Понижение (метры) Рис. 6 Результаты интерпретации эксперимента с откачкой и восстановлением содержащего два столбца. Первый столбец – время, второй – напор или понижение.

Формат столбца со временем либо абсолютный «час:мин:сек» (формат «даталоггера»), либо относительный (в секундах или минутах или часах или днях; единицы измерения также задаются в окне ввода) с момента начала эксперимента. Кроме того, окно ввода скважины, свойства водоносного горизонта (напорный, безнапорный), начальный напор в пласте, начальное возмущение напора воды в скважине (для экспериментов по экспресс-наливу), дебит и длительность откачки (для экспериментов с откачкой).

Пример результатов интерпретации эксперимента с откачкой и восстановлением приведен на рис. 6.

которой были получены по результатам интерпретации экспресс-наливов значения коэффициентов фильтрации.

На территории РНЦ «Курчатовский институт» имеется сеть наблюдательных подземных вод на площадке временных хранилищ радиоактивных отходов (ВХРАО) [6].

В 17 скважинах (12 на верхний, надморенный водоносный горизонт и 5 на нижний, фильтрации в верхнем надморенном водоносном горизонте имеет значение 4.4 м/сут, а в нижнем надъюрском — 3.8 м/сут. Карта распределения значений коэффициентов фильтрации на площадке ВХРАО и прилегающей территории приведена на рис. 7.

Для сопоставления по результатам интерпретации экспресс-наливов были использованы результаты опытных откачек, проведенных ранее на площадке ВХРАО Б.С.Шержуковым. Им были получены средние значения коэффициентов фильтрации для верхнего и нижнего водоносных горизонтов 4.2 м/сут и 2.2 м/сут.

интерпретации экспресс-наливов с помощью программы SLUG были задействованы при проведении геофильтрационного моделирования площадки ВХРАО.

Рис. 7 Карта значений коэффициентов фильтрации на площадке ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт».

Основными результатами диссертационной работы, включающей проведение теоретических, полевых и численных экспериментов, является следующее.

• Впервые выведены уравнения двумерной модели взаимодействия скважинапласт с учетом эффектов инерции, при помощи которых получена оценка характера распространения возмущения, вызванного наливом и откачкой из скважины, в зависимости от глубины от подошвы фильтра.

• С помощью алгоритма DUMKA получены решения задач насыщеннойненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде. Решена задача о протекании капиллярных барьеров. Алгоритм DUMKA использовался как «солвер»

для модели экспресс-налива, а также для решения задачи о взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции.

• Создана оригинальная компьютерная программа SLUG, которая позволяет определять значения параметров водоносного пласта — коэффициента фильтрации, параметра водоотдачи, а также и сопротивления прискважинной зоны. Программа использует экспериментальные данные, получаемые при проведении экспрессналивов в скважинах. Для интерпретации этих данных в программе SLUG задействована численная модель экспресс-налива. Программа SLUG была использована при проведении экспериментов по опробованию наблюдательных скважин на территории площадки временных хранилищ радиоактивных отходов РНЦ «Курчатовский институт». Полученные результаты хорошо согласуются с результатами интерпретации проводимых ранее кустовых откачек.

• Созданные в рамках диссертационной работы новые программные средства, реализующие алгоритм DUMKA, демонстрируют высокую скорость и надежность при решении задач фильтрации подземных вод в пористой среде. Результаты исследований открывают перспективы улучшения и математического и программного обеспечения для решения геофильтрационных задач с применением указанного алгоритма в качестве «солвера».

И.А. Расторгуев. Расчет уравнений фильтрации устойчивыми явными методами.

Труды математического института имени Н.И. Лобачевского. Том 13. Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань, 19-23 ноября И.А. Расторгуев. Моделирование уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Международная конференция. Обнинск, 14-18 мая В.И. Лебедев И.А. Расторгуев. Расчет уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященного памяти А.Ф. Сидорова. Дюрсо. 15-17 сентября 2002 г И.А. Расторгуев, А.В. Расторгуев. Определение параметров безнапорных водоносных горизонтов с помощью экспресс-наливов в скважины. Инженерные изыскания в XXI веке. Материалы научно-производственной конференции. ПНИИС.

Москва А.В. Лапин, И.А. Расторгуев. Решение задачи об экспресс-наливе методами оптимального управления. Труды математического центра имени Н.И. Лобочевского.

Том 26. Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции.

