Как найти область определения функции?
Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y = x + x — 2 или y = 5 · x 2 + 1 · x 3 , y = x x — 5 или y = x — 1 5 — 3 . Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями.
Что значит найти область определения
После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.
Ограничение области определения
Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть ( 0 , + ∞ ) или такой [ − 3 , 1 ) ∪ [ 5 , 7 ) . Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:
- при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y = x + 2 · x x 4 — 1 ;
- при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y = x + 1 или y = 2 3 · x + 3 x ;
- при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y = 5 · ( x + 1 ) — 3 , y = — 1 + x 1 1 3 , y = ( x 3 — x + 1 ) 2 , которые определены не для всех чисел;
- при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y = ln x 2 + x 4 или y = 1 + log x — 1 ( x + 1 ) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
- при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y = x 3 + t g 2 · x + 5 или y = c t g ( 3 · x 3 — 1 ) , так как они существуют не для любого числа;
- при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y = a r c sin ( x + 2 ) + 2 · x 2 , y = a r c cos x — 1 + x , область определения которых определяется ни интервале от — 1 до 1 .
При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y = x 4 + 2 · x 2 — x + 1 2 + 2 2 3 · x . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.
Правила нахождения области определения
Для примера рассмотрим функцию типа y = 2 · x + 1 . Для вычисления ее значения можем определить x . Из выражения 2 · x + 1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.
Если задана функция типа y = 3 x — 1 , а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3 x — 1 знаменатель равняется нулю при х = 1 , поэтому искомая область определения данной функции примет вид ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) и считается числовым множеством.
На рассмотрении примера y = x 2 — 5 · x + 6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x 2 − 5 · x + 6 ≥ 0 . После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .
При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.
Область определения суммы, разности и произведения функций
Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:
Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n , иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + … + f n ( x ) , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n . Данное утверждение можно записать как:
D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )
Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.
Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .
Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса.
По таблице определения видим, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .
Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 . То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z .
Ответ: все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .
Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:
Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n , тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · … · f n ( x ) , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.
Запишется D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )
Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x .
Правая часть формулы рассматривается как f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · f 3 ( x ) , где за f 1 является постоянной функцией, f 2 является арктангенсом, f 3 – логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Мы получаем, что
D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) D ( f n ) = ( — ∞ , + ∞ ) ( — ∞ , + ∞ ) D ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ )
Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.
Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f ( x ) , где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.
Функция y = C · f ( x ) – произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D ( f ) . Отсюда видим, что область определения функции y = C · f ( x ) является — ∞ , + ∞ D ( f ) = D ( f ) .
Получили, что область определения y = f ( x ) и y = C · f ( x ) , где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞ ) , потому как область определения функции y = — 5 · x — [ 0 , + ∞ ) .
Области определения y = f ( x ) и y = − f ( x ) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.
Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x .
Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 .
f 1 ( x ) = log 3 x и f 2 ( x ) = 3 · 2 x . Тогда получим, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) .
Область определения записывается как D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) . Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .
Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что
D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) — ∞ , + ∞
Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел.
Рассмотрим y = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы ( n + 1 ) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R .
Найти область определения f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 — 2 x 2 + 1 2 .
Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 — 2 x 2 + 1 2 и f 2 ( x ) = 3 · x — ln 5 . Выше было показано, что D ( f 1 ) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) .
Получаем, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = — ∞ , + ∞ ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ ) .
Область определения сложной функции
Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) . Известно, что D ( f ) является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 ( x ) принадлежит области определения f 1 .
Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид
x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )
Рассмотрим решение нескольких примеров.
Найти область определения y = ln x 2 .
Данную функцию представляем в виде y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .
Для решения необходимо использовать известные области определения D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .
Тогда получим систему неравенств вида
x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ — ∞ , + ∞ x 2 ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x 2 > 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )
Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.
Найти область определения функции y = ( a r c sin x ) — 1 2 .
Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где f 1 является степенной функцией с показателем — 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = [ − 1 , 1 ] . Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем систему неравенств вида
x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ — 1 , 1 a r c sin x ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ — 1 , 1 a r c sin x > 0
Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку ( 0 , 1 ] .
