Нормаль к плоскости заданной уравнением

Обозначения:
— $\vec=\$ — радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости.
— $\vec=\$ — радиус вектор точки $P(u_0, v_0)$.
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.

Уравнение касательной плоскости:

1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ \left(\vec-\vec, \, \vec_u, \, \vec_v \right)=0. $$ 2. Если поверхность задана параметрически, запишем определитель: \begin \left| \begin X-x & Y-y & Z-z \\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ \end \right|=0 \end 3. Если поверхность задана неявным уравнением: \begin \varPhi_x(X-x)+\varPhi_y(Y-y)+\varPhi_z(Z-z)=0. \end 4. В случая явного задания поверхности, уравнение касательной плоскости примет вид: \begin (Z-z)=z_x(X-x)+z_y(Y-y). \end

Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормали:

1.$$ \vec=\vec + \lambda\vec, \,\, \vec=\vec_u\times\vec_v. $$ 2. \begin \displaystyle\frac< \left| \begin y_u & z_u\\ y_v & z_v\\ \end \right|>= \displaystyle\frac< \left| \begin z_u & x_u\\ z_v & x_v\\ \end \right|>= \displaystyle\frac< \left| \begin x_u & y_u\\ x_v & y_v\\ \end \right|>. \end 3. \begin \displaystyle\frac<\varPhi_x>=\displaystyle\frac<\varPhi_y>=\displaystyle\frac<\varPhi_z>. \end 4. \begin \displaystyle\frac=\displaystyle\frac=\displaystyle\frac<-1>. \end

Решение задач

Задача 1 (Феденко №574)

Дана поверхность \begin x=u\,\mbox\,v,\,\, y=u\,\mbox\,v,\,\, z=u. \end Написать:
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $M\left(u=2, v=\displaystyle\frac<\pi><4>\right)$ поверхности.

Задача 2

Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $\vec=\$.

Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.

Задача 3

Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $\vec\<2,1,-1\>$.

Задача 4

Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.

Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.

Задача 5 (Феденко №594)

Докажите, что поверхности \begin z=\mbox(xy), \,\, x^2-y^2=a \end ортогональны в точках их пересечения.

Решение задачи 5

Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: \begin \begin \vec_1&=\left\<\frac<\mbox^2(x_0y_0)>,\frac<\mbox^2(x_0y_0)>,-1\right\>,\\ \vec_2&=\left\<2x_0,-2y_0,0\right\>. \end \end Скалярные произведения векторов $n_1$ и $n_2$ равны нулю, следовательно векторы ортогональны. \begin n_1\cdot n_2=0. \end

Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач

Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример

Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .

Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.

Теперь найдем уравнение заданной плоскости.

В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.

Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство

n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p

Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:

n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z

При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 .

cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.

Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .

Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.

Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.

Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 .

Отсюда cos α = — 1 4 , cos β = — 3 4 , cos γ = 6 4 .

Из выражения находим, что — 1 4 , — 3 4 , 6 4 — координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .

Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.

Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.

Рассмотрим на примере.

Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:

1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 — 3 = 0 1 3 x + 7 6 y — 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z — 11 = 0

Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , — 4 7 , 4 2 7 единице.

Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + — 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1

Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = — 2 5 .

Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:

n → = 1 3 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 9 + 1 4 + 1 16 = 61 12 ≠ 1

Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.

Ответ: 1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 z — 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .

Когда D = 0 , знак может быть любым.

Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .

Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .

Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .

Привести уравнение 2 x — 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.

Из условия имеем, что A = 2 , B = — 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.

— 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 1 2 2 + ( — 3 ) 2 + 1 2 = — 1 14

Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:

— 1 14 · 2 x — 3 y + z + 5 = — 1 14 · 0 ⇔ ⇔ — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0

Ответ: — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0 .

Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x — 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .

Из условия видно, что A = 3 , B = 0 , C = — 4 , D = 0 . Знака перед множителем нет, потому как D = 0 . Значит, возьмем со знаком « + ». Получаем выражение вида:

1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Ответ: 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.

При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.

Имеется уравнение плоскости вида — 1 3 x + 2 3 y — 2 3 z — 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , — 3 , 0 ) до плоскости.

Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:

— 1 3 · 1 + 2 3 · ( — 3 ) — 2 3 · 0 — 1 = 0

Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = — 3 1 3 = 3 1 3 .

Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p .

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , — 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y — 2 + z 4 = 1 .

По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.

Получаем: x 5 + y — 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0

Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1 1 5 2 + — 1 2 2 + 1 4 2 = 1 141 25 · 16 = 20 141

Обе части уравнения 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:

4 141 x — 10 141 y + 5 141 z — 20 141 = 0

Отсюда видно, что cos α = 4 141 , cos β = — 10 141 , cos γ = 5 141 , p = — 20 141 , x 0 = 5 , y 0 = — 1 , z 0 = 2

Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого расстояния от точки до плоскости:

p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p = 4 141 · 5 — 10 141 · — 1 + 5 141 · 2 — 20 141 = 20 141