Издательство казанского математического общества. Казань. Июнь A. Rastorguev, K. Buharin, V. Volkov, D. Tsurikov, Yu. Zverkov, I. Rastorguev, E. Volkova. Prognosis of radionuclid contamination spreading on the site of Temporary Waste Storage of RRC “Kurchatov Institute”. Conference ECORAD2004. The scientific basis for environment protection against radioactivity. Aix-en-Provance, France. 6- september I. Rastorguev, E. Volkova, E. Gorbunova. Evaluation of fractured aquifer bottom position according to groundwater level observation data in the region of underground nuclear explosion execution. International conference on Final Element Models, MODFLOW, and more: solving groundwater problems. Karlovy Vary, Czech Republic. 13-16 September И.А. Расторгуев, Э.М. Горбунова. Определение трещиноватости водоносного горизонта в зоне подземного ядерного взрыва. –Материалы конференции «Урал атомный –Урал промышленный». Февраль, 2005 г И.А. Расторгуев. Сравнение явных и неявных численных методов для расчетов задач фильтрации. – Материалы XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Сентябрь, 2005 г И.А. Расторгуев, Р.Х. Каримов. Численная модель эксперимента экспресс-налив с 10.

учетом инерции в скважине. Проблемы инженерной геоэкологии. Сборник трудов.

Выпуск 10. Москва 2005.

И.А. Расторгуев. Сравнение явных и неявных численных методов для расчетов 11.

задач фильтрации. // Вычислительные методы и программирование. 2006.

Раздел 7. 185-189.

характеристики скважин. Москва. Водоснабжение и санитарная техника. №7. 2006.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. профессору В.И. Лебедеву, благодарит коллектив НИИ ВОДГЕО за постановки задач и внимание к работе, коллективы структурных подразделений РНЦ «Курчатовского института» — Институт Проблем Безопасного Комплекса «Реабилитация» за оказанную помощь и полезные советы.

«УДК 519.218+519.857.3 Коновалов Михаил Григорьевич МОДЕЛИ И ТЕХНОЛОГИИ АДАПТИВНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ЧАСТИЧНО НАБЛЮДАЕМЫХ СИСТЕМ 05.13.17 – теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Москва 2008 Работа выполнена в Институте проблем информатики РАН Официальные оппоненты : член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Флеров Юрий Арсениевич заслуженный деятель науки РФ, доктор. »

«ГОРОБЕЦ Андрей Владимирович ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И АЭРОАКУСТИКИ Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2007 Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН Научный руководитель : кандидат физико-математических наук, старший научный. »

«Гудов Александр Михайлович ПРОГРАММНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОННОГО ДОКУМЕНТООБОРОТА Специальность 05.13.17 – Теоретические основы информатики Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Новосибирск — 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Кемеровский государственный. »

«Минниахметов Ильнур Римович Методы cтохастического моделирования и статистического оценивания в задачах геологического моделирования углеводородных месторождений 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 Работа выполнена в Московском физико-техническом институте. Научный руководитель : д. ф.-м. н., Колдоба Александр Васильевич Официальные. »

«ДЫЛЕВСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ СИНТЕЗ КОНЕЧНОМЕРНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации: управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Воронеж 2009 2 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Воронежский государственный университет на кафедре Технической кибернетики и автоматического. »

«Шевцова Юлия Владимировна СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО УПРАВЛЕНИЮ ОПЕРАЦИОННЫМ РИСКОМ НА ОСНОВЕ БАЙЕСОВСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Специальность 05.13.10 – Управление в социальных и экономических системах (технические наук и) Автореферат диссертации на соискание учной степени кандидата технических наук Новосибирск – 2011 Работа выполнена в федеральном государственном образовательном бюджетном учреждении высшего профессионального образования Сибирский государственный университет. »

«Ковалев Иван Витальевич НЕЙРОСЕТЕВЫЕ И ГИБРИДНЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва — 2011 Работа выполнена в Калужском филиале ГОУ ВПО Московский государственный технический университет им. Н.Э. »

«Суров Максим Олегович Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург – 2013 Работа выполнена в Национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и. »

«Щепалов Сергей Владимирович МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА ПИЛОМАТЕРИАЛОВ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Петрозаводск – 2010 1 Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет (ПетрГУ). Научный руководитель. »

«Титов Ростислав Николаевич РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОННОГО ДОКУМЕНТООБОРОТА ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИМИ ПРОЕКТАМИ (НА ПРИМЕРЕ ЕВРОПЕЙСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ) Специальность 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (в информационных системах) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва 2011 Работа выполнена в Европейской организации ядерных исследований и Национальном. »

«Нгуен Куанг Тханг МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В СИСТЕМАХ КОМПЛЕКСНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВЫСОТНЫХ ЗДАНИЙ Специальность: 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Москва – 2013 Работа выполнена в учебно-научном комплексе автоматизированных систем и информационных технологий ФГБОУ “Академия Государственной противопожарной службы МЧС. »