Преобразуем систему вида
x ∈ — 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ — 1 , 1 x ∈ ( 0 , 1 ] ⇔ x ∈ ( 0 , 1 ]
Область определения искомой функции имеет интервал равный ( 0 , 1 ] .
Ответ: ( 0 , 1 ] .
Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 ( f 2 ( … f n ( x ) ) ) ) . Область определения такой функции ищется из x ∈ D ( f n ) f n ( x ) ∈ D ( f n — 1 ) f n — 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n — 2 ) . . . f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 ) .
Найти область определения y = sin ( l g x 4 ) .
Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.
Имеем, что по условию D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = [ 0 , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D ( f 3 ) , f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем, что
x ∈ D ( f 3 ) f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ — ∞ , + ∞
Условие lg x 4 ∈ — ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞ ) , значит
x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ — ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞ )
При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.
Область определения дроби
Рассмотрим функцию вида f 1 ( x ) f 2 ( x ) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 ( х ) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .
Запишем функцию y = f 1 ( x ) f 2 ( x ) в виде y = f 1 ( x ) · ( f 2 ( x ) ) — 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 ( x ) с y = ( f 2 ( x ) ) — 1 . Областью определения функции y = f 1 ( x ) является множество D ( f 1 ) , а для сложной y = ( f 2 ( x ) ) — 1 определим из системы вида x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .
Значит, x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .
Найти область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 — x — 6 .
Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g ( 2 · x + 1 ) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде
x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0
Представление сложной функции y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , где f 3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4 – это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1 :
x ∈ D ( f 4 ) 2 · x + 1 ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z
Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 — x — 6 . Тогда получаем, что
x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ — ∞ , + ∞ x 2 — x — 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ — 2 x ≠ 3
Ответ: множество действительных чисел, кроме — 2 , 3 и π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z .
Область определения логарифма с переменной в основании
Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) имеет область определения, которая выглядит так:
x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1
А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:
y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции.
Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 ( x ) и y = log a f 2 ( x ) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 и x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) из самой системы вида
x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1
Обозначить область определения функции y = log 2 · x ( x 2 — 6 x + 5 ) .
Следует принять обозначения f 1 ( x ) = x 2 − 6 · x + 5 и f 2 ( x ) = 2 · x , отсюда D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1 . Тогда получаем систему вида
x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x 2 — 6 x + 5 > 0 x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , 1 ) ∪ ( 5 , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ )
Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x ( x 2 — 6 x + 5 ) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .
Ответ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .
Область определения показательно-степенной функции
Показательно-степенная функция задается формулой вида y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) . Ее область определения включает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .
Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) = a f 2 ( x ) · log a f 1 ( x ) , где где a > 0 , a ≠ 1 .
Найти область определения показательно-степенной функции y = ( x 2 — 1 ) x 3 — 9 · x .
Примем за обозначение f 1 ( x ) = x 2 − 1 и f 2 ( x ) = x 3 — 9 · x .
Функция f 1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Функция f 2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , а f 3 – квадратным корнем с областью определения D ( f 3 ) = [ 0 , + ∞ ) , а функция f 4 – целой рациональной, D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Получаем систему вида
x ∈ D ( f 4 ) f 4 ( x ) ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x 3 — 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) ⇔ x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ )
Значит, область определения для функции f 2 имеет вид D ( f 2 ) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .
Получаем систему вида x ∈ — ∞ , + ∞ x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x 2 — 1 > 0 ⇔ x ∈ — ∞ , + ∞ x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , — 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ — 3 , — 1 ∪ [ 3 , + ∞ )
Ответ: [ − 3 , − 1 ) ∪ [ 3 , + ∞ )
В общем случае
Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.
Таблицы основных результатов
Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф
| Функция | Ее область определения | ||||||||||||||||
| Функция | Ее область определения |
| R | |
| Линейная y = k · x + b | R |
| — ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞ | |
| Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c | R |
| y = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 | R |
| Целая рациональная | R |
| y = C · f ( x ) , где C — число | D ( f ) |
| y = f ( x ) n , где n — четное | x ∈ D ( f 1 ) , f ( x ) ≥ 0 |
| Показательно-степенная y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) | x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 1 ( x ) > 0 |
Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 — 4 x — 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на ( − ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 — 4 x — 2 = x — 2 x + 2 x — 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 .
