Объем продукции произведенной бригадой рабочих описывается уравнением

Объем продукции произведенной бригадой рабочих описывается уравнением

Применение понятия производной

Пусть функция определяет количество произведенной продукции у за время t . Найти производительность труда в момент .

За период времени от t ₀ до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за период времени ∆ t равна . Очевидно, что производительность труда в момент t ₀ определяется как предельное значение средней производительности за период времени от t ₀ до при , т.е.

— предельная производитель ность труда . (1)

Следовательно , производительность труда есть скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени. Заметим, что вторая производная от количества произведенной продукции по времени является ускорением для данной функции, или скоростью для производительности труда за единицу времени.

Пример 1 . Объем продукции, произведенной бригадой рабочих за восьмичасовую смену, описывается уравнением единиц продукции, где t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость ее изменения в начале и в конце рабочего дня.

Решение . Производительность труда

;

скорость ее изменения

.

В начале рабочего дня (при t ₀ =0) производительность труда бригады ;

скорость ее изменения .

В конце рабочего дня (при ) производительность труда бригады и скорость ее изменения получают следующие значения: , .

Пример 2 . Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

(ед.), ,

t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение . Производительность труда

;

скорость изменения производительности

;

темп изменения производительности

.

В момент времени имеем

(ед./ч), (ед./ч 2 ), (ед./ч).

В момент времени получим

(ед./ч), (ед./ч 2 ), (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Издержки производства и прибыль

Издержки производства C однородной продукции есть функция количества выпускаемой продукции Q , т.е. . Пусть — увеличение количества продукции, а — приращение издержек. Тогда среднее приращение издержек производства на единицу продукции

.

(2)

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от количества выпускаемой продукции и определяются переменными производственными затратами на сырье, топливо и т.п.

Аналогично находятся предельная выручка (доход)

(3)

. (4)

Кроме издержек производства товара, существуют издержки его хранения.

Пусть товар завозится на склад партиями по х штук в одной партии, а расходуется с постоянной скоростью. Тогда наполняемость склада зависит от времени t и задается функцией, график которой представлен на рис. 1.

На графике V — количество товара на складе, x /2 — средняя наполняемость склада, t ₀ — время использования партии товара.

Издержки производства товара и издержки его хранения представляют собой совокупные издержки.

Заметим, что в экономической литературе предельные величины называют также маржинальными.

При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква М; при записи средних величин добавляется буква А (от англ. Average — средняя). Например, MR — предельный доход, AR — средний доход.

Пример 3. Издержки производства С, зависящие от объема продукции Q , выражаются уравнением (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки, если объем производства составляет 10 ед. продукции.

Решение. Предельные издержки определяются выражением , откуда .

,

откуда .

Сравнение значений средних и предельных издержек производства при выпуске 10 ед. продукции означает, что увеличение объема на 1 ед. продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед. при средних затратах на производство 1 ед. продукции 18 ден. ед.

Потребление и сбережение

Доход y , остающийся у населения после уплаты налогов, состоит из двух слагаемых: . Первое слагаемое представляет собой часть доходов, которую население тратит. Эта часть составляет функцию потребления . Второе слагаемое составляют сбережения населения. Функция называется функцией сбережения.

Если национальный доход Y получает приращение , то функции потребления и сбережения также получают приращения, соответственно, и : .

Разделив последнее равенство на ∆ y ≠ 0 , перейдем к пределу при . Получим

, т.е. . (5)

называется предельной склонностью к потреблению, производная

— предельная склонность к сбережению.

Заметим, что полученные предельные величины позволяют определить изменения потребления и сбережения при увеличении (уменьшении) национального дохода.

Пример 4. Зависимость потребления от национального дохода задается выражением . Найти предельные склонности к потреблению и сбережению при национальном доходе 30 ед.

Решение . Предельная склонность к потреблению

,

.

Предельную склонность к сбережению найдем, пользуясь равенством

.

При данном уровне национального дохода население больше склонно проедать его. Если национальный доход увеличить на 1 ед. от уровня 30, то потребление вырастет на 0,8 и только 0,2 пойдут на инвестиции.