«ЕФИМОВА Ольга Евгеньевна РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ МУНИЦИПАЛЬНЫХ УНИТАРНЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ Специальность 05.13.10 – Управление в социальных и экономических системах АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Воронеж – 2009 Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Воронежском государственном архитектурно-строительном университете. »

«Ермолицкий Александр Викторович МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ВЕКТОРИЗАЦИИ НА ЭТАПЕ КОМПИЛЯЦИИ ДЛЯ АРХИТЕКТУР С ПОДДЕРЖКОЙ КОРОТКИХ ВЕКТОРНЫХ ИНСТРУКЦИЙ 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2011 Работа выполнена в ОАО ИНЭУМ им. И.С.Брука. Научный руководитель : кандидат физико-математических наук Нейман-заде Мурад. »

«Гончар Дмитрий Русланович МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ В САПР СИСТЕМ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Москва – 2008 Работа выполнена в отделе Математического моделирования систем проектирования Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН кандидат физико-математических Научный руководитель . »

«УТКИН Павел Сергеевич ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНИЦИИРОВАНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН ГАЗОВОЙ ДЕТОНАЦИИ В ПРОФИЛИРОВАННЫХ ТРУБАХ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук МОСКВА – 2010 Работа выполнена в отделе Вычислительных методов и турбулентности Учреждения Российской академии наук Институт автоматизации проектирования РАН Научный. »

«Садыков Артур Мунавирович Методы и средства поддержки принятия решений по размещению промышленных объектов на основе моделей зонирования Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Иваново — 2014 2 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования (ФГБОУ ВПО) Ивановский. »

«Хусаинова Эльвира Робертовна МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ УГРОЗ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА ХАКЕРСКИХ КОНФЕРЕНЦИЙ Специальность 05.13.19. Методы и системы защиты информации, информационная безопасность Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург 2010 2 УДК 004.056 Работа выполнена на кафедре Безопасные информационные технологии Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и. »

«Михайличенко Ольга Викторовна МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ЗАЩИТЫ ЦИФРОВЫХ ВОДЯНЫХ ЗНАКОВ ПРИ JPEG СЖАТИИ Специальность 05.13.19 – Методы и системы защиты информации, информационная безопасность АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург — 2009 Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики на кафедре “Проектирования компьютерных систем” Научный руководитель : доктор. »

«Коваленко Алексей Геннадьевич Препроцессор языка программирования высокого уровня для реконфигурируемых вычислительных систем Специальность 05.13.11 — Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Таганрог – 2013 2 Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования Южный. »

«ГУСЕВ АНДРЕЙ ЛЕОНИДОВИЧ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ КАСКАДНОМ УПРАВЛЕНИИ РИСКАМИ ОДНОЙ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ОДНОВРЕМЕННО УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНИЗАЦИЙ Специальность 05.13.01– Системный анализ, управление и обработка информации (технические и медицинские системы) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Курск – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Васильева Мария Васильевна, Прокопьев Григорий Анатольевич

Рассматривается процесс фильтрации двухфазной жидкости в пористой неоднородной среде. Данный процесс описывается связанной системой уравнений для насыщенности, скорости фильтрации и порового давления. Рассмотрены математические модели с учетом и без учета капиллярных сил, при наличии которого для насыщенности имеем нестационарное уравнение конвекции-диффузии. Поскольку данный процесс характеризуется существенным преобладанием конвективного слагаемого в уравнении для насыщенности, используются противопотоковые аппроксимации посредством добавления неоднородной искусственной диффузии. Скорость и давление аппроксимируются с использованием смешанного метода конечных элементов . Представлены результаты численных расчетов для двумерного случая с сильно неоднородными коэффициентами проницаемости пористой среды . Рассмотрены несколько случаев, связанных с линейными и нелинейными коэффициентами относительной проницаемости флюида и наличием капиллярных сил.

Текст научной работы на тему «Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С НЕОДНОРОДНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ М. В. Васильева, Г. А. Прокопьев

Аннотация. Рассматривается процесс фильтрации двухфазной жидкости в пористой неоднородной среде. Данный процесс описывается связанной системой уравнений для насыщенности, скорости фильтрации и порового давления. Рассмотрены математические модели с учетом и без учета капиллярных сил, при наличии которого для насыщенности имеем нестационарное уравнение конвекции-диффузии. Поскольку данный процесс характеризуется существенным преобладанием конвективного слагаемого в уравнении для насыщенности, используются противопотоко-вые аппроксимации посредством добавления неоднородной искусственной диффузии. Скорость и давление аппроксимируются с использованием смешанного метода конечных элементов. Представлены результаты численных расчетов для двумерного случая с сильно неоднородными коэффициентами проницаемости пористой среды. Рассмотрены несколько случаев, связанных с линейными и нелинейными коэффициентами относительной проницаемости флюида и наличием капиллярных сил.