Как найти область определения функции — примеры и способы решения
В этом вопросе следует разбираться, поскольку понятие не только встречается в школьной и университетской программах, но и широко применяется в науке и программировании (разработке программного обеспечения и прошивки контроллеров).
Общие сведения
Областью определения произвольной функции является множество значений переменных, от которых она зависит и принимает определенное значение. Встречаются функции с одной или несколькими переменными. Для простоты исследования нужно рассмотреть первый тип. Для того чтобы найти область определения и множество значений функции, необходимо использовать простые примеры. Специалисты рекомендуют применять метод изучения «от простого к сложному».
Первый раз этот термин упоминается в школьной программе. Книга «Алгебра и начало анализа» дает базовые знания в этой области. Однако она написана не для всех понятным языком.
Обучаемый часто ищет информацию в интернете. В некоторых случаях ученики занимаются поиском готовых решений, а это не совсем правильно, поскольку математические дисциплины пригодятся при поступлении в высшие учебные заведения. Исследование функции — естественный процесс, который встречается в различных дисциплинах.
Программирование на разных языках пользуется огромной популярностью. В нем нужны математические знания для написания некоторых программ и игр. В последних следует производить точные расчеты и описывать некоторые функции героя. Например, удар мечом подчиняется определенному математическому закону или функции. Для корректной ее работы и тестирования следует находить грамотно ее область определения.
Основные понятия
Область определения функции обозначается буквой «D». Кроме того, указывается ее имя D (f). Допускается также следующее обозначение «D (y)». Если необходимо ее найти для нескольких функций, можно изменить обозначение. Для сложного типа функций z = f (a, b, x, y) эта величина обозначается таким образом: D (z). Аргумент — независимая переменная, принимающая определенные значения.
Существуют также сложные функции, которые включают в число своих переменных и другие функции. Пример, z = f (x, k, l, w, y). В нем величины x, k, l являются переменными, а w и y — следующими функциями: w = 2 * x1 + 5 и y = 2 / (x2 — 6). Для каждого типа функции существует определенный алгоритм, по которому следует находить D (f). Он основывается на многолетнем опыте специалистов и придуман для оптимизации вычислений.
Важно уметь правильно определять тип функции, поскольку от этого зависит процесс выбора алгоритма. Для одних можно сразу определить D (f), для других — решить уравнение или неравенство, для третьих следует решить систему уравнений и т. д.
Можно воспользоваться специальными программными модулями. Простым примером программы является онлайн-калькулятор, позволяющий не только вычислить D (f), но и начертить ее график. Кроме того, D (f) записывается в виде множества значений.
Например, D (y) = [0, 157). Это значит следующее: областью определения функции вида y = 3*x / sqrt (156 — |x|) является множество чисел, которые находятся в интервале от 0 включительно (скобка «[«) до 157 не включительно.
Типы функций
Функций существует огромное разнообразие. Они бывают простыми и сложными. Первые в математических дисциплинах классифицируются на несколько типов: алгебраические, тригонометрические и трансцендентные. Алгебраические классифицируются на рациональные и иррациональные. Рациональные бывают целыми и дробными. Тригонометрические включают в свой состав все функции с sin, cos, tg, ctg и т. д. Трансцендентные делятся на степенные, показательные и логарифмические.
Рациональные целые — выражения полиномиального типа (линейные). Они без корней и степеней, дробей и логарифмов, а также без тригонометрических функций. Областью их определения является множество всех действительных чисел (Z) от бесконечно малого до бесконечно большого числа.
Дробный тип — функции, в числителе и знаменателе которых находится переменная. Для нахождения D (f) нужно исключить все значения переменных в нем, приводящие к 0. Если встречается тригонометрические функции, то нужно вычислить все значения, приводящие к отсутствию D (f) на определенном интервале. Этот тип функций может быть иррациональным, дробным, линейным, а также использоваться вместе со степенью и логарифмом.
К иррациональным функциям относят выражения, которые содержат переменную величину под корнем. Значение D (f) — все Z, кроме переменных, приводящих к отрицательным значениям выражений с четными степенями корней. D (f) степенной функции являются все действительные числа. Однако если степень представлена дробным выражением, то значения переменных не должны приводить к неопределенности (например, 4/0, т. к. на 0 делить нельзя). Для функций с натуральным логарифмом выражение, находящееся под ним, должно быть больше 0.