Производственная функция является экономико-математическим уравнением, связывающим переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Пусть количество продукции Q зависит только от приложенного труда L (численности персонала). Производственная функция примет вид .

Для оценки эффективности производства используется средняя производительность труда P_L , которая определяется отношением .

Руководителей больше интересуют изменения объема продукции Q при увеличении (уменьшении) численности персонала. Понятие предельной производительности труда как производной от продукции Q по величине приложенного труда L позволяет получить ответ, т.е. . (1.14)

Предельная производительность приближенно равна изменению объема выпускаемой продукции при изменении численности персонала на единицу.

Пример 5. Производственная функция задана в виде

. Определить влияние численности персонала на объем выпускаемой продукции.

Решение . Предельная производительность труда

.

Подставим в полученную формулу значения L : ; ; ; ; (значения L заданы произвольно).

; ; ; ; .

; ; ; ; .

Из полученных результатов видно, что предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала. Значит, при дальнейшем увеличении персонала производство продукции будет падать, так как исполнители одного и того же дела начинают мешать друг другу.

Деловая игра Занятие по теме: «Приложение производной в экономике»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Приложение производной в экономике»

Показать применение исследования функции к решению прикладных задач и в ходе ее решения обобщить и систематизировать алгоритм исследования функций и построения графиков.

В процессе подготовки и выполнения заданий продолжать формировать чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичности в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

Основные знания и умения

Знать правила исследования функций и построения графиков. Уметь исследовать функции на возрастание и убывание, экстремум, наибольшее и наименьшее значение на отрезке, строить графики.

Раздаточный материал: карточки задания для групповой работы. Вычислительные средства: микрокалькуляторы.

Урок применения знаний и умений

Форма урока: дидактическая игра

Тема игры: исследование производительности труда

Последовательность хода занятия

1. Сообщить цели и задачи урока.

2. Выдать группам индивидуальное задание, на решение которого отводится 15 минут.

3. Группы готовят ответ-защиту своих решений, а в это время руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок.

1. Сообщение цели и задачи урока

Мы изучили тему «Производная», познакомились со способами исследования функции, рассмотрели физический, геометрический и экономический смысл производной. Цель сегодняшнего урока заключается в том, чтобы от производственной ситуации перейти к математической модели. Необходимо проанализировать, логически осмыслить, обобщить поставленную задачу и подготовить творческий отчет.

В процессе подготовки и выполнения заданий необходимо проявить чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичность в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

2. Сообщение условия игры

Вы являетесь сотрудниками НИИ. Институт получил заказ от одного из заводов города исследовать изменение производительности труда одной, отдельно взятой бригады в течение рабочего дня. Выполнить заказ поручили вашему отделу. Каждая группа отдела решает свою задачу. Итогом работы группы является отчет и его защита. Руководители групп вместе с начальником отдела готовят отчет — проект заказа для института.

По итогам конкурса на должность начальника отдела и руководителей групп назначены___________________________________________________________

Каждая группа получает индивидуальное задание и приступает к его выполнению. Руководители групп могут обращаться за помощью к начальнику отдела. На выполнение задания дается 15 минут. По истечении времени руководители групп и начальник отдела приступают к оформлению отчета.

В это время группы готовят защиту своих решений.

Через 10 минут мы приступаем к обсуждению результатов работы. При оценивании будут учитываться:

1) Время решения задачи.

2) Качество решения задачи.

3) Четкость и ясность защиты.

4) Сознательный и творческий подход к выводу.

5) Самостоятельность в работе.

Объем продукции u ( t ), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = — 5/6 t 3 + 15/2 t 2 + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t — рабочее время в часах.

1) Найти производительность труда, исследовать ее и построить график изменения производительности труда. Сделать вывод.

2) Найти скорость изменения производительности труда. Исследовать ее и построить график. Вычислить скорость изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

3) Найти темп изменения производительности труда. Вычислить темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

4) Найти наибольший и наименьший объем выпущенной продукции. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

5) Вычислить наибольшее и наименьшее значения производительности труда и время, в которое она бывает. Сделать вывод.

Когда целесообразнее всего сделать перерыв? Ответ обосновать.