Ключевые слова: пористая среда, двухфазная фильтрация, метод конечных элементов, метод Галеркина, численное моделирование.

Математическое моделирование течений многофазной жидкости в пористых средах имеет важное прикладное значение при добыче нефти и газа [1—3]. Фильтрационный перенос жидкостей и газов в пористых средах, возникающий при извлечении углеводородов, описывается фундаментальными законами сохранения массы, импульса и энергии 4. Однако применить эти законы непосредственно для описания фильтрации в пористых средах чрезвычайно сложно, поэтому на практике используется полуэмпирический подход, основанный на применении закона Дарси взамен уравнения сохранения импульса. Данный закон фильтрации можно также получить посредством процедуры двухмасштаб-ного асимптотического усреднения для задачи на уровне пор, где рассматриваются медленные течения, описываемые посредством уравнения Стокса.

Основные уравнения фильтрации многофазной жидкости описываются законом сохранения массы и законом Дарси [4,8-11]. При рассмотрении модели многофазной фильтрации необходимо ввести такие понятия, как насыщенность Si и относительная проницаемость . Насыщенность ¿-й фазой флюида определяется как отношение объема, занимаемого данной фазой, к общему объему пустот в пористой среде. Будем рассматривать полностью насыщенную пористую среду:

где Si — насыщенность ¿-й фазы флюида.

Закон сохранения массы для многофазной фильтрации описывается следующим дифференциальным оператором:

где V — оператор дивергенции, ф — пористость пористой среды, ^ — плотность ¿-й фазы флюида, и = (и1,и2,и33) — скорость фильтрации ¿-й фазы флюида и ф — внешние источники или стоки. Отметим, что ^ отрицателен для стока и положителен для источников.

В дополнение к закону сохранения массы используем закон сохранения импульса в форме закона Дарси. Этот закон устанавливает линейное отношение между скоростью фильтрации и градиентом давления:

где к — тензор абсолютной проницаемости пористой среды, к„ и у — относительная проницаемость и вязкость ¿-й фазы флюида. Заметим, что мы здесь не учитываем гравитационные силы. Относительные фазовые проницаемости зависят от целого ряда характеристик: насыщенности, градиента давления, капиллярных сил, структуры порового пространства и пр. Поскольку наиболее существенно фазовые проницаемости зависят от насыщенностей, в большинстве моделей фильтрации предполагается, что фазовые проницаемости являются функциями, зависящими только от насыщенностей.

Закон Дарси распространяется только на ньютоновские жидкости в некотором ограниченном диапазоне скоростей фильтрации, в котором турбулентность, инерционные и другие высокоскоростные эффекты пренебрежимо малы. Кроме того, при очень низких давлениях этот закон несправедлив вследствие явления проскальзывания.

Прикладные математические модели процессов массопереноса в пористых средах являются существенно нелинейными и трудными для исследования. При приближенном решении нестационарных краевых задач для связанных систем уравнений с частными производными используются два класса методов. Первый из них связан с применением тех или иных неявных схем для исходной системы уравнений. В этом случае имеем достаточно большие вычислительные

сложности перехода на новый временной слой. Второй класс методов ориентирован на уменьшение вычислительной работы за счет использования схем расщепления и решения более простых задач на новом временном слое.

Для численного решения возникающих задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных используется смешанный метод конечных элементов, позволяющий напрямую выполнять законы сохранения [12]. Математическая модель записывается в смешанной обобщенной постановке в терминах скорость — давление и насыщенность. Для аппроксимации полей скоростей и давления могут быть использованы стандартные типы элементов, аналогичные рассматриваемым в 15 и др.

Уравнение насыщенности описывается уравнением конвекции-диффузии в случае наличия капиллярных сил и уравнением переноса при их отсутствии. Для аппроксимации уравнений конвекции-диффузии использование стандартного метода конечных элементов (метод Галеркина) ведет к возникновению ос-цилляций в решении задачи 17. В отличие от оператора диффузионного переноса, аппроксимация которого ведет к симметричной и положительно определенной матрице, аппроксимация оператора конвекции с использованием стандартного метода Галеркина приводит к несимметричной знаконеопределенной матрице, что и приводит к возникновению осцилляций в решении задачи в случае задач с доминирующей конвекцией при больших числах Пекле. Стандартным способом борьбы с осцилляциями является измельчение расчетной сетки до тех пор, пока конвективный член не перестанет доминировать на сеточном уровне [5,19]. Отметим, что подобное измельчение сетки ведет к увеличению размерности разностной задачи, особенно для случая многомерной постановки, что также приводит к необходимости расчета задачи для скоростей и давления на соответствующих мелких сетках. Известно, что для борьбы с осцилляци-ями в методе конечных разностей используются потоковые схемы. Их можно построить посредством добавления искусственной диффузии для центрально-разностной схемы. Для конечно-элементной аппроксимации потоковые схемы можно построить аналогичным способом.

