Об уравнении теплопроводности в жидкости

Об уравнении теплопроводности в жидкости Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — В. П. Макаров

Строго получено уравнение теплопроводности, полностью эквивалентное основному уравнению переноса тепла. Полученное уравнение существенно отличается от известного уравнения теплопроводности в форме Ландау-Лифшица.

Текст научной работы на тему «Об уравнении теплопроводности в жидкости»

ОБ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ЖИДКОСТИ

В рамках гидродинамики состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: проекциями скорости на координатные оси и,(х, £) и, например, плотностью /э(х, £) и температурой Т(х, ¿). Поэтому полная система уравнений гидродинамики это пять уравнений: уравнение непрерывности (см. [1, §1])

^ + = (1) уравнения Навье-Стокса (см. [1, §15])

(дvi \ др дсг’ъ . (ди, дьк 2. \ >г , .

Ч * + » «а! + • » Ч^ + «*» •Ч+• (2)

где р(х, — давление, а[к — вязкий тензор напряжений И)),( — коэффициенты вязкости; и общее уравнение переноса тепла, строгий вывод которого дан Ландау и Лифшицем в VI томе Курса теоретической физики «Гидродинамика» [1, §49],

где з — энтропия единицы массы, к — коэффициент теплопроводности, связывающий плотность потока тепла я с градиентом температуры: q = —кУТ. (Если в жидкости присутствуют внешние источники тепла, то в правую часть уравнения (3) нужно добавить слагаемое ф(х, £) — тепло, выделяемое этими источниками в единице объема в единицу времени [1, §50].)

Уравнение (3) можно упростить, выразив производные от энтропии через производные от температуры, давления или плотности — величин, которые входят в уравнения

/ 1 \ таг ( О О m г» п тт «i тт «ь ^чт т тт тт/л m «-» т» ттотт «■» ту тчлттт о тто т» Г1 R Сч fll l^1 /-» тттг п о у» «-» m т гч»г

! i J ii ¡^ Z/y . С? I cl 1и|Ди -1и OJ_»X.lXCt. U.Wb X UJJJi^XlU- XX 13 * JjV^WJ . J_JV^JX.KX pcbv^ivxcb х pjrxxxx х о

тропию как функцию температуры и давления, то

ds (ds\ дт (ds\ дР _ (ds\ „ /&Л _

В [1, §50] приводятся некоторые физические соображения, на основании которых вторыми членами в правых частях равенств (4) авторы пренебрегают. Тогда, так как (Ш) = ср

удельная теплоемкость при постоянном давлении (см. [2, §13]), уравнение (3) приводится к виду

рс, + V . VT) = V • «vr + (5)

Для неподвижной жидкости из (5) получается уравнение

которое при постоянной теплопроводности к приводится к уравнению Фурье

где коэффициент температуропроводности

В [1, §50] отмечается, что уравнение (6) также «получается приравниванием количества тепла, поглощающегося в единице объема жидкости в единицу времени, дивергенции плотности потока тепла, взятой с обратным знаком. Первое из них равно рСр^

; здесь должна быть взята теплоемкость ср, так как вдоль неподвижной жидкости давление должно быть, разумеется, постоянным». Уравнение теплопроводности в форме Ландау Лифшица (5) (или (б) — (8)) приводится еще в первом (1944 года) издании их книги и используется во многих работах (см., например, [2 — 5]). Заметим, однако, что уравнение теплопроводности в классических работах Максвелла и Стокса (см. [6]) содержит не теплоемкость ср, а теплоемкость при постоянном объеме cv.

Задачу, которая математически уже полностью сформулирована, можно решать и без привлечения еще каких-либо физических соображений. В отличие от [1], я так и поступаю. Используя известные соотношения термодинамики (см. [2, §§13, 16])

можно записать равенства (4) в виде

дв ср дТ 1 ( др\ др

Т 81 ‘ />2 \дТ)р дЬ’ Т ^ р3 \дТ)р Р

Предполагая воспользоваться уравнением непрерывности (1), будем рассматривать давление в (10) как функцию плотности р и температуры Т : р = р(р,Т) в соответствии с уравнением состояния жидкости. Тогда будем иметь:

дТ (др\ (др\ др т + р* \дт)р\дР)Тт

и аналогичное равенство для У5 с заменой в правой части производных по времени на производные по координатам. Простые вычисления дают:

\дт)р\дР)т> \дт)р\дР)т х._/р

Согласно известному термодинамическому соотношению (см. [2, §16]),

Используя (12) и (13), приводим равенство (11) и аналогичное равенство для V« к виду:

Подставляя теперь выражения (14) в (3) и учитывая уравнение непрерывности (1), по-

дг т дг р2\дт)рт’ т р2\дт)р р

нению переноса тепла Ландау-Лифшица (3):

Заметим, что вычисления существенно упрощаются, если с самого начала выбрать в качестве основных переменных не температуру и давление, как в [1, §50], а температуру и плотность. Тогда, исиользуя известные термодинамические соотношения (см. [2, §§13, 16])

мы сразу же получаем равенства (14).

Для покоящейся жидкости, полагая в (15) V = 0, получаем уравнение

а если к можно считать постоянной, то уравнение (7), в котором, однако, коэффициент температуропроводности (8) выражается через с„, а не через ср — в согласии с [6]. Для покоящейся жидкости уравнение непрерывности (1) сводится к постоянству плотности как функции времени: р = рЫ), а уравнения Навье-Стокса (2) — к постоянству давления вдоль жидкости (но не во времени): р =

[1] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика. М., Наука, 1986.

[2] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. М., Наука, 1976.

[3] 3 е л ь д о в и ч Я. В., Р а й з е р Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Наука, 1966. Глава X, §§1 2.

[4] Р а й з е р Ю. П. Физика газового разряда. М., Наука, 1987.

[5] Г и н з б у р г В. Л. УФН, 106, N 1, 151 (1972).

[6] L a m b Н. Hydrodynamics. N.Y.: Dover Publications, 1945, Chap. XI.

Институт общей физики \

им. A. ivi. Прохорова PAH Поступила в редакцию 6 июля 2ÖÜ5 г.

Теплопроводность. Механизмы теплопроводности в газах, жидкостях, твердых телах. Плотность теплового потока. Закон Фурье. Температуропроводность

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях при условии невозможности возникновения в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; τ — время.

Механизмы теплопроводности в газах, жидкостях, твердых телах.

Беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. В газе имеет место теплопроводность тогда, когда в нем существует разность температур, вызванная какими-либо внешними причинами. Молекулы газа в разных местах его объема имеют разные средние кинетические энергии. Поэтому при хаотическом тепловом движении молекул происходит направленный перенос энергии. Молекулы, попавшие из нагретых частей газа в более холодные, отдают избыток своей энергии окружающим частицам. Наоборот, медленно движущиеся молекулы, попадая из холодных частей в более горячие, увеличивают свою энергию за счет соударений с молекулами, обладающими большими скоростями.

Теплопроводность в жидкостях, как и в газах, имеет место при наличии градиента температуры. Однако если в газах передача энергии осуществляется при столкновениях частиц, совершающих поступательные движения, то в жидкостях энергия переносится в процессе столкновений колеблющихся частиц. Частицы, имеющие более высокую энергию, совершают колебания с большей амплитудой и при столкновениях с другими частицами как бы раскачивают их, передавая им энергию. Такой механизм передачи энергии, так же, как и механизм, действующий в газах, не обеспечивает ее быстрого переноса и поэтому теплопроводность жидкостей очень мала, хотя и превосходит в несколько раз теплопроводность газов. Исключение составляют жидкие металлы, коэффициенты теплопроводности которых близки к твердым металлам. Это объясняется тем, что в жидких металлах тепло переносится не только вместе с передачей колебаний от одних частиц к другим, но и с помощью подвижных электрически заряженных частиц – электронов, имеющихся в металлах, но отсутствующих в других жидкостях.

Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то подобно тому, как это происходит в газах и жидкостях, тепло переносится от более нагретой к менее нагретой части.

В отличие от жидкостей и газов, в твердом теле не может возникнуть конвекция, т. е. перемещения массы вещества вместе с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осуществляется только теплопроводностью.

Механизм переноса тепла в твердом теле вытекает из характера тепловых движений в нем. Твердое тело представляет собой совокупность атомов, совершающих колебания. Но колебания эти не

независимы друг от друга. Колебания могут передаваться (со скоростью звука) от одних атомов к другим. При этом образуется волна, которая и переносит энергию колебаний. Таким распространением колебаний и осуществляется перенос тепла.

