Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.
Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи» вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $\left \ < \begin
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:
Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?
Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:
Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.
Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде «$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$», пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $\left(\begin
Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.
Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.
Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.
Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть
Прежде чем дать определение этим терминам, стоит вспомнить, что означает фраза «ранг матрицы равен $r$». Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют. Теперь можно дать следующее определение:
Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.
Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.
С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен $r$, то такая СЛАУ имеет $n-r$ линейно независимых решений: $\varphi_1$, $\varphi_2$. $\varphi_
Часто вместо словосочетания «фундаментальная система решений» используют аббревиатуру «ФСР». Если решения $\varphi_1$, $\varphi_2$. $\varphi_
$$ X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+\ldots+C_
где $C_1$, $C_2$. $C_
Что значит «линейно независимые решения»? показать\скрыть
В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных.
Решения $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\ldots$, $\varphi_n$ называются линейно зависимыми, если существуют такие константы $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\alpha_3,\ldots,\alpha_n$, что выполняется следующее равенство:
$$ \alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\ldots+\alpha_n\cdot \varphi_n=O $$
при условии, что среди коэффициентов $\alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.
Если же указанное выше равенство возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$, то система решений называется линейно независимой.
Буква «$O$» в данном определении обозначает нулевую матрицу. Проще всего пояснить это определение на конкретном примере. Давайте рассмотрим ту СЛАУ, о которой шла речь в начале темы. Мы уже проверили, что $\varphi_1=\left(\begin
Примем $\alpha_1=-1$, $\alpha_2=0$, $\alpha_3=4$, $\alpha_4=3$. Выясним, чему же равно выражение $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4$:
$$ \alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4= -1\cdot \left(\begin
Итак, существуют такие значения констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, не все одновременно равные нулю, что выполняется равенство $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4=O$. Вывод: совокупность решений $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ – линейно зависима.
Для сравнения: равенство $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2=O$ возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=0$ (я не буду это доказывать, поверьте на слово 🙂 ). Следовательно, система $\varphi_1$, $\varphi_2$ является линейно независимой.
Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.
Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:
$$ \left( \begin
Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.
И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $\rang A=\rang\widetilde = 2$.
Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:
На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.
В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.
Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $\left( \begin
Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:
$$ M_<2>^<(1)>=\left| \begin
Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.
Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:
$$ M_<2>^<(2)>=\left| \begin
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_2$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.
Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.
Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_
В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.
Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно $n-r=2$. Свободными переменными будут $x_2$ и $x_4$. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.
Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $\left( \begin
$$ \left( \begin
Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:
Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть
Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $\left( \begin
Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.
А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:
$$ \left( \begin
Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, получим:
Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-\frac<4><3>x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:
$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3\cdot \left(2x_2-\frac<1><3>x_4\right)-6x_2+9\cdot \left(-\frac<4><3>x_4\right)+13x_4=0. $$
Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.
Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать $n-r=2$ решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: сначала базисные $x_1$, $x_3$, а затем свободные $x_2$ и $x_4$. Всего в таблице будут три строки. Так как у нас 2 свободные переменные, то под свободными переменными запишем единичную матрицу второго порядка, т.е. $\left(\begin
Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что $x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-\frac<4><3>x_4$. Если $x_2=1$, $x_4=0$, то:
Найденные значения $x_1=2$ и $x_3=0$ запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:
Заполним и третью строку. Если $x_2=0$, $x_4=1$, то:
Найденные значения $x_1=-\frac<1><3>$ и $x_3=-\frac<4><3>$ запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:
Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: $X=\left(\begin
$$ \varphi_1=\left(\begin
Совокупность $\varphi_1=\left(\begin
$$ X=C_1\cdot\left(\begin
где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.
Ответ: Общее решение: $\left\ <\begin
Записать ФСР однородной СЛАУ
зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.
Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:
Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.
Ранг матрицы системы $r=3$ (поэтому у нас три базисных переменных), количество переменных $n=5$. Количество свободных переменных и количество решений ФСР равно $n-r=2$.
Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. При составлении учтём, что $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные, а $x_4$, $x_5$ – свободные переменные.
Совокупность $\varphi_1=\left(\begin
$$ X=C_1\cdot\left(\begin
где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.
Ответ: Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin
Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.
Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
Решение , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , называется устойчивым no Ляпунову при , если для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существует 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> такое, что для всякого решения , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям
имеют место неравенства
Если при сколь угодно малом 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> хотя бы для одного решения , неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым .
Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие
то решение , называется асимптотически устойчивым .
