Нормальный вид уравнения прямой онлайн

Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2).

(1)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:

(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).

(2)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Онлайн калькулятор. Уравнение прямой проходящей через две точки

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти параметрическое и каноническое уравнение прямой проходящей через две точки.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения прямой и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение прямой

Выберите необходимую вам размерность:

Введите координаты точек.

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения прямой

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для составления уравнения прямой

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение прямой.

Прямая — один из базовых элементов геометрии. Используя уравнения прямых можно существенно упростить решение многих задач.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Рассмотрим выведение нормального уравнения.

Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.

Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .

O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .

Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p

Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y

Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.

Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.

Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .

Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.

Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.

Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:

1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.

Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .