О 20 решение уравнений 7 класс

О 20 решение уравнений 7 класс

Пусть дано квадратное уравнение Применим к квадратному трехчлену те же преобразования, которые мы выполняли ранее, когда доказывали теорему о том, что графиком функции с является парабола.

Обычно выражение обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения (или дискриминантом квадратного трехчлена ).

Значит, квадратное уравнение можно переписать в виде

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Теорема 1

Если D 2 — 20х + 25 = 0.

Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b 2 — 4ас = (-20) 2 — 4 • 4 • 25 = 400 — 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х 2 — 20х +25 — полный квадрат: 4Х 2 — 20х + 25 = (2х — 5) 2 . Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х — 5) 2 = 0, значит, 2х — 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то ах 2 + bх + с =
— это мы отметили ранее в замечании 1.

Теорема 3. Если D > О, то квадратное уравнение ах 2 + bх + с = О имеет два корня, которые находятся по формулам

Доказательство. Перепишем квадратное уравнение в виде (1)

Положим тогда уравнение (1) примет вид

По условию, D > О, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Ho , таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:

Из первого уравнения находим

Из второго уравнения находим

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3. в математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3. Решить уравнение Зх 2 + 8x — 11 = 0. Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = —11,

D = b 2 — 4ас = 8 2 — 4 • 3 • (—11) = 64 4- 132 = 196.

Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

Учим алгебра 7 класс. Как решать уравнения алгебра 7 класс, примеры, дроби, функции, степени, модули

В 7 классе ученикам предстоит научиться решать уравнения, дроби, строить функции, разбираться в модулях. Для этого следует познакомиться с основными понятиями в темах, рассмотреть алгоритм решения и пошагово учиться находить ответы. Главное правило — начать с простых примеров, постепенно переходя на более сложные. Большинство задач можно решать несколькими методами (это касается и примеров), следует выбрать самый простой и удобный для себя.

Как решать уравнения алгебра 7 класс

Начнем с решения линейных уравнений (на рисунке показано, по какому принципу они устроены). Чтобы найти ответ в таких уравнениях, нужно совершать действия: раскрытие скобок, поиск подобных слагаемых, умножение/деление частей на одно и тоже число, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Всё зависит от конкретного примера.

Рассмотрим несколько примеров пошагового решения линейных уравнений.

Пример 1.
6x + 24 = 0

Поскольку части уравнения (левая и правая) равны, то можно отнять из каждой одинаковое число. Равенство не изменится, а пример станет значительно проще. В представленном уравнении отняли 24 и слева, и справа. В левой части 24 сократилось, а в правой (0 — 24) получилось -24 (не забываем ставить знак минуса).

Получилось: 6x = -24. Теперь можем сократить 6 и -24 на число 6 (или рассуждаем так: чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель). В ответе будет -4. Не забудьте в самом конце подставить полученное число вместо х. Совпал ответ — значит, все правильно.

Можно рассуждать проще: чтобы упростить уравнение, нужно из левой части отправить в правую число 24, поменяв его знак. Равенство сохранится (на рисунке ниже).

Пример 2.
9 + 16x = 41 + 14x

Это уравнение более сложное. Здесь важно запомнить несколько моментов:

• числа без х переносятся в левую часть, а с х — в правую;
• при переносе знаки меняют.

Пример 3.
7(10 — 4x) + 5x = 12 — 3(5x + 2)

1. Раскрыть скобки, выполнив умножение: 7 умножаем на каждое число в скобках (в правой части -3 на каждое). При выполнении действия не забывайте сохранять знаки.
2. Записываем уравнение, получившееся после раскрытия скобок. Ещё раз сверяем знаки.
3. Числа с х отправляются в левую часть, без х — в правую. Знаки чисел, которые переходят в другую часть, меняем.
4. Подсчитываем результат с обеих сторон.
5. Делим -64 на -8 и получаем ответ. Не забываем, что минус на минус при делении и умножении дают плюс.

В рассмотренных уравнениях корень точно определён. Так получается не всегда.