Правильное обозначение
Очень важно правильно обозначать D (f), поскольку это существенно влияет на результат. Это позволит избежать многих ошибок в любой сфере.
Следует руководствоваться такими правилами:
- Использовать скобку «[» и/или «]», когда нужно указать принадлежность к множеству.
- Круглые скобки используются в двух случаях: указывание границы бесконечности и значения, которое не входит в интервал.
- Для объединения нескольких множеств нужно применять специальный символ «U».
- Допускается использование круглых и квадратных скобок в одном множестве.
Примером в первом случае является множество [0, 100]: от 0 включительно и до 100 не включительно. Во втором случае — (8, 10): значение, равное 9, поскольку 8 и 10 — нижняя и верхняя границы, не принадлежащие множеству.
Два предыдущих множества можно объединить: [0, 100] U (8, 10). Пример записи последнего случая следующий: (20, 50].
Алгоритмы определения
Для удобства определения D (f) необходимо применять специальные алгоритмы, которые упрощают операцию. Целая рациональная функция, как уже было описано ранее, имеет D (f), принадлежащую множеству Z (весь ряд действительных чисел). Кроме того, степенная функция также имеет D (f), которая соответствует Z.
Если функция является дробной, то следует использовать следующий алгоритм:
- Обратить внимание на знаменатель, который не должен быть равен 0.
- Выписать выражение знаменателя и решить его, приравнивая к 0.
- Записать интервал.
Если она представлена в виде четного корня, следует решить неравенство. Значение подкоренного выражения должно быть больше 0. В противном случае область определения под корнем не будет существовать (неопределенность).
Однако если корень нечетный, то D (f) — множество действительных чисел. Для функций с натуральным логарифмом (ln) значение выражения, которое находится под логарифмом, должно быть всегда больше 0. При отрицательных значениях ln «превращается» в неопределенность. Необходимо составить неравенство. Оно должно быть больше 0.
Для тригонометрических выражений синуса sin (x) и косинуса cos (x) множество всех Z является D (f). Однако для тангенса tg (x) и котангенса ctg (x) необходимо исключить значения переменной x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. В этих выражениях k является множеством действительных чисел.
Другие методы
Существуют также и другие методы определения D (f). Ее можно выяснить при помощи следующих инструментов: онлайн-калькулятора, специальных программ и построения графика. Первый способ позволяет довольно быстро найти необходимую величину. Но это не все его возможности. Можно с его помощью строить графики и находить все свойства функции.
Однако первый метод уступает второму, суть которого сводится к использованию специализированного программного обеспечения. В этом случае можно легко изобразить графики заданной функции, исследовать и найти ее основные свойства, а также D (f), представленных в виде функций. Например, зависимость амплитудных значений переменного электрического тока от времени.
В некоторых случаях можно найти D (f), построив ее график. Для этого следует подставить значение аргумента функции и получить ее значение. Построение таблицы зависимости значения функции от ее аргумента позволяет правильно построить графическое представление. Чтобы быстро строить графики, нужно знать их базовые виды: линейный, степенной (квадратичный, кубический и т. д. ), а также другие. Чем точнее графическая иллюстрация, тем легче определить D (f).
После заполнения таблицы значений следует приступать к построению графика. Для этого берутся точки с координатами из таблицы (x, y), и отмечаются на декартовой системе координат.
Затем их следует соединить. Получится график заданной функции, по которому не составит труда сделать определенные выводы.
Примеры решения
Теоретические знания необходимы, но некоторые люди делают огромную ошибку. Они не закрепляют их при помощи практики. Необходимо регулярно решать задачи на нахождения D (f), поскольку в этом случае набирается опыт. Наиболее простыми задачами считаются следующие: нахождения D (f) линейной, степенной, показательной и тригонометрической функций. Важным аспектом считается упрощение выражения. Для этого следует вспомнить также и формулы сокращенного умножения.
С дробными и иррациональными функциями могут возникнуть некоторые сложности, поскольку нужно решить уравнение или неравенство. Однако в последнем случае нельзя путать знак неравенства.