Исследование на устойчивость решения , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения , некоторой системы, аналогичной системе (1),
Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1′).
Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову , если, каково бы ни было 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» />, можно найти такое 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» />, что для любого решения , начальные данные которого , удовлетворят условию
Для случая геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус цилиндра с осью , в плоскости найдется δ-окрестность точки такая, что все интегральные кривые , выходящие из этой окрестности, для всех будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).
Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие , то устойчивость асимптотическая .
Точка покоя , неустойчива , если при сколь угодно малом 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> хотя бы для одного решения , условие (3′) не выполняется.
Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию
Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение . Начальному условию удовлетворяет решение
уравнения (5). Начальному условию удовлетворяет решение
Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:
Отсюда видно, что для всякого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существует 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> (например, ) такое, что для всякого решения уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию , выполняется неравенство
для всех . Следовательно, решение является устойчивым. Более того, поскольку
решение является асимптотически устойчивым.
Это решение является неограниченным при .
Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения
Решение. Оно имеет очевидные решения
Интегрируем уравнение (8): , или , откуда
Все решения (9) и (10) ограничены на . Однако решение неустойчиво при , так как при любом имеем (рис.31).
Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения , вообще говоря, не следует их устойчивости . Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.
Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям , устойчиво
Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть . Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям , имеет вид
Возьмем произвольное 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> и покажем, что существует 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> такое, что при имеют место неравенства
Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,
для всех . Поэтому, если то и подавно
Следовательно, если, например, взять , то при и в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех , т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову , но эта устойчивость не асимптотическая.
Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений
либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.
Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.
Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения
Решение. Оно имеет очевидные решения и .
Решение этого уравнения неустойчиво, а решение является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения уравнения (14)
Теория устойчивости дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения
Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши
Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную 
в некоторой области 
изменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.
Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.
Теорема:
Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения
непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную 
в некоторой области G изменения t , х, то решение
удовлетворяющее начальному условию 
непрерывно зависит от начальных данных.
Иными словами, пусть через точку 
проходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке 
Тогда для любого 
найдется такое 
решение 
уравнения (1), проходящее через точку 
существует на отрезке 
и отличается там от x(t) меньше чем на 
Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений
При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке 
Переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.
Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
где t — независимая переменная (время); 
искомые функции; 
функции, определенные для 
из некоторой области 
Если функции
в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по 
то для системы (3) справедлива локальная теорема существования:
для каждой системы значений
существует единственное решение
системы (3), определенное в некотором интервале 
изменения t и удовлетворяющее начальным условиям
Введем следующее понятие. Пусть
— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение
называется продолжением решения 
если оно определено на большем интервале 
и совпадает с при 
Решение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось 
(на полуось 
или 
соответственно).
Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), 
(глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система
где 
— непрерывные функции на 
Для нее каждое решение 
существует на (неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.
Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения
непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция
является решением задачи
Однако это решение существует только в интервале 
зависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал 
Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).
Задача:
Показать, что решения уравнения
нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.
Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
где функция f(t,x) определена и непрерывна для 
и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную 
. Пусть функция
есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию
Пусть, далее, функция
есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию
Предполагается, что решения 
определены для всех 
неограниченно продолжаемы вправо.
Определение:
Решение 
уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при 
если для любого 
такое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства
для всех 
(всегда можно считать, что 
Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению остаются близкими и при всех Геометрически это означает следующее. Решение
уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую , все достаточно близкие к ней в начальный момент 
интегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех (рис. 1).
Если при сколь угодно малом 
хотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при 
Определение:
Решение уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если
1) решение устойчиво;
2) существует 
такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию 
имеем
Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению , не только остаются близкими к нему при , но и неограниченно сближаются с ним при 
Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.
Пример:
Исследовать на устойчивость тривиальное решение
Решение , очевидно, удовлетворяет начальному условию
Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию
Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была 
-полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует , например, 
такое, что любая интегральная кривая 
для которой 
целиком содержится в указанной полоске для всех 
Следовательно, решение 
устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение при не стремится к прямой х = 0.
Пример:
Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения
Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию
Возьмем любое > 0 и рассмотрим разность решений 
Поскольку 
для всех , из выражения (***) следует, что существует 
например, такое, что при 
имеем
Согласно определению (1) это означает, что решение 
уравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем
поэтому решение асимптотически устойчиво (рис. 3).
