Отклонение точки от прямой
В данной статье мы рассмотрим понятие отклонения точки от прямой на плоскости. Приведем примеры нахождения отклонения точки от прямой.
Отклонение точки от прямой на плоскости − это расстояние от точки до прямой, взятой со знаком «+», если эта точка и начало координат лежат по разные стороны прямой, и со знаком «−», если точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.
Если прямая проходит через начало координат, то отклонение точки от прямой предполагается равным расстоянию от точки до прямой, взятой со знаком «+», если точка лежит по ту сторону от прямой, куда направлен пормальный вектор прямой, и равным расстоянию от точки до прямой, взятой со знаком «−», в противном случае.
Обозначим отклонение точки от прямой символом δ, а расстояние от точки до прямой символом d. На рисунке Рис.1 отклонение точки M1 от прямой L равно δ=+d1, так как точка M1 и начало координат O лежат по разные стороны прямой L, а отклонение точки M2 от прямой L равно δ=−d2, так как точка M2 и начало координат O лежат по одну сторону от прямой L.
На рисунке Рис.2 прямая L проходит через начало координат. Поэтому, отклонение точки M1 от прямой L равно δ=+d1, так как точка M1 лежит по ту сторону прямой L, куда направлен нормальный вектор n прямой L, а отклонение точки M2 от прямой L равно δ=−d2, так как точка M2 лежит по противоположную сторону прямой, куда направлен нормальный вектор n прямой L
xcosφ+ysinφ−r=0. | (1) |
где r− расстояние начала координат до прямой L, а φ− угол между нормальным вектором прямой L и осью Ox.
Покажем, что левая часть нормального уравнения прямой дает отклонение точки M(x,y) от прямой, заданной уравнением (1). Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 1. Пусть прямая L определяется нормальным уравнением прямой (1). Тогда отклонением точки M с координатами x, y от прямой L равно δ=xcosφ+ysinφ−r.
Доказательство. Проведем через нормальный вектор прямой L линию OQ (Рис.3). Проекция точки М на прямую OQ будет точка S. Отклонение δ точки M от прямой L будет равно SR.
δ=SR=OS−OR=OS−r. | (2) |
, | (3) |
, | (4) |
где n− единичный нормальный вектор прямой L, α−угол между векторами n и .
Из (3) и (4) следует:
. | (5) |
С другой стороны
, | (6) |
так как нормальный вектор прямой имеет координаты n=<cosφ, sinφ>, а точка M − M(x, y).
Сопоставляя (2), (5) и (6), получим:
δ=xcosφ+ysinφ−r. |
Таким образом, как следует из теоремы 1, для вычисления отклонения некоторой точки M0(x0, y0) от прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения прямой (1) подставить координаты точки M0:
δ=x0 cosφ+y0 sinφ−r. |
Заметим, расстояние от точки M0 до прямой L будет равно модулю отклонения данной точки от прямой.
Пример 1. Задано нормальное уравнение прямой:
. | (7) |
Найти отклонение точки M(5,-3) от прямой (7).
Решение. Подставим координаты точки M(5,−3) в левую часть уравнения (7):
. |
Ответ. Отклонение точки M(5,−3) от прямой (7) равно:
. |
Пример 2. Задано общее уравнение прямой:
Найти отклонение точки M(1,1) от прямой (8).
Решение. Один из простых методов решения − это приведение общего уравнения прямой к нормальному виду (подробнее об этом читайте в статье «нормальное уравнение прямой»). Для приведения уравнения (8) к нормальному виду, нужно умножить данное уравнение на нормирующий множитель:
. |
Так как в уравнении (8) третий коэффициент равен +1, то знак нормирующего множителя должен быть противоположным:
. |
Умножив уравнение (8) на нормирующий множитель, получим:
. |
Теперь найдем отклонение точки M(1,1) от прямой (8). Для этого вставим координаты точки M в левую часть уравнения(8):
. |
Ответ. Отклонение точки M(1,1) от прямой (8) равно:
Нормированное уравнение прямой
Пусть l — произвольная прямая (рис. 102).
Обозначим через p расстояние от начала координат до прямой l, а через φ — угол между осью Ох и нормальным вектором прямой l. Угол будем отсчитывать от оси Оx в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Очевидно, что положение прямой на плоскости полностью определяется заданием величин p и φ. Выразим коэффициенты уравнения прямой l через p и φ.
Пусть M0 — точка пересечения прямой l и перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат, n0 — единичный нормальный вектор прямой l, т. е. |n0| = 1. Координаты точки M0 и вектора n0 выражаются через заданные величины p и φ следующим образом:
Известно уравнение прямой, проходящей через точку (х0; у0) с нормальным вектором <А; В):
Подставив в это уравнение координаты точки M0 и вектора n0, получим
cos φ <x — p cos φ) + sin φ (у — р sin φ) = 0,
х cos φ + у sin φ — р (cos 2 φ + sin 2 φ) = 0.
В результате приходим к уравнению
х cos φ + у sin φ — р = 0.
Оно называется нормированным уравнением прямой.
В нормированном уравнении все коэффициенты имеют геометрический смысл: коэффициенты при переменных х и у — координаты единичного нормального вектора прямой; свободный член (-р) равен расстоянию от начала координат до прямой, взятому со знаком «минус». Подчеркнем еще раз, что в нормированном уравнении прямой свободный член меньше или равен нулю.
Рассмотрим, например, уравнение х — у + 5√ 2 = 0. Оно не является нормированным: вектор (1; -1) не единичный, так как | n | =√ 2 =/=1; свободный член уравнения положителен. Умножим обе части уравнения на (- 1 /√ 2 ). Тогда уравнение прямой примет вид
и станет нормированным, так как теперь вектор (- 1 /√ 2 ; 1 /√ 2 ) очевидно, единичный, а свободный член уравнения отрицателен. Нормальный вектор рассматриваемой прямой образует с осью Оx угол φ такой, что cos φ = — 1 /√ 2 , sin φ = 1 /√ 2 ,
т. е. φ = 135°. Прямая проходит на расстоянии 5 единиц длины от начала координат.
Общее уравнение прямой
всегда можно привести к нормированному виду (нормировать). Если С 0 сводится к предыдущему умножением обеих частей уравнения на -1. Поэтому, если С > 0, то за нормирующий множитель следует взять число \( -\frac<1><\sqrt> \)
Задача. Вычислить расстояние от начала координат до прямой 6x — 8y + 25 = 0.
Тaк как С = 25 > 0, то, умножив обе части уравнения на нормирующий множитель
получим нормированное уравнение данной прямой
Учитывая геометрический смысл свободного члена нормированного уравнения прямой, видим, что искомое расстояние равно 2,5.
Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.
Нормальное уравнение прямой – описание и пример
Рассмотрим выведение нормального уравнения.
Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.
Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .
O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .
Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p
Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y
Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.
Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.
Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.
Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .
Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду
Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.
Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.
Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.
Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.
Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:
1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5
Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .
Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.
Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .
http://razdupli.ru/teor/115_normirovannoe-uravnenie-pryamoj.php
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/normalnoe-normirovannoe-uravnenie-prjamoj/