Пример 4.

Обратите внимание, в ответе получилось 0x = 0. Это значит, что x может быть любым числом, потому что при умножение хоть какого числа на 0 получится 0.

В этом примере корней нет, так как любое число, которое умножают на 0, будет равно 0 (21 никак не получится).

Как решать систему уравнений алгебра 7 класс

Системой называют несколько уравнений, в которых нужно найти такие значения неизвестных, чтобы равенство сохранилось. Разберемся на примерах, как выглядят системы и какие методы их решения существуют.

метод подстановки

Из самого названия следует, что алгоритм требует что-то подставлять. Ниже представлена система, где нужно найти значения x и y.

Суть метода подстановки: переменную в одном из уравнений выражают через другую переменную. Затем подставляют полученное выражение в другое уравнение.

Смотрим на систему. Видим, что удобнее будет выразить x во втором уравнении (так как он один). Выражаем путем переноса за знак «равно» 12y. Получилось: x = 11 — 12y (не забываем менять знак при переносе числа).

В первое уравнение вместо «x» записываем получившееся выражение. Меняем только x, остальное сохраняется в прежнем виде.

Далее преобразуем уравнение, в которое поместили выражение. Раскрываем скобки (перемножаем 5 на каждое значение). y оставляем в левой части, числа переносим в правую, знаки меняем. Таким образом нашли значение y (y = 1).

Теперь подставляем полученную единицу во второе уравнение (x = 11 — 12y).

Убедиться в правильном решение можно так: подставьте полученные значения в систему. Если равенства сохранятся, значит, решено верно.

метод сложения

Чтобы решить систему методом сложения, нужно из двух уравнений сделать одно. Просто складываем первое и второе. Здесь «y» просто сократились, и получилось простое уравнение. Как только нашли значение «х», нужно подставить его в любой пример (здесь поставили во второе уравнение). В ответе пишется так: (4; 3) — первым всегда пишется х, затем у.

графический метод

У нас есть система, где y = 5x и y = -2x + 7. Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений:

1. Подбираем 2 числа для х. Мы взяли 0 и 1, подставляем в первое уравнение: y = 5 * 0 = 0; у = 5 * 1 = 5. Значит первая прямая имеет координаты: (0; 0) и (1; 5).
2. Для второго уравнения подбираем значения х. Взяли 3 и 2, подставляем и находим у: -2 * 3 + 7 = 1; -2 * 2 + 7 = 3. Значит прямая имеет координаты (3; 1) и (2; 3).
3. Отмечаем на графике соответствующие прямые, подписываем их название.
4. на месте пересечения получившихся прямых ставим точку — это будет решение.
5. Точка имеет координаты (1; 5).

На заметку! Старайтесь подбирать такие значения х, чтобы у был небольшим. Так отмечать будет проще.

Выбирайте самый удобный способ решения. Третий метод — графический, считают самым неточным.

Как решать дроби 7 класс

Дроби можно разделить на 2 основных вида:

Они различаются в способе написания (смотрите рисунок ниже). В свою очередь и те, и другие делятся еще на несколько видов.

Для начала рассмотрим решение примеров с десятичными дробями.

Особое внимание при решении стоит уделить запятым. При сложении и вычитании запятые стоят строго друг под другом, при умножении это не имеет значения.

Примеры решения обыкновенных дробей.

• при сложении и вычитании нужно привести дроби к общему знаменателю, найти дополнительные множители. Так, для чисел 6 и 4 общим знаменателем стало число 24. Дополнительные множители считали так: 24 : 6 = 4 (для первой дроби) и 24 : 4 = 6 (для второй). Потом умножили доп. множители на числители и полученные числа сложили. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть, при необходимости сокращаем дроби.
• при умножении пишем дроби под одной чертой, сокращаем.
• при делении нужно вторую дробь перевернуть, поставить знак умножения и сократить дроби.

Если пример состоит из простой и десятичной дроби, то следует привести их к одному виду (к которому проще или удобнее считать).