Пример:
Показать, что решение
В самом деле, при сколь угодно малом 
решение
этого уравнения не удовлетворяет условию
при достаточно больших t > to. Более того, при любых 
имеем
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
где функции fi определены для 
из некоторой области D изменения 
и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при 
Определение:
системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого > 0 существует 
такое, что для всякого решения 
той же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию
для всех т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех
Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения не все неравенства (5) выполняются, то решение 
называется неустойчивым.
Определение:
системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:
1) решение это устойчиво;
2) существует 
такое, что всякое решение системы, для которого
Пример:
Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы
удовлетворяющее начальным условиям
устойчиво.
Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть
Решение этой системы, удовлетворяющее условиям 
имеет вид
Возьмем произвольное > 0 и покажем, что существует 
такое, что при 
выполняются неравенства
для всех Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение 
системы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:
то при 
будут иметь место неравенства
для всех 
т.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.
Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение
Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция
Решение, удовлетворяющее начальному условию 
имеет вид 
Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого 
существует например такое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство 
удовлетворяет условию 
Последнее означает, что решение 
устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при
Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение
Оно имеет очевидные решения
Интегрируя уравнение (6), находим
Все решения (7) и (8) ограничены на 
Однако решение неустойчиво при так как при любом 
имеем
Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.
Замечание:
Исследуемое на устойчивость решение
системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение
другой системы заменой
В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение
и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение 
этого уравнения. Положим, что
(величину 
называют возмущением). Тогда
и подстановка в (*) приводит к равенству
Но — решение уравнения (*), поэтому
Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим
Это уравнение имеет решение 
так как при его левая и правая части тождественно по t равны нулю:
Таким образом, вопрос об устойчивости решения уравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.
Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя
Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид
Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему
и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что
Тогда система функций
будет решением системы (1). Точку 
фазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой
есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар
и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Определение:
Будем говорить, что точка покоя
системы (1) устойчива, если для любого 
существует такое 
что любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент 
все время затем остается в шаре 
Точка покоя асимптотически устойчива, если:
1) она устойчива;
2) существует такое 
что каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области 
стремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).
Поясним это определение примерами.
Пример:
Траектории здесь — концентрические окружности
с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять то любая траектория, начинающаяся в круге 
, остается все время внутри , а следовательно, и внутри , так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при и точка покоя не является асимптотически устойчивой.
Пример:
Пусть дана система
поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Любая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри , остается все время в круге 
и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Следовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.
Пример:
Возьмем, наконец, систему
и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.
Простейшие типы точек покоя
Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
Решение будем искать в виде
Для определения 
получаем характеристическое уравнение
Величины 
с точностью до постоянного множителя определяются из системы
Возможны следующие случаи.
А. Корни 
характеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид
- Пусть
Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент в произвольной окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, окрестности начала координат, а при стремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом
Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей 
все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент 
в произвольной 
окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, При С2 = 0 из (4) получаем
и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом
Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом
Пусть теперь 
и (для определенности) 
Тогда в силу (4)
т. е. все траектории (исключая лучи 
в окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча
2. Если 
то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).
Пример:
Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение
имеет корни 
так что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению
Оно имеет решения
так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)
3. Пусть теперь 
тогда точка покоя неустойчива.
При С2 = 0 получаем решение
С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу
в направлении от начала 
неограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:
Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу
в направлении к началу координат 
. Если 
так и при 
траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).
Пример:
Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы
Характеристическое уравнение системы
имеет корни 
Перейдем к одному уравнению
интегрируя которое получаем
Уравнение (6) имеет также решения 
Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.
Б. Корни 
характеристического уравнения — комплексные: 
Общее решение системы (2) можно представить в виде
где C1 и C2 — произвольные постоянные, а 
— некоторые линейные комбинации этих постоянных
- Пусть в этом случае множитель стремится к нулю при а вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
- Если то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
- Если же то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение
в этом случае множитель 
стремится к нулю при 
то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение
не стремится к нулю при
Пример. Рассмотрим систему уравнений
Характеристическое уравнение системы
имеет комплексные корни 
Перейдем от системы к одному уравнению
и введем полярные координаты 
Тогда
Используя уравнение (9), находим, что
Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при 
в зависимости от того, будет ли а 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид
Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.
В. Корни характеристического уравнения кратные: 
Случай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид
( — некоторые линейные комбинации С1, С2).
- Если то из-за наличия множителя решения х(t), y(t) стремятся к нулю при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
- При замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.