Работа состоит из четырех разделов. В первом представлена математическая модель двухфазной фильтрации. Дискретизация по пространству и времени представлена во втором и третьем разделах. Результаты численного решения задачи двухфазной фильтрации в двумерной постановке для случая неоднородных сред даны в четвертом разделе. В конце приводится заключение.

Рассмотрим течение двухфазной жидкости в пористой среде. Будем предполагать что пористая среда полностью насыщена двумя фазами:

1. Математическая модель двухфазной фильтрации

где Бы и Б о — насыщенность водой и нефтью соответственно.

Определим капиллярное давление, которое связано с поверхностным натяжением на границе между двумя фазами. Разница давлений связана следующим образом:

где ро и рш — давление нефтяной и водной фаз.

Учитывая отсутствие переноса массы между фазами (несмешиваемые жидкости), запишем закон сохранения массы для нефти и воды

+ V • (p0u0) = p0q0, + V • (pwUw) = Pw4w,

где индексы o и w относятся к нефти и воде.

Для скорости течения имеем закон Дарси для каждой из фаз:

k k Uo = ——kVpo, uw = ——kVpw, (1.4)

где kro = kro(So), krw = krw(Sw) и po, pw — эффективная проницаемость и вязкость для нефти и воды соответственно.

Для вывода математической модели введем понятие фазовой подвижности Ao и Aw

где A = Ao + Aw — общая подвижность и fi — доля фазы в двухфазном потоке. Определим суммарную скорость двухфазного потока

Сложив уравнения (1.3), с учетом соотношения (1.1) получим

где для простоты предполагаем, что плотность воды и нефти постоянны, т. е. жидкость несжимаема, а также будем рассматривать несжимаемую пористую среду (ф = const).

Определим глобальное давление по формуле

p = Po + J fw(p’c(0) dt

AVp = Aw Vpw + A oVpo.

Запишем фазовые скорости с использованием глобального давления:

uw = -k\w i Vp- yVPcj , (1.6)

u0 =-kX0 (vP — ^VPcy (1.7)

В качестве расчетной насыщенности будем использовать насыщенность водной фазой S = Sw, для которой имеем уравнение dS

Ф+ V(fwu) + V(kXoPyS) = qw, (1.8)

Для коэффициентов предположим следующие зависимости: qi = 0, kri = kri(Si), pi = const, = const, ф = const, i = o,w, и определим неоднородный тензор проницаемости пористой среды

Таким образом, в некоторой области О математическая модель, описывающая процесс двухфазной фильтрации, задается системой уравнений для насыщенности, давления и скорости dS

ф— +u-(fi(S)VS)+V(kXop’c(S)VS) = 0, хеп, (1.9)

V^ u = 0, x e О, (1.10)

u = -k\(S)Vp, x e О, (1.11)

Без учета капиллярных сил система уравнений принимает следующий упрощенный вид:

V- u = 0, x e о, (1.13)

u = -kX(S)Vp, x e О. (1.14)

Система уравнений дополняется начальным условием для насыщенности:

S(x, 0) = So, x e О, (1.15)

и граничными условиями для давления

р = р 1, х е 1\, р = Р2, х е г2, —— = о, х е 90/Г1/Г2, (1-16)

= а:егь ^ = жег2. (1.17)

Далее будем предполагать, что О — прямоугольная область, а 1\ и Г2 — часть

левой и правой границы соответственно (рис. 1).

Нелинейный характер уравнений и методов, применяемых для их решения, во многом зависят от функциональных соотношений, которые определяют свойства жидкостей и породы в зависимости от искомых переменных: давлений и насыщенности. Вязкости нефти и воды сильно зависят от температуры. Зависимость от давления не очень существенна, поэтому при проведении гидродинамических расчетов изотермической фильтрации вязкости будем полагать постоянными. Отметим, что капиллярное давление зависит от насыщенности водной фазы.

Рис. 1. Расчетная область О

Рис. 2. Проницаемость пористой среды

Рис. 3. Графики зависимости капиллярных сил рс^) и их производных рС(£)

Рис. 4. Графики зависимости доли фазы воды fw ($) и ее производной frw ($)

2. Аппроксимация по времени

Вычислительные алгоритмы для приближенного решения начально-краевых задач для нелинейной системы уравнений многофазной жидкости базируются на той или иной линеаризации. Рассмотрим аппроксимации системы уравнений фильтрации двухфазной жидкости по времени. Пусть по времени введена равномерная сетка с шагом т, так что

¿0 = 0, ¿„+1 = + т, п = 0,1, 2.

