Нормальное уравнение плоскости в прямоугольных координатах
Нормальное уравнение плоскости
В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,
(1)
где r− расстояние от начала координат до плоскости Ω, а α,β,γ− это углы между единичным вектором n, ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz, соответственно (Рис.1). (Если r>0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω, если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).
Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную плоскости Ω, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).
Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz, соответственно.
Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:
n=<cosα, cosβ, cosγ>.
(2)
Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M (x,y, z). Точка M лежит на плоскости Ω тогда и только тогда, когда проекция вектора на прямую R равна r, т.е.
(3)
Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:
,
(4)
где − обозначен скалярное произведение векторов n и , а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и .
Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:
.
(5)
Учитывая, что n=<cosα, cosβ, cosγ>, , мы получим:
.
(6)
Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:
xcosα+ycosβ+zcosγ=r,
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.
(7)
Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .
Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r, т.е. если |n|=1 и r>0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.
Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:
.
(7)
Определить, является ли уравнение (7) нормальным уравнением плоскости и если да, то определить расстояние данной плоскости от начала координат.
Решение. Нормальный вектор плоскости имеет следующий вид:
Определим длину вектора n:
Ответ: Длина вектора n равна 1, , следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а − это расстояние плоскости от начала координат.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Ax+By+Cz+D=0.
(8)
Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи «Общее уравнение плоскости»), то существует такое число t, что
tA=cosα, tB=cosβ, tC=cosγ, tD=−r.
(9)
Возвышая в квадрат первые три равенства в (9) и складывая их, получим:
t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2 )=1,
.
(11)
Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).
Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до плоскости, то r≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D.
Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD=0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .
Пример 2. Задано общее уравнение плоскости
2x−3y+6z+4=0.
(12)
Построить нормальное уравнение плоскости (12).
Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=6, D=4. Вычислим t из равенства (11):
.
Так как D>0, то знак t отрицательный:
.
Умножим уравнение (12) на t:
.
Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:
.
Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).
∀ x, y, z
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Сообщения: 2 🔎
# 1 Июл 2016 18:45:00 Evgeniy
Общее уравнение плоскости
Утверждение. Всякое уравнение первой степени вида , где , и — некоторые действительные числа, где 0$» title=»$A^2+B^2+C^2>0$»>, то есть , и одновременно не равны нулю, задает плоскость в прямоугольной системе координат , и обратно, любая плоскость в прямоугольной системе координат задается уравнением вида при некотором наборе значений , и .
Утверждение состоит из двух частей.
Докажем сначала, что уравнение вида задает плоскость.
Всегда найдется точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, . Это следует из того, что система линейных уравнений, состоящая из одного уравнения , всегда имеет решение.
Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем эквивалентное уравнение вида .
Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат плоскость, перпендикулярную направлению вектора .
Таким образом, уравнение задает плоскость в прямоугольной декартовой системе координат , следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. Таким образом, первая часть утверждения доказана.
Теперь докажем обратное, что всякая плоскость в прямоугольной системе координат определяется уравнением вида .
Пусть в прямоугольной системе координат задана плоскость , проходящая через точку , причем — нормальный вектор плоскости , и пусть — произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если обозначить , то получим уравнение , которое соответствует плоскости .
Итак, доказательство утверждения завершено.
# 1 Июл 2016 19:04:43 Evgeniy
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости вида называется нормальным уравнением плоскости, если длина вектора нормали равна единице, то есть , и кроме того принимается соглашение, что коэффициент .
Обычно нормальное уравнение плоскости записывают в виде:
Здесь — направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , причем . Кроме того с учетом соглашения о знаке свободного коэффициента .
Найдем расстояние от произвольной точки до плоскости , которая задана нормальным уравнением .
Пусть — произвольная точка плоскости . Тогда расстояние от точки до плоскости будет равно длине проекции вектора на нормаль .
Проекция вектора на нормаль выражается через скалярное произведение:
Если в качестве точки взять начало координат , то получим . Отсюда, в частности, следует, что расстояние от начала координат до плоскости равно .
Если изначально не накладывать ограничения на знак , то величина будет положительной в том случае, если точка лежит в полупространстве относительно плоскости , в которую направлен вектор , будет отрицательной в случае, если точка лежит в полупространстве относительно плоскости , в которую направлен вектор , и будет нулевой, если точка принадлежит плоскости .
Поскольку по принятому соглашению и при этом значение , то можно сделать вывод, что условие определяет направление вектора нормали так, что он направлен из начала координат к плоскости.
Таким образом, можно заключить, что значение будет отрицательным, если точка находится в одном полупространстве с началом координат , будет положительным, если точка не находится в одном полупространстве с началом координат , и будет нулевым, если принадлежит самой плоскости.
Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач
Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости – описание и пример
Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .
Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.
Теперь найдем уравнение заданной плоскости.
В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.
Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство
n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p
Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:
n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z
При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 .
cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.
Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .
Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.
Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.
Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 .
Отсюда cos α = — 1 4 , cos β = — 3 4 , cos γ = 6 4 .
Из выражения находим, что — 1 4 , — 3 4 , 6 4 — координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .
Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.
Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.
Рассмотрим на примере.
Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:
1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 — 3 = 0 1 3 x + 7 6 y — 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z — 11 = 0
Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , — 4 7 , 4 2 7 единице.
Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + — 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1
Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.
Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = — 2 5 .
Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:
Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.
Ответ: 1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 z — 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .
Когда D = 0 , знак может быть любым.
Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .
Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .
Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .
Привести уравнение 2 x — 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.
Из условия имеем, что A = 2 , B = — 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.
— 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 1 2 2 + ( — 3 ) 2 + 1 2 = — 1 14
Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:
— 1 14 · 2 x — 3 y + z + 5 = — 1 14 · 0 ⇔ ⇔ — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0
Ответ: — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0 .
Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x — 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .
Из условия видно, что A = 3 , B = 0 , C = — 4 , D = 0 . Знака перед множителем нет, потому как D = 0 . Значит, возьмем со знаком « + ». Получаем выражение вида:
1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5
При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x — 4 5 z = 0 .
Ответ: 3 5 x — 4 5 z = 0 .
Нахождение расстояния от точки до плоскости
Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.
При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.
Имеется уравнение плоскости вида — 1 3 x + 2 3 y — 2 3 z — 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , — 3 , 0 ) до плоскости.
Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:
— 1 3 · 1 + 2 3 · ( — 3 ) — 2 3 · 0 — 1 = 0
Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = — 3 1 3 = 3 1 3 .
Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p .
Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , — 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y — 2 + z 4 = 1 .
По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.
Получаем: x 5 + y — 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0
. (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).
на прямую R равна r, т.е.
,
− обозначен скалярное произведение векторов n и 
.
, мы получим:
.
.
, следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а 
− это расстояние плоскости от начала координат.
.
.
.
.
является расстоянием от начала координат до прямой (12).