На решение задачи каждой группой, дается 15 минут. Через 15 минут, или раньше, руководители групп предоставляют решения начальнику отдела и совместно подводят итог работы, делая общий вывод.

3. Подготовка защиты решений и составление общего отчета

Группы готовят защиту решений, руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета

Каждой группе дается 5 минут для выступления и 10 минут выделяется для обсуждения общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок

Подсчитать общее количество баллов по каждой группе. Сообщить результат и дать время для того, чтобы учащиеся обсудили и самостоятельно выставили оценки каждому участнику игры.

По каждому критерию максимальная оценка 5 баллов, максимальная оценка группе – 20 баллов, максимальная оценка руководителям групп – 20 баллов.

При выставлении оценок учесть, что:

1) заказчик выставляет оценку начальнику отдела, главному консультанту и назначает общий балл руководителям групп;

2) руководителям групп выставляют оценку начальник отдела и главный консультант, причем пятерку могут получить только те начальники отделов, чьи группы набрали не менее 20 баллов, а сумма оценок руководителей групп не должна превышать общего балла, который назначил руководителям групп заказчик.

3) остальные сотрудники отдела получают оценку, исходя из общего количества баллов группы, так чтобы оценка каждого не превосходила оценки руководителя.

4) заказчик имеет право проверить объективность любой выставленной оценки.

ТАБЛИЦА ПОДВЕДЕНИЯ ИТОГОВ ПО ГРУППАМ

Инструкция: как считать производительность труда

Эффективность производств прямо зависит от уровня распределения производительных сил в организации или учреждении и степени использования производственного, научного и трудового потенциала персонала. К аждый работодатель обязан задуматься о том, чтобы распределить производительные силы таким образом, чтобы обеспечить эффективность деятельности сотрудников. Э ффективность измерятся двумя способами:

1. Количеством продукции (работ и услуг), произведенной в единицу рабочего времени (час, смену, месяц, год).
2. Объемом времени, которое затрачивается на производство единицы продукции.

Почему так важен этот показатель

Производительность труда — это своеобразная лакмусовая бумажка. Повышение показателя означает, что издержки сократились, а рентабельность, наоборот, выросла. Также существует прямая связь с себестоимостью товаров или услуг: чем больше производительность, тем меньше себестоимость, и наоборот. К онтроль и увеличение продуктивности позволят повысить рентабельность, то есть получить больше прибыли или сделать больше полезного для общества, в зависимости от направления деятельности организации.

Но важно понимать, что бессмысленно стремиться к хорошему показателю только ради красивых цифр. У величите загрузку работников или сократите штатный состав, и на бумаге это приведет к росту производительности труда. Но это совершенно не означает, что организация работает оптимально и у нее нет проблем. Поэтому, наблюдая за показателем, обращайте внимание на резкие скачки или спады и старайтесь оперативно понять причины происходящего.

Поэтому необходимо четко знать, как рассчитывается этот показатель. Для того чтобы определить производительность труда в организации, применяются различные методы. Познакомимся с ними поближе.

Расчет выработки и трудоемкости

Из двух способов оценки эффективности производительности труда следуют два важных понятия, которые потребуются для расчетов:

1. Выработка — это объем продукции (работ или услуг), произведенный одним работником в единицу времени.
2. Трудоемкость — это время, затраченное на производство единицы продукции.

Формула для определения продуктивности содержит оба эти значения. Д ля начала необходимо определить их.

Очевидно, что выработку исчисляют в натуральном выражении: штуках, килограммах, литрах и т. д. А трудоемкость — в минутах, секундах, часах или днях. И то и другое определяется только на практике. Грубо говоря, поставить специалиста на процесс и зафиксировать его показатели. Анализ работы нескольких специалистов позволит вывести среднее значение. И х выводят не сами работодатели, а те, кто занимается технологией, например, производители оборудования.

Формула расчета

Когда перед экономистом встает вопрос: как найти производительность труда, формула поможет дать на него правильный ответ. Она довольно проста:

• ПТ — производительность труда;
• В — выручка;
• Р — количество задействованных работников.