Приближенно вычисление коэффициента теплопроводности твердого тела, может быть выполнено с помощью квантовых представлений.

Квантовая теория позволяет сопоставить распространяющимся в твердом теле со скоростью звука колебаниям некоторые квазичастицы — фононы. Каждая частица характеризуется энергией, равной постоянной Планка умноженной на частоту колебания n. Энергия кванта колебаний — фонона, значит, равна hn.

Если пользоваться представлением о фононах, то можно сказать, что тепловые движения в твердом теле обусловлены именно ими, так что при абсолютном нуле фононы отсутствуют, а с повышением температуры их число возрастает, но не линейно, а по более сложному закону (при низких температурах пропорционально кубу температуры).

Твердое тело мы можем теперь рассматривать, как сосуд, содержащий газ из фононов, газ, который при очень высоких температурах может считаться идеальным газом. Как и в случае обычного газа перенос тепла в фононном газе осуществляется столкновениями фононов с атомами решетки, а все рассуждения для идеального газа справедливы и здесь. Поэтому коэффициент теплопроводности твердого тела может быть выражен совершенно такой же формулой

где r — плотность тела, cV — его удельная теплоемкость, с – скорость звука в теле, l — средняя длина свободного пробега фононов.

В металлах помимо колебаний решетки, в переносе тепла участвуют и заряженные частицы – электроны, которые вместе с тем являются и носителями электрического тока в металле. При высоких температурах электронная часть теплопроводности много больше решеточной. Этим объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению с неметаллами, в которых фононы — единственные переносчики тепла. Коэффициент теплопроводности металлов можно подсчитывать по формуле:

где — средняя длина свободного пробега электронов, — средняя скорость их теплового движения.

В сверхпроводниках, в которых электрический ток не встречает сопротивления, электронная теплопроводность практически отсутствует: электроны без сопротивления переносящие заряд, в переносе тепла не участвуют и теплопроводность в сверхпроводниках чисто решеточная.

Закон Фурье

Закон Фурье — основной закон распространения тепла теплопроводностью, который вначале был известен как гипотеза Фурье, а позднее получил статус закона. Согласно этому закону количество теплоты dQ_τ , проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту ∂t/∂n:

, (7)

Коэффициент пропорциональности λ в уравнении (7) есть физический параметр вещества, который характеризует способность вещества проводить теплоту и называется коэффициентом теплопроводности,

Количество теплоты, проходящей в единицу времени через изотермическую поверхность dF , называется тепловым потоком:

, (8)

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу пути изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока

, (9)

Плотность теплового потока является векторной величиной. За положительное направление вектора плотности теплового потока q принимают направление по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Таким образом, векторы q и gradt, лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны, что и объясняет наличие знака «минус» в правых частях уравнений (7), (8) и (9).

Таким образом, уравнения (7), (8) и (9) представляют закон Фурье, записанный соответственно для всего тепла, для теплового потока и для плотности теплового потока.

Закон Фурье в интегральной форме запишется для всего тепла, прошедшего за время τ через изотермическую поверхность F:

, (10)

Для теплового потока

, (11)

Если вектор плотности теплового потока спроектировать на координатные оси Ox, Oy, Oz , то согласно уравнению (6) получим:

, , . (12)

Температуропроводность (коэффициент температуропроводности) — физическая величина, характеризующая скорость изменения (выравнивания) температуры вещества в неравновесных тепловых процессах. Численно равна отношению теплопроводности к объёмной теплоёмкости при постоянном давлении, в системе СИ измеряется в м²/с.

где — температуропроводность, — теплопроводность, — изобарная удельная теплоёмкость, ρ — плотность

Температуропроводность и теплопроводность являются двумя из наиболее важных параметров веществ и материалов, поскольку они описывают процесс переноса теплоты и изменение температуры в них.

Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Жидкости и газы обладают сравнительно малой температуропроводностью. Металлы, напротив, имеют бо́льший коэффициент температуропроводности.

2. Механизмы процесса кипения. Виды кипения — пузырьковое, пленочное.