В своем рассмотрении ограничимся двухслойными разностными аппроксимациями, которые связывают решение на п +1 временном слое с решением на п слое.

При решении нелинейных нестационарных задач математической физики естественно использовать линеаризованные схемы, в которых нелинейные коэффициенты берутся с предыдущего временного слоя. В этом случае адаптация к резким изменениям решения достигается выбором временных шагов. Неявная линеаризованная схема имеет следующий вид: С„+1 _ С„

ф—— +ип+1\7(,С(8п)\78п+1) + \7(к\оР’с(8п)\78п+1) = 0, (2.1)

к-1ип+1 + Х(Бп)Урп+1 = 0. (2.3)

Полученные уравнения можно решать последовательно. Сначала рассчитываются давление и скорости (и, р), а затем — значения насыщенности Б.

Таким образом, представленный вычислительный алгоритм имеет следующие особенности:

• Улучшение устойчивости метода за счет неявного учета насыщенностей, но без совместного решения уравнений;

• Все функции, зависящие от насыщенности, к^(Б),рс(Б), вычисляются с использованием значений с предыдущего временного слоя.

3. Аппроксимация по пространству методом конечных элементов

Для аппроксимации по пространственным переменным применим метод конечных элементов и получим следующую вариационную формулировку: найти Б е ((О) и (и,р) е V(О) = [Я(О)]^ х £(О) такие, что

(кХ0р’с(Бп)ЧБп+1, Уг) йх = 0, (3.1)

J ((кА(Бп))-1 ип+1, V) йх _ ^ рп+1У • V йх + !рп+1 • ж йв = 0, (3.3)

?п))-1 ип+1 V йх _ I Рп+1У • v йх + j Рп+1

где г е ((О) и (V, д) е у (О) = [Я (О)]^ х Ь( О), й = 2, 3.

Для численного решения мы должны перейти от непрерывной вариационной задачи к дискретной для некоторого треугольного разбиения ¿РЬ области О, где ¡г — размерность расчетной сетки.

Введем конечномерные пространства (ъ С д Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

BY THE FINITE ELEMENT METHOD M. V. Vasilyeva and G. A. Prokopiev

Abstract. We consider the process of filtration of a two-phase fluid in a porous, heterogeneous medium. This process is described by a coupled system of equations for saturation, filtration rate, and pore pressure. We consider mathematical models with and without capillary forces, in the presence of which, for saturation, we have a nonstationary convection-diffusion equation. Since this process is characterized by a significant predominance of the convective term in the equation for saturation, counter-current approximations are used by adding non-uniform artificial diffusion. Speed and pressure are approximated using a mixed finite element method. The results of numerical calculations for a two-dimensional case with strongly heterogeneous permeability coefficients of a porous medium are presented. Several cases of relative fluid permeability associated with linear and nonlinear coefficients and the presence of capillary forces are considered.

Keywords: porous medium, two fasefiltration, finite elements method, Galerkin method, numerical simulation.

1. Aziz K. and Settari A., Petroleum Reservoir Simulation, Appl. Sci. Publ. (1979).

2. Bear J., Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover Publ. (1988).

3. Chen Z., Huan G., and Ma Y., Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media, Soc. Ind. Math. (2006).

4. Vasil’ev V. I., Popov V. V., and Timofeeva T. S., Vychislitel’nye Metody v Razrabotke Mestorozhdenij Nefti i Gaza [in Russian], Izdat. SO RAN, Novosibirsk (2000).

5. Vabishhevich P. N., Explicit-implicit computational algorithms for multiphase filtration problems,» Math. Models Comput. Simul., 22, No. 4, 118-128 (2010).

6. Vabishhevich P. N. and Vasilyeva M. V., «Iterative solution to the pressure problem for the multiphase filtration,» Math. Modelling Anal., 17, No. 4, 532-549 (2012).

7. Vasilyeva M. V., «Numerical modelling of filtration at multiprocessor systems,» Mat. Zametki YaGU, 17, No. 2, 105-112 (2010).

8. Afanas’eva N. M., Vasil’eva M. V., and Zaharov P. E., «Parallel’noe chislennoe modelirovanie processa zavodnenija neftjanogo mestorozhdenija,» Mat. Zametki YaGU, 18, No. 1, 159-172 (2011).

The work was supported by the grant from the Russian Scientific Foundation (code 17-7120055).

9. Chung E. T., Leung W. T., and Vasilyeva M., «Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains,» J. Comput. Appl. Math., 304, 84-99 (2016).

10. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., and Wang Y., «Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains,» J. Comput. Phys., 353, 356-376 (2018).

