Нормальная система дифференциальных уравнений это

23. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных

Уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется Линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на Ekx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т. е.:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно K. Это уравнение называется Характеристическим уравнением И имеет три корня K1, K2, K3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для K1:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для K2:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную У¢ =2X + 2Y из второго уравнения.

Подставим сюда У, выраженное из первого уравнения:

Обозначив , получаем решение системы:

Пример. Найти решение системы уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т. к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная Х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по Х. Получаем:

Заменяя значение Z’ из второго уравнения получаем: .

С учетом первого уравнения, получаем:

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле

Общее решение неоднородного уравнения:

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

Пример. Найти решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:

Если принять g = 1, то получаем:

Если принять g = 3, то получаем:

Общее решение имеет вид:

Элементы теории устойчивости.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов Качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

Этот метод особенно важен, т. к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т. е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

(1)

И начальные условия:

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального уравнения Непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производную на области прямоугольника, ограниченного , то решение

, удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно зависит от начальных данных, т. е. для любого , при котором если

то при условии, что

где

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если — решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется Устойчивым по Ляпунову, если для любого , такое, что для любого решения той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

Т. е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при T ³ T0.

Если , то решение j(t) называется Асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения системы Можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

(2)

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение

Теорема. Решение системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

Это тривиальное решение называется Положением равновесия Или Точкой покоя.

Определение. Точка покоя Системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого такое, что из неравенства

.

Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

Имеющая тривиальное решение .

Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

1) ³0 и V = 0 только при у1 = у2 = … = уN =0, т. е. функция V Имеет минимум в начале координат.

2) Полная производная функции V Вдоль фазовой траектории (т. е. вдоль решения Yi(T) системы (1)) удовлетворяет условию:

при

Тогда точка покоя устойчива по Ляпунову.

Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат выполнялось условие

Где B — постоянная величина, то точка покоя асимптотически устойчива.

Функция V называется Функцией Ляпунова.

Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется Устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и

или .

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней положителен.

В этом случае точка покоя Неустойчива, и такую точку называют Неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны .

В этом случае точка покоя Неустойчива, и такую точку называют Неустойчивым узлом.

Если полученного решения Системы исключить параметр T, то полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

b b

Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные .

Если Р = 0, т. е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется Центром.

Если P 0, то точка покоя неустойчива и называется Неустойчивым фокусом.

Уравнения математической физики.

Уравнения в частных производных.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных Называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

Порядком Дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением Уравнения будет некоторая функция , которая обращает уравнение в тождество.

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

Филипп Лыкошин 5 лет назад Просмотров:

1 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается что число равно числу неизвестных функций Например система двух первого имеет вид: d dz f( z 0 d d d dz f( z 0 d d Решение этой состоит в нахождении функций ( и z z( удовлетворяющих обоим уравнениям нормальной (НСДУ Нормальной системой называется система первого разрешённых относительно производной: f( ; f ( ; f ( где х независимая переменная ( неизвестные функции ( решения Решением называется совокупность функций ( удовлетворяющих каждому уравнению этой частного решения Частным решением СДУ называется решение удовлетворяющее заданным начальным условиям: ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 где заданные постоянные числа

2 Метод исключения неизвестных решения НСДУ Теорема о связи дифференциального уравнения -го с нормальной СДУ Одно дифференциальное уравнение -го разрешённое относительно старшей ( ( производной: f ( всегда можно свести к нормальной системе Теорема о связи дифференциального уравнения -го с нормальной СДУ Нормальную систему можно привести методом исключения неизвестных к одному уравнению порядок которого меньше или равен числу нормальной Алгоритм применения метода исключения неизвестных Дифференцируем первое уравнение по переменной х: ( f + ( f + ( f + + ( f Производные в правой части этого равенства заменяем их выражениями из НСДУ Получим уравнение F ( ( ( F + ( F + ( F + + ( F Производные в правой части этого равенства заменяем их выражениями из НСДУ Получим уравнение F 3( И так далее ( F ( Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединяем в систему: f( F ( F3 ( ( F ( Первые решаем относительно переменных ( выражая их через переменные Подставляя полученные выражения в последнее уравнение придём к уравнению относительно одной неизвестной

3 Замечание Порядок последнего уравнения может быть меньше если при его получении были использованы не все уравнения Метод выделения интегрируемых комбинаций Получают из такие уравнения которые можно проинтегрировать и найти первый интеграл Если найдены независимых первых интегралов НСДУ то их совокупность дает общий интеграл этой Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в так называемой симметрической форме: d d d d f( f ( f ( и используют следующее свойство равных дробей: если u u u γ v v v то при любых имеет место соотношение u + u + + u γ ( v + v + + v Значения подбираются таким образом чтобы числитель в ( был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и знаменатель были равны нулю Нормальная линейная однородная система -го (НЛОС Тип Нормальная линейная однородная система -го (НЛОС Вид Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций зависят от аргумента Признак Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части представляют собой линейные комбинации искомых функций Метод решения Метод исключения неизвестных (см НСДУ Фундаментальной системой решений НЛОС называется совокупность произвольных линейно независимых решений ( ( ( ( Y ( ( ( ( Если Y фундаментальная система частных решений ЛОС то общее решение имеет вид Y C Y где C C C произвольные постоянные