Кипе́ние — процесс интенсивного парообразования, который происходит в жидкости, как на свободной её поверхности, так и внутри её структуры. При этом в объёме жидкости возникают границы разделения фаз, то есть на стенках сосуда образуются пузырьки, которые содержат воздух и насыщенный пар. Кипение, как и испарение, является одним из способов парообразования. В отличие от испарения, кипение может происходить лишь при определённой температуре и давлении. Температура, при которой происходит кипение жидкости, находящейся под постоянным давлением, называется температурой кипения. Как правило, температура кипения при нормальном атмосферном давлении приводится как одна из основных характеристик химически чистых веществ. Процессы кипения широко применяются в различных областях человеческой деятельности. Например, кипячение является одним из распространённых способов физической дезинфекции питьевой воды. Кипячение воды представляет собой процесс нагревания её до температуры кипения с целью получения кипятка.

Кипение является фазовым переходом первого рода. Кипение происходит гораздо более интенсивно, чем испарение с поверхности, из-за присутствия очагов парообразования, обусловленных как более высокой температурой достигаемой в процессе кипения, так и наличием примесей [1] .

На процесс образования пузырьков можно влиять с помощью давления, звуковых волн, ионизации и других факторов возникновения центров парообразования. В частности, именно на принципе вскипания микрообъёмов жидкости от ионизации при прохождении заряженных частиц работает пузырьковая камера.

В зависимости от плотности теплового потока, подводимого к жидкости от поверхности нагрева, на последней возникают отдельные паровые пузыри (пузырьковое кипение) или образуется сплошной слой пара (пленочное кипение). При пузырьковом кипении жидкость непосредственно омывает поверхность нагрева, причем ее пограничный слой интенсивно разрушается (турбулизуется) возникающими паровыми пузырями. Кроме того, всплывающие пузыри увлекают из пристенного слоя в ядро потока присоединенную массу перегретой жидкости, что создает интенсивный перенос теплоты от поверхности нагрева к общей массе кипящей жидкости. Следствием этого является высокая интенсивность теплоотдачи при пузырьковом кипении, возрастающая с увеличением числа действующих центров парообразования и количества образующегося пара.

При пленочном кипении жидкость отделена от поверхности нагрева слоем пара, с внешней стороны которого время от времени отрываются и всплывают крупные пузыри. Вследствие относительно малой теплопроводности парового слоя интенсивность теплоотдачи при пленочном кипении существенно меньше, чем при пузырьковом.

Возникновение того или иного вида кипения определяется плотностью теплового потока у поверхности нагрева, ее физическими свойствами (в частности смачиваемостью), физическими свойствами жидкости и гидродинамическим режимом потока в целом. Таким образом приходится говорить о существовании двух критических плотностях теплового потока. Первая критическая плотность теплового потока – при которой происходит переход от пузырькового кипения к пленочному, вторая – при которой происходит разрушение сплошного парового слоя и восстановление пузырькового режима кипения. В области значений плотности теплового потока, лежащих между двумя этими критическими значениями возможно устойчивое существование обоих режимов кипения или даже их длительное совместное сосуществование на разных частях одной и той же поверхности нагрева.

Паровая пленка обычно возникает в отдельных местах поверхности нагрева при достижении значений теплового потока выше критического и далее с конечной скоростью распространяется по всей поверхности нагрева. Аналогично при снижении теплового потока до значений меньше критического, происходят локальные разрушения пленки с последующим распространением пузырькового кипения на всю поверхность нагрева.

На поверхностях нагрева, обедненных центрами парообразования, процесс кипения имеет нестабильный характер, а интенсивность теплообмена колеблется между условиями конвекции однофазного потока и развитого пузырькового кипения. При этом возможен непосредственный переход от однофазной конвекции жидкости к режиму пленочного кипения.

Изучение условий, при которых возникают различные режимы кипения необходимо для расчета теплообменников, используемых в качестве испарителей. При появлении пленочного режима кипения эффективность работы испарителя падает и температура охлаждаемой среды на выходе из теплообменника оказывается выше заданной. Поэтому при расчете и подборе таких аппаратов очень важным является определение плотности тепловых потоков между двумя средами.

Механизм кипения

Характерной особенностью процесса кипения является образование паровой фазы. Основным параметром определяющим температуру пара (температуру насыщения) t_нac в пузыре при кипении является давление под которым находиться жидкость.