Обычно под количеством работников принимается их среднесписочная численность за тот же период, за который взята выручка. Например, за месяц. Но эта формула довольно примитивная, к тому же в ней не учтена трудоемкость. То есть таким способом получают только очень средние данные о производительности труда по всей организации. Чтобы определить эффективность по каждому виду продукции, применяются точные формулы.

Формула для расчета по балансу

Данные баланса организации являются подспорьем в работе экономиста, который определяет производительность труда, формула расчета по балансу этого показателя выглядеть, к примеру, так:

• О — объем выпущенной продукции;
• Кп — коэффициент простоев;
• Т — трудоемкость.

Из баланса в этом случае берем объем выпущенной продукции. А вот коэффициент простоев и число задействованных сотрудников необходимо выяснить у специалиста по кадрам.

Рассчитывают производительность труда и на основании данных, которые содержатся в бухгалтерском балансе. Для этого используется формула:

• Об — объем выполненных работ или изготовленной продукции, указанный в бухгалтерском балансе;
• П — численность персонала.

Трудоемкость, которая понадобится в первой формуле из этого раздела, считают так:

Эту формулу применяют и для одного работника. Тогда Р равно 1. Например, если человек за день работы смог собрать 20 коробок, то его трудоемкость в час составит: 1 / 20 = 0,05.

Но вернемся к продуктивности. По балансу этот показатель получится усредненным и больше справочным. Чтобы отследить его в динамике и выработать стратегию повышения, придется контролировать процесс каждый день. В этом поможет среднедневной расчет.

Формула для среднедневного расчета

Посчитать этот показатель за день очень просто. Используйте следующую формулу:

• В — выручка;
• О — объем выпущенной продукции;
• Т — трудоемкость.

Полученный результат пригодится для анализа текущей экономической ситуации и планирования роста производительности труда. Это и является залогом движения вперед.

Факторы, влияющие на значение

Отвлечемся от расчетов и формул и рассмотрим то, что непосредственно оказывает влияние на этот показатель. К факторам, способным повысить производительность даже без всяких сложных экономических методов и моделей, относятся:

1. Модернизация оборудования. Чем оно современнее и новее, тем больше производительность.
2. Формирование нормального режима труда и отдыха работников. Перерывы дают возможность повысить эффективность работы в целом.
3. Создание комфортных условий и микроклимата. Когда человека ничто не отвлекает от работы, он способен сделать больше.
4. Постоянное обучение и повышение квалификации работников.
5. Автоматизация производства и других процессов. Замена человеческого труда механизмами существенно улучшает показатели.
6. Внедрение новых технологий.

Очевидно, что все эти меры требуют финансовых вложений. А чтобы получить дополнительные средства, руководство компании должно повышать эффективность работы, то есть осуществлять расчеты и анализировать. Вот круг и замкнулся. Но теперь у вас есть формулы, которые помогут справиться с задачей.

Как повысить производительность труда

Отсюда вытекают способы повышения показателя. Если мы говорим об организации, которая занимается производством продукции, то проводят модернизацию производства и внедряют или обновляют автоматизированные линии, знакомят персонал с новейшими технологиями и тенденциями — поможет обучение, специальные курсы. Крайне важно обеспечить своевременную поставку сырья, чтобы персонал и линии не простаивали в ожидании работы — для этого обратите внимание на отдел логистики.

Нельзя недооценивать и мотивацию сотрудников. При правильном подходе это обеспечивает заинтересованность работников в высокой производительности, что идет на пользу всей организации. В этом направлении работают независимо от профиля деятельности. Обратите внимание на систему KPI и бонусов за достижения: премии, награды, поощрения, как материальные (деньги, ценные подарки), так и нематериальные (лишний выходной, доска почета — старомодно, но всегда приятно видеть, что тебя ценят). Чтобы удержать хороших работников, имеет смысл продумать соцпакет: льготные путевки, полис ДМС, скидки на спортзал, бесплатное питание, корпоративные мероприятия.

В 1998 году закончила КГАУ, экономический факультет по специальности бухгалтер. В 2006 году ТНУ, юридический факультет по специальности гражданское и предпринимательское право. Опыт работы бухгалтером с 1998 по 2007 год. Пишу статьи с 2012 года