Примеры 7 класс как решать

Теперь закрепим решение дробей на примерах.

Решение примера, представленного ниже:

1. Видим, что присутствует как обыкновенная дробь, так и десятичные. Нужно привести к одному виду. Так как десятичных больше, и превратить 1/4 в этот вид проще, то делим 1 на 4, а целую часть сохраняем. Вышло 5,25.
2. Далее умножаем — 3 на каждое число в скобках, внимательно следим за знаками.
3. Остается от 10,4 отнять 9,3. В итоге вышло 1,1.

Но можно было решить проще. Первое действие всегда в скобках. Поэтому от 5,25 отнимаем 2,15. Получится 3,1. Умножаем ее на 3 — вышло 9,3. И отнимаем: 10,4 — 9,3 = 1,1. Этот способ даже проще, потому что не нужно следить за знаками при раскрытии скобок.

Чтобы верно решить следующий пример, нужно:

• точно проставить порядок действий (умножение и деление делаем в первую очередь, затем складываем);
• Умножить десятичные дроби столбиком, не забыть поставить запятую;
• деление здесь простое: переставили запятую на один знак вправо, поделили, получили -2.
• сложили числа.

Как решать задачи алгебра 7 класс

Задачи решаются путем составления уравнений.

Другие примеры задач с подробными решениями в видео-материалах.

Как решать функции алгебра 7 клас с

Функцией принято считать зависимость y от x. При этом x является переменной (или аргументом), а у — это значение функции (зависимая переменная).

• y(x) = 8x
• y(x) = −3x — 62
• y(x) = x−1 + 18

Чтобы найти значение у, которое бы соответствовало определенному значению х, нужно просто это значение х подставить в функцию.

Как решать степени алгебра 7 класс

Если требуется взять какое-либо число несколько раз, то проще записать его в степени. Например, нужно двойку взять три раза, т. е.: 2 * 2 * 2. Получается длинная запись. Поэтому придумали писать так: 2³ (читается: два в третьей степени).

Чтобы число возвести в степень (она указывается справа от числа вверху), нужно его умножать на самого себя столько раз, какая цифра указана. Рассмотрим подробнее на примерах.

Не всегда получается возвести число в степень «в уме». Иногда посчитать сложно. Например, возвести 6 в 5 степень, быстро получится не у каждого. Чтобы всякий раз не считать столбиком, лучше выучить основные степени. Они представлены в таблице.

При возведении любого числа в степень 1, получится это же число. Если возводить число в нулевую степень, в ответе будет 1.

Рассмотрим несколько примеров со степенями.

Отдельное внимание обращаем на возведение в степень отрицательного числа. Если такое число возводить в четную степень (2; 4; 6 и т.д.), то получится положительный ответ, если в нечетную, то ответ со знаком минус.

Алгебра модули как решать

Модулем числа называют это же число, только без знака минус. Например: | − 9 | = 9. При этом если число изначально неотрицательное, то оно остается прежним.

Перейдем к простым примерам.

Логично предположить, что под модулем будет число 4. Также подойдет число -4, ведь из-под модуля все равно выйдет положительное. Так, корнями уравнения будут: x = 4 и x = − 4.

Из-под модуля не может выйти отрицательное число. Поэтому, если видим что-то похожее: Ι-8 + хΙ = -8, значит, корней не будет, так как уравнение заведомо нерешаемо.

Другие примеры описаны в видео.

Об Авторе

Смотрите также

Красивый подарок маме своими руками, 8 марта короткие пожелания, открытка 8 марта своими руками для детей: открытки на 8 марта своими руками шаблоны, цветные шаблоны открыток

Явления живой и неживой природы 2 класс: биология живая неживая природа, признаки живой и неживой природы

Подарок маме на 8 марта своими руками, какую сделать поделку для мамы: в детском саду, в школе, лучшие поделки своими руками. Рисунок маме 8 марта: рисование простые рисунки

2 комментария

Спасибо большое очень помогли.

Огромное спасибо!А то учитель неможет нормально тему объяснить

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1