11. Vasilyeva M. V., Vasilyev V. I., and Timofeeva T. S., «Numerical solution by the finite elements method to the problems of transfer by diffusion and convection in strongly heterogenuous media,» Uchen. Zap. Kazan. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 158, No. 2, 243-261 (2016).

12. Alekseev V. N., Vasilyeva M. V., and Stepanov S. P., «Iterative methods for solving the problems of flow and transfer in perforated domains,» Vestn. Severo-Vostoch. Federal. Univ., No. 5, 67-79 (2016).

13. Vasil’ev V. I., Vasilyeva M. V., and Nikiforov D. Ya., «Solution to the problems of one-phase filtration by the finite elements method on the computation cluster,» Vestn. Severo-Vostoch. Federal. Univ., No. 6 (2016).

14. Brezzi F. and Fortin M., Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer, Berlin (1991).

15. Raviart P. A. and Thomas J. M., «A mixed finite element method for second order elliptic problems,» in: Mathematical Aspects of Finite Element Methods, Springer, Berlin, Heidelberg, pp. 292-315 (1977).

16. Carstensen C. «A posteriori error estimate for the mixed finite element method,» Math. Comput. Amer. Math. Soc., 66, No. 218, 465-476 (1997).

17. Samarskij A. A. and Vabishhevich P. N. Methods for Convection-Diffusion Problems [in Russian], Editorial URSS, Moscow (2004).

18. Donea J. and Huerta A., Finite Element Methods for Flow Problems, John Wiley & Sons Ltd, Chichester (2003).

19. Brooks A. N., A Petrov-Galerkin Finite Element Formulation for Convection Dominated Flows, Calif. Inst. Technology (1981).

20. Christie M. A. and Blunt M. J., Tenth SPE Comparative Solution Project: A Comparison of Upscaling Techniques, SPE Reservoir Simulation Symp., Soc. Petroleum Engineers (2001).

21. Logg A., Mardal K.-A., and Wells G. N. (eds.), Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. The FEniCS Book, Springer, Heidelberg (2011).

22. Software GMSH. (http://geuz.org/gmsh/)

23. Software package PARAVIEW. (http://www.paraview.org/)

Submitted March 20, 2017

Maria V. Vasilyeva and Grigorii A. Prokopiev M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42, Kulakovsky St., Yakutsk 677000, Russia vasilyeva_mv@mail .ru, reilroot@gmail .com

Неявных решение уравнения фильтрации для двухмерных плата

Библиографическая ссылка на статью:
Иванова А.А. Моделирование двухфазной фильтрации в нефтяных пластах // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 4. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2014/04/33063 (дата обращения: 27.01.2022).

Применение многосеточного алгоритма [1] при численном моделировании физических задач является эффективным в случае большого объема вычислительных работ. Нефтяное месторождение имеет большие геометрические размеры и значительное время эксплуатации (десятки лет), поэтому для моделирования процессов, происходящих в нефтяных пластах в течение всего периода разработки требуется «быстрый» численный метод.

Общая теория многосеточных методов хорошо исследована. Однако вопрос эффективной организации многосеточного алгоритма для решения отдельных задач остается открытым. Нетривиально распространение многосеточной технологии на трехмерный случай для гидродинамического расчета многопластовой залежи. С одной стороны, толщина нефтяного пласта во много раз меньше его размеров по простиранию. Вследствие этого при вычислении вертикальных потоков в уравнении пьезопроводности появляется большой весовой коэффициент, и вычислительная ошибка определения вертикальных потоков может привести к значительной потере точности при нахождении поля давления. С другой стороны, наличие между пропластками слабопроницаемых и непроницаемых перемычек делает невозможным применение осреднения по всем вертикальным слоям (пачке) при многосеточных переходах.

Постановка задачи

Рассматривается изотермическая фильтрация двухфазной жидкости в природном пласте, вскрытом системой добывающих и нагнетательных скважин [2]. Фильтрация происходит по обобщенному линейному закону Дарси. Решение задачи сводится к определению приведенного пластового давления и насыщенности , подчиняющихся следующим уравнениям в частных производных [4]:

где -гидропроводность пласта, — упругоемкость пласта и жидкостей, – функция Баклея-Леверетта, — пористость.

Уравнения справедливы в многосвязной области с границей, состоящей из кровли и подошвы пласта, внешнего контура питания и цилиндрических поверхностей малого радиуса – скважин , (), – общее число добывающих и нагнетательных скважин.

Известно распределение давления и насыщенности на начальный момент времени. Для скважин задан суммарный дебит либо забойное давление на перфорированных интервалах:

На внешней границе известно давление или задано условие непроницаемости. Подошва и кровля пласта непроницаемы.

Разностные схемы задачи хорошо известны. Отдадим предпочтение схемам, описанным в работе [3]. Для решения уравнения пьезопроводности используется неявная, для уравнения переноса насыщенности – явная разностная схема. Их описание здесь приводить не будем.