то из-за наличия множителя 
решения х(t), y(t) стремятся к нулю при 
замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.Пример:
Для системы уравнений
имеет кратные корни 
Деля второе уравнение системы на первое, найдем
Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.
Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай 
исключен условием
Пример:
Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.
Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид
где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой
Характеристическое уравнение для системы (**)
Если 0 
— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.
График решения и фазовая кривая при 0 
Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение
Справедливы следующие предложения:
1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители 
стремящиеся к нулю при 
2) если хотя бы один корень 
характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;
3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.
Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.
Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна
Теорема:
Решения Системы линейных дифференциальных уравнений
либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.
Преобразуем произвольное частное решение
системы (11) в тривиальное с помощью замены
Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):
Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).
В самом деле, пусть тривиальное решение
системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого 
такое, что для всякого другого решения системы 
из условия 
следует, что
Замечая, что 
получаем, что из условия
для всякого решения 
исходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения 
этой системы.
Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.
Пример:
Рассмотрим нелинейное уравнение
Оно имеет очевидные решения
Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения
стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.
Замечание:
Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.
Метод функций Ляпунова
Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции 
— так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.
Ограничимся рассмотрением автономных систем
для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.
Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя 
системы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории 
до начала координат
(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что 
то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.
Определение:
Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G
где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при
Так, в случае n = 3 функции
будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.
Определение:
Функция 
называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при
будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:
отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при 
а именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.
Пусть 
— дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть
являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем
Определение:
Величина 
определяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).
Определение:
Функций 
обладающую свойствами:
1) 
дифференцируема в некоторой окрестности 
начала координат;
2) 
определенно-положительна в и 
3) полная производная 
функции , составленная в силу системы (1),
всюду в , называют функцией Ляпунова.
Теорема:
Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений
существует дифференцируемая знакоопределенная функция , полная производная 
которой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя 
системы (1) устойчива.
Приведем идею доказательства. Пусть для определенности 
есть знакоположительная функция, для которой 
Так как
причем v = 0 лишь при 
то начало координат есть точка строгого минимума функции 
В окрестности начала координат поверхности уровня
функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как 
только для 
то поверхность
в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).
Линии уровня 
представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если 
то линия уровня 
целиком лежит внутри области, ограниченной линией 
Зададим 
При достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать 
такое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v 
существует дифференцируемая знакоопределенная функция полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя 
системы (1) асимптотически устойчива.
Пример:
Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы
Выберем в качестве функции v(x, y) функцию
Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем
Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.
Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы
Таким образом, 
есть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.
Теорема:
О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений
существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная составленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положительные значения, то точка покоя 
системы (4) неустойчива.
Пример:
Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы
Для нее функция
знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, 
вдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).
Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде
Устойчивость по первому (линейному) приближению
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
и пусть 
есть точка покоя системы, т. е.
Будем предполагать, что функции 
дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат
а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно 
Система дифференциальных уравнений (1) примет вид
Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему
называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).
Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение
Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид
Решение 
уравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию 
имеет вид 
и перестает существовать при 
(решение не продолжаемо вправо).
Теорема:
Если все корни характеристического уравнения
имеют отрицательные действительные части, то точка покоя 
системы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.
При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
Теорема:
Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.
В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.
Пусть для простоты корни 
характеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица 
будет диагональной:
где 
— матрица из коэффициентов системы (4). Положим
и система (4) преобразуется к виду
или, в силу выбора матрицы Т,
Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему
причем в 
опять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при 
Рассмотрим следующие возможности:
1. Все корни 
— отрицательные. Положим
тогда производная в силу системы (8) будет иметь вид
где 
малая более высокого порядка, чем квадратичная форма 
Таким образом, в достаточно малой окрестности 
точки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная 
знакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.
2. Некоторые из корней 
положительные, а остальные — отрицательные. Положим
Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых 
Что касается производной то, поскольку 
отрицательны, производная — знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.
В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.
Пример:
Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы
Система первого приближения имеет вид
Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):
Корни характеристического уравнения 
нулевое решение 
системы (*) неустойчиво.
Пример:
Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы
Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова
удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,
В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы
В самом деле, для функции 
в силу системы (**) имеем
т.е. — функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых 
В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).
Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:
для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.
Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.
Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы
где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ustoichivost-po-lyapunovu
http://lfirmal.com/teoriya-ustoychivosti-differencialnyh-uravneniy/