4 Нормальная линейная однородная система -го с постоянными коэффициентами Тип Вид Признак + Нормальная линейная однородная система -го с постоянными коэффициента ми + + Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций постоянны a a a A a a a a a a А матрица из коэффициентов при искомых функциях Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части представляют собой линейные комбинации искомых функций Метод решения Матричный метод Из характеристического уравнения det( A λ E 0 находят различные корни λ λ и для каждого корня λ (с учетом его кратности определяют соответствующее ему частное решение ( Y λ Общее решение имеет вид ( λ Y CY При этом если а λ действительный корень кратности (один то ( λ ξ ( λ ( λ ( λ λ ξ λ Y Y e e ( λ ξ (λ где Y собственный вектор матрицы A соответствующий собственному значению λ то есть ( λ AY ( λ ( λ λy Y 0 Если б λ комплексный корень кратности (один тогда корнем характеристического уравнения является также сопряженное с λ число λ Вместо комплексных частных ( решений Y λ ( и Y λ следует взять действительные частные решения ( λ ( λ Y ReY ( ( λ ( λ и Y ImY λ s

5 Если в λ корень кратности r то соответствующее этому корню решение ищут в виде вектора ( ( ( r r ( ( ( r r ( λ λ Y ( e ( коэффициенты которого ( ( ( r r ( j i i j r определяются из линейных получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в результате подстановки вектора ( в исходную систему План решения нормальной линейной однородной (НЛО СДУ с постоянными коэффициентами Составить характеристическое уравнение det( A λ E 0 ; Найти собственные числа λ λ λs и соответствующие им собственные векторы Y Y Ys ; 3 Составить фундаментальную систему частных решений Y ( λ 4 Составить общее решение Y C Y ( λ ξ i λ ξ i λi Yi e e i ; ξ 5 Для решения задачи Коши использовать данные начальные условия в соответствии с которыми найти значения произвольных постоянных C ; 6 Записать частное решение подставив в общее решение найденные значения произвольных постоянных нормальной линейной неоднородной СДУ Нормальной линейной неоднородной СДУ называется система ДУ называется система где по крайней мере одна из функций f ( не равна тождественно нулю ( : + + f f Замечание В силу теорем о связи нормальных систем ДУ с линейными ДУ го теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши о структуре общего решения однородных и неоднородных ДУ остаются справедливыми и для нормальных систем + f

Линейные системы дифференциальных уравнений – общая теория

Лекция 28. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Нормальная система дифференциальных уравнений, ее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Геометрическая и физическая интерпретация системы дифференциальных уравнений и ее решения.

Общая теория линейных систем дифференциальных уравнений .

Основные понятия и определения

При решении многих прикладных задач требуется найти функции , , …, , которые удовлетворяют системе уравнений, содержащих независимую переменную х, искомые функции , , …, и их производные, т.е. системе дифференциальных уравнений:

Говорят при этом, что система дифференциальных уравнений имеет порядок п₁ относительно неизвестной у₁, порядок п₂ относительно у₂, и т.д. Порядком системы называют число . Доказано, что всякую систему дифференциальных уравнений можно преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Общую теорию систем дифференциальных уравнений и методы их интегрирования рассмотрим на примере системы двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций. Для удобства механической интерпретации такой системы независимую переменную обозначим t, а искомые функции – , . В этом случае система дифференциальных уравнений имеет вид

(1)

порядок этой системы равен сумме порядков её уравнений, т.е. равен двум.

Если в системе (4.1) каждое из уравнений разрешено относительно производной одной из неизвестных функций:

(2)

то говорят, что система дифференциальных уравнений записана в нормальной форме. Порядком нормальной системы дифференциальных уравнений называют число входящих в нее уравнений.

Определение 1

Решением системы дифференциальных уравнений (1) (или (2)) называется любая пара непрерывно дифференцируемых на интервале функций , , которые при подстановке в систему обращают оба ее уравнения в тождества при всех .

Процесс нахождения решения системы дифференциальных уравнений называется интегрированием этой системы.

Определение 2

Пусть , – решение системы дифференциальных уравнений (2) (или (4)). График решения, т.е. совокупность точек трехмерногопространства , tÎ , называется интегральной кривой этой системы.

Определение 3

Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений (2) называется задача отыскания решения , этой системы, удовлетворяющего начальным условиям

, , (3)

где – заданные числа.

Для системы (2) справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема.1(Коши)

Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными по x и y в некоторой области D трехмерного пространства , то для любой внутренней точки ÎD существует единственное решение , системы дифференциальных уравнений (2), удовлетворяющее условиям , .

Пусть D – область пространства переменных , в которой выполнены условия теоремы Коши.

