Оба корня уравнения принадлежат интервалу

Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек

Разделы: Математика

“Будущий математик, как и всякий человек учится при помощи практики и подражания… .Ему следует решать задачи, выбирая те, которые соответствуют его интересам, размышлять над их решением и изобретать новые задачи.”
Дьердь Пойа

• Повторить свойства графика квадратичной функции у = aх² + bх + с, а ≠ 0;
• Повторить теорему Виета для корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0;
• Рассмотреть алгоритм решения квадратного уравнения с параметром в котором поставлено условие для корней х₁ и х₂;
• Применять алгоритм для решения уравнений с параметром с поставленными условиями;
• Воспитывать чувство ответственности перед товарищами и умение работать в группах
• Развивать логическое мышление.

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся:

• Повторение свойств графика квадратичной функции
• Повторение Теоремы Виета.

3. Изучение нового материала. Работа в группах:
Исследовательская работа. Отчет о проделанной работе.
4. Закрепление изученного материала.
5. Домашнее задание.
6. Итог занятия.

Оборудование: Мультимедийное оборудование, презентация, (Приложение 1)

1. Организационный момент

Рассмотреть рисунки. Что общего на всех эти картинах? Что просматривается на этих картинах? (Слайд 3, 4 ,5)

2. Актуализация знаний учащихся.

Парабола…
Что такое парабола?
Как может располагаться парабола в системе координат? Отчего это зависит? (Слайд 6, 7)

3. Изучение нового материала.

Нас сегодня будет интересовать случай, когда парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, т.е. квадратное уравнение ах²+bх+с=0 имеет два корня.
Возьмем на оси абсцисс произвольную точку М. Давайте рассмотрим все случаи расположения точки М и корней квадратного уравнения х₁ и х2.

Исследовательская работа в группах: (Слайд 8, 9, 10, 11)

А вы, ребята, должны провести исследовательскую работу.

(Работа в группах.)

Задания даны на ваших инструкционных картах вместе с графиком.
Работаем 6–8 минут. А затем готовим выступление по своей работе.
Выводы записываем в заранее заготовленную таблицу на доске (или через компьютерную презентацию).

Вместе вырабатываем (план) Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром относительно заданных точек.

Алгоритм решения. (Cлайд 12)

• Постановка проблемы.
• Путь решения.
• Составить математическую модель. (Ввести функцию.)
• Найти решение.
• Записать ответ.

5. Закрепление изученного материала. (Слайд 13)

При каких значениях а оба корня уравнения х² – ах + 2 = 0 лежат в промежутке (0; 3)

1. Проблема поставлена условием задачи.
2. Воспользуемся первым способом решения:

3. Составим модель решения квадратного уравнения с параметром.

D = b ² – 4 ac
a ² – 4•1 •2 > 0

лежат в промежутке (-1; 5)Ответ:

Самостоятельно в тетрадях:

При каких значениях а оба корня лежат в промежутке (-1; 2)

6. Домашнее задание.

1) х 2 – ах + 2 = 0 лежат в промежутке (1; 3) Ответ: [2√2; 3)

2) 4х 2 – 2х + а = 0 лежат в промежутке (-1; 1) Ответ: (-2; 0,25]

7. Итог занятия. (Слайд 14)

“Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”
Ян Амос Каминский

– Что нового узнали?
– Чему научились?

Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра

Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.

Уметь применять следующие теоремы и следствия:

Пусть f(x) = ax2 + bc + c имеет действительные корни x1, x2 (которые могут быть кратными), а M, N – какие-нибудь действительные числа, причем M 1.

Пример 2. При каких значениях k один из коней уравнения (k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

Данный материал будет полезен при решении задач, в которых требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней квадратного трехчлена, заданного явным образом.

Просмотр содержимого документа
«Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой»

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

Рассмотрим квадратный трехчлен

Пусть числа абсцисса вершины параболы, являющейся ее графиком.

Рассмотрим задачи, в которых квадратный трехчлен задан явным образом, и требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

Перечислим основные условия:

оба корня меньше некоторого числа α:

оба корня больше некоторого числа

заданное число α лежит между корнями:

оба корня принадлежат заданному промежутку

только меньший корень принадлежит промежутку

только больший корень принадлежит промежутку

оба корня лежат по обе стороны от промежутка

Рассматривать отдельно задачи, когда оба корня лежат справа или слева от промежутка, смысла не имеет, так как эти случаи в чистом виде соответствуют пунктам 1 и 2.

В таблице ниже приведены условия, необходимые и достаточные для выполнения перечисленных условий.

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

Необходимые и достаточные условия

Помочь запомнить все условия может очень простая «хитрость»: если мы знаем знак выражения , то всегда можем определить, где лежит число α: между корнями или нет.

Объясняется это несложно. Если , то «ветви» параболы направлены вверх. Тогда , а вместе с ним и выражение , меньше нуля, когда число α находится между корнями трехчлена, и больше нуля, когда α не принадлежит интервалу

Если то график квадратного трехчлена «растет» вниз. При этом значение , наоборот, больше нуля, когда число α находится между корнями. Однако выражение снова отрицательно. Аналогично, это выражение положительно при α

Рассмотрим условия первого случая

Неотрицательность дискриминанта дает существование корней, положительность выражения соответствует тому, что , а последнее неравенство устанавливает расположение обоих корней слева от α, ведь абсцисса вершины параболы – середина отрезка [x₁;x₂] – находится слева.

Пример 1. Найти все значения параметра , при которых корни уравнения имеют разные знаки.

Решение. Пусть f(x) = = 0, , причем

Условие того, что уравнение f(x) = 0 имеет корни разных знаков, равнозначно условию расположения числа 0 между нулями квадратичной функции y = f(x).

Необходимым и достаточным условием этого является следующее неравенство (см. третий случай в таблице): (a – 2) (a + 1) a – 2 – коэффициента при х 2 квадратного трехчлена; f(0) = a + 1 – значение квадратного трехчлена при х = 0.

Решив неравенство (a – 2) (a + 1) a

Пример 2. Найти все значения параметра b, при которых корни уравнения меньше 1.

Поскольку коэффициент при содержит параметр, то нужно рассмотреть, когда он может быть равен нулю. При b = – 1 получаем корень х = – 1, который меньше числа 1.

Если b ≠ – 1, то выражение f(x) = является квадратным трехчленом, его корни обозначим как , полагая

Абсцисса вершины параболы находится по формуле

Значение квадратного трехчлена в точке х = 1:

Итак, должны выполняться три условия:

а) дискриминант больше или равен нулю;

б) выражение положительно;

в) абсцисса вершины параболы меньше числа 1.

Получаем систему неравенств:

Изобразим решение каждого неравенства на рисунке:

Таким образом, решением этой системы будут все значения , принадлежащие интервалу (

В итоге, корни уравнения меньше 1 при всех значениях [

Пример 3. Найти все значения a, при которых корни уравнения
принадлежат отрезку [

При a = уравнение примет вид х = 0 и его решение принадлежит отрезку [

При a ≠ необходимые и достаточные условия того, что нули функции f(x) = принадлежат отрезку [ , задаются следующей системой:

Задания для самостоятельного решения

При каких значениях параметра a корни уравнения

Найти все значения b, при которых один из корней уравнения

больше 3, а другой меньше 3.

При каких m корни уравнения имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4?

При каких b корни уравнения по модулю меньше 1?

При каких значениях b оба корня уравнения

принадлежит интервалу (2; 5)?

При каких m все решения неравенства принадлежит отрезку [