Температура кипящей жидкости обычно принимается равной температуре насыщения t_нac. Однако кипящая жидкость всегда несколько перегрета и ее температура t_ж выше температуры насыщения: t_ж-п = t_ж —t_нac . Например, при кипении при атмосферном давлении перегрев воды составляет t_ж-п = 0,4-0,8°С.

Известно, что в направлении к нагретой поверхности температура кипения жидкости почти постоянна. Однако, в слое толщиной 2-5 мм у поверхности нагрева наблюдается резкое возрастание температуры жидкости t_ж-п (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость температуры кипящей воды от расстояния до поверхности нагрева

При пузырьковом кипении паровая фаза образуется в виде отдельных паровых пузырей, зарождающихся в определенных местах теплоотдающей поверхности или в массе кипящей жидкости. Для образования паровых пузырей необходимо наличие центров парообразования, которыми являются элементы шероховатости поверхности (микровпадины, микротрещины), микрочастицы и растворенные газы.

Во время роста паровой пузырь вытесняет жидкость, вызывает ее перемещение со скоростью, примерно равной скорости роста радиуса пузыря. После отрыва пузыря освободившееся пространство заполняется жидкостью, подтекающей к стенке из основного объема, и, когда она прогревается до температуры вскипания, у данного центра зарождается новый паровой пузырь.

С увеличением перегрева жидкости t_ж-п число действующих центров парообразования увеличивается и процесс кипения становится более интенсивным, что в основном обуславливается снижением влияния сил поверхностного натяжения, возникающих на границе раздела между жидкостью и паром

₂ = ₁ — K_c(t₂ — t₁), Н/м,

где ₂ и ₁ — поверхностное натяжение на границе вода-пар при температурахt₂ и t₁ ;

K_c ≈ 1,9-10 -3 Н/м·°С — коэффициент пропорциональности.

Давление пара в пузыре больше давления пара при испарении с плоской поверхности раздела фаз на суммарный перепад давления, обусловленный эффектами Лапласа и Томсона.

Учитывая что температура пара t_п в пузыре выше t_Hac, поскольку P₁ > Р и равна

где P’ — производная давления по температуре на линии насыщения, определяемая уравнением Клапейрона — Клаузиса

t_Hac, °К — абсолютная температура насыщения.

Поскольку при малых приращениях температуры приращения давления малы, производную dP/dt в уравнении Клапейрона — Клаузиуса можно представить отношением конечных разностей

Подставив из (1) в (2) выразим минимальный начальный радиус пузыря, зарождающегося на центре парообразования, действующем при температурном напоре

При этом для определения скорости роста парового пузыря обычно исходят из балансного соотношения массы испарившейся воды и приращения массы пара в пузыре за время dx.

В настоящее время можно выделить два основных подхода к определению скорости роста паровых пузырей.

Первый основан на предположении, что паровой пузырь растет в объеме равномерно перегретой жидкости, на испарение которой расходуется ее избыточная энтальпия.

Во второй физической модели, предложенной Д.А. Лабунцовым, предполагается, что в период роста пузыря теплота к нему подводится теплопроводностью через микропленку жидкости от теплоотдающеи поверхности.

По оценкам, в зависимости от свойств жидкости и геометрии пузыря, b₂ лежит в пределах 5 -2 до 10 4 ) когда формула наилучшим образом согласуется с опытными данными.

Рис. 2. Зависимость от числа Ja

В реальных условиях кипения форма паровых пузырей обычно отличается от сферической и понятие отрывного радиуса парового пузыря R_om при его отделении от теплоотдающей поверхности в определенной мере является условным. Значением R_om характеризуется осредненный, то есть наиболее вероятный, радиус парового пузыря в момент отрыва. Замена действительной формы пузыря сферической значительно облегчает аналитический расчет и используется практически во всех теоретических исследованиях.

Если кипящая жидкость смачивает поверхность нагрева, то паровые пузырьки имеют тонкую ножку и легко отрываются (рис. 3а). Если кипящая жидкость не смачивает поверхность нагрева, то пар скапливается в пузыри с широкой ножкой (рис. 3б).

Рис. 3. Форма паровых пузырьков на смачиваемой (а) и несмачиваемой (б) поверхностях

Сочетания диаметра пузыря при отрыве и частоты его отрыва служат своеобразной мерой средней скорости роста паровых пузырей, поэтому комбинации 2R_om и f_om широко используются при теоретическом анализе процесса кипения и обобщении экспериментальных данных.