Определение 4

Совокупность функций , , зависящих от произвольных постоянных , и непрерывно дифференцируемых по t, называется общим решениемсистемы дифференциальных уравнений (2) в области D, если

1) эти функции удовлетворяют систем (2) при любых значениях постоянных С₁, C₂;

2) для любых начальных условий , , ÎD, существуют такие значения постоянных , что функции , удовлетворяет этим начальным условиям:

, .

Определение 5

Решение , , полученное из общего решения , при конкретных значениях постоянных , называется частным решением системы дифференциальных уравнений (2).

Задача Коши, по существу, есть задача нахождения частного решения заданной системы дифференциальных уравнений. Геометрически – это задача отыскания интегральной кривой системы (2), проходящей через данную точку пространства .

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений

Независимую переменную t будем рассматривать как некоторый параметр (например, время), а совокупность значений функций

, как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости . Эту плоскость будем называть фазовой плоскостью (или фазовым пространством), точку – фазовой точкой, скорость движения этой точки – фазовой скоростью.

Пусть материальная точка М движется в плоскости . В механике уравнения движения обычно записывают в параметрической форме

где – координаты движущейся точки М в момент времени t, которые являются функциями времени t. Известно, что скорость движения (вообще говоря, переменная) характеризуется вектором . В общем случае, скорость движения зависит от времени и положения точки . Если эта зависимость известна, то имеем

(4)

Получили систему дифференциальных уравнений. Значит, уравнения системы устанавливают зависимость координат вектора скорости от времени t и положения точки на фазовой плоскости. Если рассматривать задачу Коши, то начальные условия , задают положение точки в начальный момент времени .

Таким образом, система дифференциальных уравнений (.4) определяет в фазовой плоскости множество векторов скоростей движущейся точки – векторное поле скоростей. Всякое решение

системы дифференциальных уравнений представляет собой закон движения точки, поэтому решение называют просто движением, определяемым системой (4). Уравнения движения определяют также и траекторию этого движения в фазовой плоскости – фазовую траекторию. При этом вектор скорости в каждой точке фазовой траектории совпадает с вектором заданного поля скоростей. Множество всех решений системы определяет множество фазовых траекторий, которые мы будем называть фазовым портретом системы дифференциальных уравнений. Не следует путать фазовые траетории и интегральные кривые системы дифференциальных уравнений: фазовые траектории представляют собой проекцииинтегральных кривых пространства на плоскость (рисунок 4.1).

В связи с такой механической интерпретацией системы дифферен­циаль­ных уравнений эту систему принято называть динамической.

Если в этих рассуждениях отвлечься от чисто механической природы движения и рассмотреть движение как некоторый процесс (эволюционный, работу прибора, радиоактивный распад, размножение бактерий и т.п.), то фазовое пространство есть множество состояний этого процесса (раньше состояние процесса называли фазой – отсюда и используемый термин). Значит,система дифференциальных уравнений определяет множество возможных состояний описываемого ею процесса.

Если система (4.4) такова, что в некоторой точке ее правые части равны нулю для всех рассматриваемых значений t, т.е.

то эта система имеет решение . Такое решение называется состоянием покоя или состоянием равновесия. Интегральная кривая этого решения – прямая, а фазовая траектория – точка (т.е. точка М на самом деле не движется, т.к. фазовые скорости равны нулю, рисунок 4.2). Точку называют точкой покоя или положением равновесия.

Из динамических систем наиболее важную роль играют автономные системы.

Если функции в системе дифференциальных уравнений (4.4) не зависят явно от t, то эта система называется автономной(стационарной):

Автономность системы означает, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой дифференциальных уравнений, не меняется с течением времени, что обычно и бывает с физическими законами. Иными словами, если

есть решение системы дифференциальных уравнений

то функции где t – const, также есть решение этой системы. Решения отличаются только сдвигом во времени, им соответствуют различные интегральные кривые, но одна и та же фазовая траектория (рисунок 4.3).

Для автономной системы поле скоростей стационарно (не меняется во времени) и движение является установившимся. Причем, если выполняются условия теоремы существования и единственности, то через каждую точку фазового пространства автономной системы проходит единственная фазовая траектория.

Линейные системы дифференциальных уравнений – общая теория

Наибольший интерес в силу обширности приложений представляют линейные системы дифференциальных уравнений, т.е. системы вида

(5)

где – заданные функции, .

Если , для всех , то такая линейная система дифференциальных уравнений

(6)

называется однородной. В противном случае система (5) называется неоднородной.

Если все коэффициенты – действительные числа, то систему (5) (или (6)) называют линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теория линейных систем дифференциальных уравнений (свойства их решений, структура общего решения и специальные методы интегрирования) аналогична теории линейных дифференциальных уравнений. Ограничимся рассмотрением линейных систем с постоянными коэффициентами.

Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений (6) с постоянными коэффициентами. Два частных решения и этой системы называются линейно независимыми в интервале , если определитель

*)

для всех .

Фундаментальной системой решений (ФСР) системы линейных однородных дифференциальных уравнений называется совокупность двух линейно независимых решений < , > этой системы. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2

Если система частных решений является фундаментальной, то общее решение системы (4.6) имеет вид

где – произвольные постоянные.