Распространение многосеточного метода на трехмерный случай

Толщина нефтяного пласта намного меньше его размеров по горизонтали [4]. Поэтому разностная сетка характеризуется двумя важными особенностями. Во-первых, количество узлов по вертикали невелико (обычно

10 ), во-вторых, шаги по вертикали и горизонтали существенно отличаются (). Учитывая указанные особенности, при решении уравнения пьезопроводности итерационными методами предпочтительной является такая организация вычислительного алгоритма, при которой счет давления по вертикали осуществляется на одной итерации. Такая организация итерационного процесса позволяет вычислить вертикальные потоки с машинной точностью. Решение же отдельно на каждой горизонтали с итерациями между ними приводит к вычислительной ошибке при определении вертикальных потоков, которая и приводит к значительной потере точности при определении поля давления.

Оператор сглаживания для многосеточного метода строится так, чтобы счет по вертикали происходил на одной итерации. Для этого модифицируется метод релаксации Гаусса-Зейделя. При решении уравнений эллиптического типа данным методом эффективным является так называемый красно-черный (шахматный) порядок прохождения точек.

Сохраним данный порядок прохождения точек сетки только по горизонтали. Неизвестные давления по вертикали (i,j – индексы узлов по осям x,y, соответственно, Nz – число узлов по

вертикали) находим через давления в соседних вертикалях , известных с предыдущей итерации. Для каждой вертикали получаем систему линейных уравнений.

Система уравнений для вертикали со скважиной и вертикали без скважины будут отличаться. Для решения системы трехточечных уравнений для вертикали без скважины может быть применен, например, метод прогонки.

Систему для вертикали скважины с заданным общим дебитом нельзя разрешить непосредственно, поскольку неизвестны правые части. Поэтому уравнения для перфорированной части скважины суммируются, а получившуюся в итоге систему можно эффективно решить методом прогонки для сложных систем.

Самостоятельно полученный итерационный процесс имеет все преимущества единого счета по вертикали, его недостаток – медленная сходимость при большом числе узлов сетки в плане ( и ), как и для двумерной сетки. Эффективно его использование в качестве оператора сглаживания в многосеточном методе для трехмерного случая. Многосеточные преобразования производятся относительно вертикальных векторов. Сетка огрубляется только в плане. Операторы продолжения и сужения остаются такими же, как для двумерного случая. Коэффициент вертикальной гидропроводности при переходе на грубые сетки будет характеризировать проводимость укрупненного блока. К счету по вертикали переходим лишь для нахождения векторов . Система уравнений на самой грубой сетке решается прямым методом. Выход из итерационного процесса происходит по невязке на мелкой сетке.

Расчеты

Разработанный трехмерный многосеточный алгоритм сохраняет все преимущества двумерного метода: быстро сходится, считает при критических с точки зрения сходимости параметрах уравнения.

Многосеточный алгоритм для трехмерного случая применялся для гидродинамических расчетов на одном из нефтяных месторождений Прикамья. Конечноразностная сетка имела размеры 89х182х60. На скважинах задавался суммарный дебит, параметры пласта и жидкостей – наблюдаемые на промысле. Время расчета сравнивалось с программным продуктом компании Roxar для гидродинамического моделирования Tempest 7.0. Для описанного выше алгоритма оно оказалось меньше. Необходимо отметить, что описанная выше модель имеет значительные упрощения. Однако для специалистов, непосредственно работающих на месторождении, достаточна информация без излишней детализации, важно получить результаты расчета как можно быстрее. Поэтому полученный результат является положительным.

Библиографический список

Stuben K., Trottenberg U. Multi-grid methods: fundamental algorithms, model problem analysis and applications // Multi-grid methods, Springer lecture notes in mathematica. – New York, Springer Verlag. № 960. 1982. 176 p.
Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. 211 с.
Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. – Казань, Изд-во КГУ, 1982. 207 с.

Количество просмотров публикации: Please wait

источники:

http://cyberleninka.ru/article/n/chislennoe-reshenie-zadachi-dvuhfaznoy-filtratsii-s-neodnorodnymi-koeffitsientami-metodom-konechnyh-elementov

http://web.snauka.ru/issues/2014/04/33063

	WWW.DISS.SELUK.RU

Неявных решение уравнения фильтрации для двухмерных плата

Неявных решение уравнения фильтрации для двухмерных плата

Б ЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Васильева Мария Васильевна, Прокопьев Григорий Анатольевич

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Васильева Мария Васильевна, Прокопьев Григорий Анатольевич

Текст научной работы на тему «Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов»

Неявных решение уравнения фильтрации для двухмерных плата

Постановка задачи

Б ЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)