После отрыва от поверхности нагрева паровой пузырь за счет подъемной силы всплывает на поверхность жидкости, где разрушается с выделением пара в атмосферу.

Для определения затрат тепла на преобразование воды в пар, считаем что испарение воды происходит на одном центре парообразования только внутрь парового пузыря, при этом давление столба воды на паровой пузырь не учитываем. Тогда, количество тепла для образования одного парового пузыря определяется

где Q₁ Дж — количества тепла для расширения пара объемом V_пKp с избыточным давлением для создания парового пузыря минимального начального радиуса R_Kp.

Глава II. ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Механизмы теплопроводности в различных сплошных средах

По определению под теплопроводностью (conduction проводимость) понимается передача энергии в сплошной среде без видимых макроскопических перемещений. Объяснить механизм теплопроводности можно только с привлечением представлений молекулярно-кинетической теории (МКТ) и физической кинетики. При этом механизмы теплопроводности на микроскопическом уровне различны и зависят от агрегатного состояния вещества, типа кристаллической решётки, наличия свободных электронов и т.д.

Обсудим вкратце каждый из этих механизмов.

Газы

Теплопроводность в газах в состояниях, близких к идеальному, обусловлена непосредственными столкновениями отдельных электрически нейтральных молекул.

1. Предположение об идеальности газа в строгом термодинамическом смысле в применении к явлениям теплопроводности является некорректным, так как молекулы идеального газа, ассоциируемые с математическими точками, по определению не могут взаимодействовать друг с другом, т.е. обмениваться энергиями и импульсами. При описании процессов переноса в газах нельзя пренебрегать геометрическими размерами микрочастиц.

2. Строго говоря, под столкновениями следует понимать квантово-механическое взаимодействие молекул на расстояниях порядка и меньше де-бройлевской длины волны относительного движения молекул. Впрочем, качественная картина взаимодействий не зависит от классического или квантового подхода к описанию акта взаимодействия.

Как известно из теории столкновений при соударении двух тел, то из тел, которое имело бòльшую скорость (энергию), замедляется (теряет энергию), а более медленно движущееся тело ускоряется (приобретает энергию). И поскольку абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекул, то в среднем участки газа с более высокой температурой (средней кинетической энергией) будут охлаждаться, а участки с более низкой температурой будут нагреваться.

Кристаллы

Кристаллы (имеются в виду монокристаллы) представляют собой упорядоченную структуру, составленную из ионов, хаотически колеблющихся около фиксированных положений равновесия, называемых узлами кристаллической решётки. Ионы кристалла связаны между собой силами электростатического и/или обменного (квантовомеханического) взаимодействий (водородная, ковалентная, ионная связь и др.). Кроме ионов в кристалле могут присутствовать свободные электроны (металлы, полупроводники) либо так называемые «дырки». Свободные электроны в кристалле образуют так называемый «электронный газ», аналогичный обычному газу за исключением того, что в электронном газе нельзя пренебрегать взаимодействием между частицами. Это вызвано тем, что сила взаимодействия между электронейтральными молекулами обусловлена дипольными моментами (собственными или индуцированными) и обратно пропорциональна кубу расстояния между ними, в то время как в случае заряженных частиц (электроны) сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (Кулон). Интенсивность колебаний ионов кристаллической решётки пропорциональна абсолютной температуре. Вследствие сравнительно интенсивной связи между ионами кристалла их колебания не являются независимыми. Эти колебания внутри кристалла конечных размеров образуют систему стоячих волн с дискретным набором частот. Каждая из мод колебаний ассоциируется с некоторой «квазичастицей», названной фононом. Таким образом квантовомеханический подход к описанию коллективных колебаний в кристалле приводит к понятию так называемого «фононного газа» и позволяет рассматривать процесс теплопроводности в кристалле как процесс теплопроводности в газе (конечно, со специфическими отличиями).

При комнатных температурах электронный механизм теплопроводности в металлах преобладает над фононным, однако при низких («гелиевых») температурах электронный газ «вырождается» и преобладающим становится фононный механизм.

В случае поликристаллических материалов механизм теплопроводности остаётся качественно тем же, количественное же описание требует при этом статистического усреднения по функциям распределения по ориентациям и размерам отдельных кристаллов и различных дефектов кристаллических решёток.