Для линейного вида
Нужно найти D (f) для y = 2*x — 3 * (x — 5). Для решения следует применить такой алгоритм:
- Упростить выражение.
- Определить D (f).
Для упрощения выражения следует раскрыть скобки. Конечно, это делать необязательно, поскольку ответ очевиден D (y) = (-бесконечность, +бесконечность). Но по правилам «хорошего тона» любое математическое выражение следует упрощать: y = 2 * x — 3 * x + 15 = — x + 15 = 15 — x. При решении следует правильно раскрывать скобки, а также следить за знаками. Малейшая ошибка может привести к значительному искажению графика.
В некоторых задачах следует также построить график функции. Для конкретного случая создается таблица зависимости значения «y» от аргумента. Не имеет смысла брать много значений «х», поскольку графиком является прямая. Известно, что необходимы только две точки для ее проведения. Подстановка количества значений «х», превышающих двух, является грубой и распространенной ошибкой.
Дробные и иррациональные
Пусть существует выражение вида y = 1 / [(x — 4) * (x + 4)]. Нужно определить D (f).
Решается задача таким способом:
- Приравнивается знаменатель к 0.
- Решается уравнение.
- Определяется интервал допустимых значений.
Нужно решить уравнение (x — 4) * (x + 4) = 0. Из него видно, что x1 = 4 и x2 = -4, поскольку эти значения «превращают» знаменатель в неопределенность. Следовательно, D (y) = (-бесконечность, -4) U (4, +бесконечность).
В случае с иррациональным выражением: y = sqrt[4 * sqr (x) — 12 * x + 9], нужно решить уравнение подкоренного выражения.
Для решения квадратного уравнения следует применить такой алгоритм:
- Записать неравенство: 4 * sqr (x) — 12 * x + 9 >= 0.
- Дискриминант: D = [(- b)^2] — (4 * a * c) = [(-12)^2] — (4 * 4 * 9) = 144 — 144 = 0.
- D = 0 — только одно решение.
- x = (-b) / (2 * a) >= 12 / (2 * 4) >= 12 / 8 >= 6 / 4 >= 1,5.
Множество чисел D (y) ограничивается следующим интервалом (-бесконечность, 1.5) U (1.5, +бесконечность).
Таким образом, для нахождения множества значений D (f) для конкретного выражения следует воспользоваться специальными алгоритмами. На первоначальном этапе исследования функции следует определить ее тип, поскольку это поможет избежать многих сложностей в процессе решения.
Что такое область определения функции
В данной публикации мы рассмотрим, что такое область определения функции, как обозначается и задается. Также перечислим эти области для наиболее популярных функций.
Понятие области определения
Область определения – это множество значений x , на котором задана функция, т.е. существует y . Иногда называется областью задания.
- x – независимая переменная (аргумент);
- y – зависимая переменная (функция).
Общепринятая запись функции: y = f (x) .
Функция – это зависимость между двумя переменными (множествами). При этом каждому x соответствует только одно определенное значение y .
Геометрическая интерпретация области определения функции – это проекция соответствующего ей графика на ось абсцисс ( 0x ).
Множество значений функции – все значения y , принимаемые функцией на ее области определения. С точки зрения геометрии, это проекция графика на ось ординат ( 0y ).
Область определения обозначается как D (f) . Вместо f , соответственно, указывается конкретная функция, например: D(x 2 ) , D(cos x) и т.д
Затем обычно ставится знак равно и пишутся конкретные значения:
- Через точку с запятой указываем левую и правую границы промежутка, соответствующего значениям на оси 0x (строго в этом порядке).
Например:
- [3; 10] – множество всех значений от трех до десяти включительно;
- [4; 12) – от четырех включительно до двенадцати исключительно;
- (-2; 7] – от минус двух исключительно до плюс семи включительно.
- [-10; -4) ∪ (2; 8) – от минус десяти включительно до минус четырех исключительно и от двух до восьми исключительно.
Примечание:
- Все числа больше нуля записываются так: (0; ∞);
- Все отрицательные: (-∞; 0);
- Все действительные числа: (-∞; ∞) или просто R.
http://nauka.club/matematika/algebra/nayti-oblast-opredeleniya-funktsii.html
http://microexcel.ru/oblast-opredeleniya/