Жидкости

По современным представлениям жидкость представляет собой промежуточное состояние между газом и кристаллом. В жидкости хаотическим образом молекулы газа группируются в малые, но макроскопические кристаллы, которые с частотой в несколько сотен тысяч герц разрушаются и вновь образуются. При этом время жизни кристаллов уменьшается с повышением температуры и при температуре кипения время жизни кристаллов падает до нуля. В соответствии с этими представлениями в жидкостях имеют место все три механизма теплопроводности – фононный, электронный и «газовый».

Аморфные тела (стекло, смола, органика, живые ткани) представляют собой неньютоновские жидкости с аномально большой вязкостью, поэтому в таких средах теплопроводность осуществляется в основном распространением колебательных движений макромолекул и их агрегатов.

Закон Био-Фурье

Основными задачами теории теплообмена являются нахождение полей температур в сплошных средах (химическая технология, металлургия и т.д.) и тепловых потоков (отопление и т.д.). Классическая термодинамика, в частности II начало, утверждает, что обмен энергией в форме теплоты возможен только при наличии пространственной неоднородности температурного поля. Это позволяет записать логическую цепочку

следствие причина

тепловой поток пространственная неоднородность температур

, Вт , К/м

В соответствии с II началом термодинамики математически зависимость плотности теплового потока от неоднородности температурного поля (градиента температур) записывается в виде векторной функции от векторного аргумента , т.е.

Эта зависимость в рамках термодинамики (теории теплопроводности в приближении локального равновесия) не может быть установлена строго математически. Для этой цели прибегают либо к эксперименту, либо к теоретическому описанию с использованием различных модельных теорий. На практике в подавляющем большинстве случаев прибегают к экспериментальным исследованиям. Это в полной мере касается исследований в области теплообмена во всех его проявлениях. Обработка экспериментальных данных представляет собой всегда довольно сложную задачу и при корректном подходе приводит к процедуре последовательных приближений. Эти последовательные приближения с математической точки зрения представляют собой поиск зависимостей в виде разложений в обобщённый ряд Тейлора (Маклорена) для непериодических процессов, либо в обобщённый ряд Фурье в случае периодических процессов.

Итак, запишем ряд Тейлора векторной функции от векторного аргумента . Для сокращения записи и для лучшего обозрения представим векторы в виде матриц-столбцов, в частности

Здесь верхний индекс указывает на то, что функция и её производные вычисляются при значениях аргумента , равных нулю, т.е. при однородном распределении температур.

Обратимся теперь к физике. Второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса требует, чтобы функция и все её производные чётного порядка в нуле исчезали, т.е.

Таким образом, в линейном приближении по градиенту температурного поля имеем

Частные производные представляют собой квадратную матрицу. В связи с этим введём обозначение

таким образом, что

Квадратная матрица носит название матрицы коэффициентов теплопроводности. Эта матрица обладает двумя самыми общими свойствами:

а) симметричность ;

б) положительная определённость.

Симметричность матрицы коэффициентов теплопроводности обусловлена микроскопической обратимостью, т.е. независимостью элементарных процессов взаимодействия микрочастиц от направления течения времени; положительная определённость является следствием второго начала термодинамики.

Численные значения элементов матрицы коэффициентов теплопроводности в большинстве своём берутся из экспериментов, в простейших случаях они могут быть вычислены теоретически с использованием методов молекулярно-кинетической теории.

Вид матрицы зависит также от свойств симметрии среды. В частности, в случае изотропных сред (газы, жидкости, поликристаллические среды) матрица коэффициентов теплопроводности вырождается в скаляр, т.е.

В этом случае выражение упрощается и принимает вид

Такая линейная зависимость плотности теплового потока от градиента температурного поля в приложении к изотропным средам носит название закона Био-Фурье.

Коэффициент теплопроводности имеет размерность и представляет собой количество теплоты, проходящей через поверхность единичной площади при единичном градиенте температур в направлении нормали к поверхности.

В соответствии с численными значениями коэффициента теплопроводности в теплотехнике различают так называемые теплоизоляционные материалы и теплопроводные материалы, используемые для увеличения теплосъёма в различных установках и устройствах с интенсивным выделением тепла в рабочих режимах функционирования.

В качестве теплоизоляторов используются вещества и материалы с коэффициентами теплопроводности, не превышающими 0.05…1.0 Вт/(м·К). Примерами таких веществ являются практически все газы, пористые материалы, полимеры, дерево и т.д.).

Наиболее теплопроводными естественными материалами являются металлы, среди которых выделяются такие из них, как серебро Ag , медь Cu и алюминий Al . Коэффициент теплопроводности наиболее распространённых технических сталей составляет величину порядка .

Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижных однородных изотропных средах

Основной задачей теории теплопередачи является вычисление температурных полей (технология) и тепловых потоков (отопление и т.д.).

Аналитическое описание процессов теплопроводности в твёрдых телах осуществляется с использованием закона сохранения полной энергии (I начала термодинамики) в локальной формулировке и эмпирического закона Био-Фурье. С этой целью рассмотрим неподвижный объём V, ограниченный поверхностью F,заполненный однородной сплошной средой с постоянными теплофизическими характеристиками – плотностью ρ, теплоёмкостью c и теплопроводностью λ – (см. рис. II.1).

Первое начало термодинамики для неподвижных термодинамических систем в дифференциальной форме записывается в виде

Здесь U, Дж – внутренняя энергия тела; L, Дж – работа, совершаемая телом над внешними телами; Q_τ, Дж – теплота, подведённая к телу.

Неполный дифференциал работы в общем случае представляется суммой частных дифференциалов, каждое слагаемое в которой даёт малое количество работы, обусловленной различными механизмами: изменение объёма, деформация, поверхностное натяжение, протекание электрических зарядов, электрическая поляризация, намагничение. Запишем для справки дифференциал работы в общем случае, представив слагаемые в вышеперечисленном порядке, используя общепринятые обозначения,

В случае несжимаемых недеформируемых сред первые три слагаемых в правой части этого выражения исчезают, и остаются только члены, связанные с электрическими и магнитными воздействиями.

Отнесём I начало термодинамики к единице времени и запишем результат с учётом определения теплового потока в виде

Внутренняя энергия недеформируемого твёрдого тела в приближении локального равновесия определится суммированием (интегрированием) внутренних энергий физически бесконечно малых объёмов, на которые мысленно разбивается рассматриваемое тело

Скорость изменения внутренней энергии

Здесь было учтено, что при постоянном объёме V операции дифференцирования по времени и интегрирования по пространственным координатам коммутируют, а полная производная по времени заменяется частной производной по времени от температуры, являющейся функцией не только времени, но и пространственных координат.

Тепловой поток Q, Вт, подводимый к рассматриваемому объёму V, обусловлен в общем случае двумя факторами: потоком тепла через ограничивающую объём поверхность – и тепловыделениями внутри объёма – , причинами которых могут быть химические реакции, ядерные реакции, индукционные токи и др.. В перечень внутренних источников тепла включаются также тепловые эффекты, связанные с электрическими и магнитными воздействиями – последние три слагаемых в . В этом случае представляется в виде

Вычисление мощности внутренних источников тепла представляет отдельную задачу, выходящую за рамки рассматриваемого метода. В самом общем случае можно лишь утверждать, что при неоднородном пространственном тепловыделении (теплопоглощении) внутри объёма мощность внутренних источников тепла может быть представлена тройным интегралом

где с размерностью Вт/м 3 представляет собой плотность внутренних источников теплоты.

Тепловой поток в рассматриваемый объём через ограничивающую поверхность записывается в общем случае в виде поверхностного интеграла второго рода

Здесь знак «–» выбран потому, что внутренняя энергия тела будет возрастать тогда, когда тепловой поток направлен внутрь объёма, а нормаль к элементу замкнутой поверхности, по определению в математике, направлена наружу.

Итак, в интегральном виде баланс энергии (в данном случае теплоты) принимает вид

Используя теорему Остроградского-Гаусса и произвольность рассматриваемого объёма, получаем баланс теплоты в локальной (дифференциальной) форме

Используя приближение в виде закона Био-Фурье , получаем дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной однородной и изотропной среде (опускаем обозначения независимых пространственных и временнóй переменных)

Обычно это дифференциальное уравнение записывается в виде

с размерностью м 2 /с носит название коэффициента температуропроводности.

источники:

http://megaobuchalka.ru/11/64171.html

http://helpiks.org/6-22396.html

Об уравнении теплопроводности в жидкости