Область определения уравнения как обозначается

Что такое область определения функции

В данной публикации мы рассмотрим, что такое область определения функции, как обозначается и задается. Также перечислим эти области для наиболее популярных функций.

Понятие области определения

Область определения – это множество значений x , на котором задана функция, т.е. существует y . Иногда называется областью задания.

• x – независимая переменная (аргумент);
• y – зависимая переменная (функция).

Общепринятая запись функции: y = f (x) .

Функция – это зависимость между двумя переменными (множествами). При этом каждому x соответствует только одно определенное значение y .

Геометрическая интерпретация области определения функции – это проекция соответствующего ей графика на ось абсцисс ( 0x ).

Множество значений функции – все значения y , принимаемые функцией на ее области определения. С точки зрения геометрии, это проекция графика на ось ординат ( 0y ).

Область определения обозначается как D (f) . Вместо f , соответственно, указывается конкретная функция, например: D(x 2 ) , D(cos x) и т.д

Затем обычно ставится знак равно и пишутся конкретные значения:

Через точку с запятой указываем левую и правую границы промежутка, соответствующего значениям на оси 0x (строго в этом порядке).

Например:

• [3; 10] – множество всех значений от трех до десяти включительно;
• [4; 12) – от четырех включительно до двенадцати исключительно;
• (-2; 7] – от минус двух исключительно до плюс семи включительно.
• [-10; -4) ∪ (2; 8) – от минус десяти включительно до минус четырех исключительно и от двух до восьми исключительно.

Примечание:

• Все числа больше нуля записываются так: (0; ∞);
• Все отрицательные: (-∞; 0);
• Все действительные числа: (-∞; ∞) или просто R.

Область определения функции

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Числовая функция с областью определения D – это соответствие значений переменной x некоторому числу y , которое находится в зависимых отношениях с x .

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, g , f и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида y = f ( x ) . Таким образом, функция f представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y , которая находится в зависимых отношениях от x .

Возьмем для примера функцию y = x 2 . Можно записать ее как f ( x ) = x 2 . Это функция возведения в квадрат, которая ставит в соответствие каждому значению переменной x = x 0 некоторое значение y = x 0 2 . Так, если мы возьмем число 3 , то функция поставит ему в соответствие 9 , поскольку 3 2 = 9 .

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f , используется запись D ( f ) . Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида D ( sin ) или D ( a r c sin ) . Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида D ( f ) , где f – функция синуса или арксинуса.

Если мы хотим записать, что функция f определена на множестве значений x , то используем формулировку D ( f ) = X . Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как D ( a r c sin ) = [ − 1 , 1 ] (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее.)

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y = x 2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Вспомним формулу, которой задается постоянная функция: y = C , или f ( x ) = C . Переменная C может быть любым действительным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение, равное C , следовательно, областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел. Обозначим его R .

Так, если у нас есть функция y = − 3 (или в другой записи f ( x ) = − 3 ), то ( D ( f ) = ( − ∞ , + ∞ ) или D ( f ) = R ) .

Если же мы возьмем функцию y = 7 3 , то для нее, как и для любой постоянной функции, область определения будет равна R .

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем задать функцию извлечения квадратного корня y = x , либо в обобщенном виде функцию корня степени N , которую можно записать в виде формулы y = x n . В этих случаях n может быть любым натуральным числом, которое больше 1 .

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

1. Возьмем сначала случай, когда n – четное число, т.е. n = 2 · m , где m ∈ N . Тогда областью определения станет множество всех неотрицательных действительных чисел: D 2 · m = [ 0 ; + ∞ ) .
2. Если же n представляет из себя нечетное число, которое больше 1 , т.е. n = 2 · m + 1 , то областью определения будет множество всех действительных чисел: D 2 · m + 1 = ( — ∞ ; + ∞ ) .

Таким образом, область определения функций с корнем y = x , y = x 4 , y = x 6 – это числовое множество [ 0 , + ∞ ) , а функций y = x 3 , y = x 5 , y = x 7 – множество ( − ∞ , + ∞ ) .

Область определения степенной функции

Запись степенной функции выглядит как y = x a или f ( x ) = x a , где x является переменной, которая лежит в основании степени, и a представляет из себя определенное число в ее показателе. Мы берем область определения степенной функции в зависимости от значения ее показателя.

Перечислим возможные варианты.

1. Допустим, что a будет положительным целым числом. Тогда областью определения степенной функции будет множество действительных чисел ( − ∞ , + ∞ ) .
2. Если a является нецелым положительным числом, то D ( f ) = [ 0 , + ∞ ) .
3. В случае, когда a относится к целым отрицательным числам, областью определения такой функции становится множество ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .
4. В остальных случаях, т.е. когда a будет отрицательным нецелым числом, область определения будет числовым промежутком ( 0 , + ∞ ) .
5. Если a имеет нулевое значение, то такая степенная функция будет определена для всех действительных x , кроме нулевого. Это связано с неопределенностью 0 0 . Мы знаем, что любое число, кроме 1 , при возведении в нулевую степень будет равно 1 , тогда при a = 0 у нас получится функция y = x 0 = 1 , область определения которой ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Для функций y = x 5 , y = x 12 область определения представляет собой множество всех действительных чисел R , поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Для степенных функций y = x 6 3 , y = x π , y = x 7 4 , y = x 2 3 будут определены на интервале [ 0 , + ∞ ) , поскольку показатели являются положительными, но не целыми числами.

3. Для функции y = x − 5 с целыми отрицательными показателями областью определения будет множество ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

4. Для степенных функций y = x — 19 , y = x — 3 e , y = x — 9 8 , y = x — 3 11 область определения будет представлять из себя открытый числовой луч ( 0 , + ∞ ) , т.к. их показателями являются нецелые отрицательные числа.

Область определения показательной функции

Такую функцию принято записывать как y = a x , причем переменная будет располагаться в показателе функции. Основанием степени здесь является число a , которое больше 0 и не равно 1 .

Область определения такой функции есть множество всех действительных чисел, т.е. R .

Например, если у нас есть показательные функции y = 1 4 x , y = e x , y = 13 x , y = 15 x , то они будут определены на промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Функция логарифма задается как y = log a x , где a – основание, большее 0 и не равное 1 . Она определена на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как D ( log a ) = ( 0 , + ∞ ) , например, D ( ln ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( l g ) = ( 0 , + ∞ ) .

Так, для логарифмических функций y = log 2 3 x , y = log 3 x , y = log 7 x , y = ln x областью определения будет множество ( 0 , + ∞ ) .

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

• Формула y = sin x обозначает функцию синуса ( sin ) . Она будет определена на множестве всех действительных чисел. Можно записать, что D ( sin ) = R .
• Формула y = cos x означает функцию косинуса ( cos ) . Она также будет определена на множестве всех действительных чисел, т.е. D ( cos ) = R .
• Формула y = t g x означает функцию тангенса ( t g ) , а y = c t g x – котангенса. Областью определения тангенса будет множество всех действительных чисел, за исключением π 2 + π · k , k ∈ Z .

Областью определения котангенса будет также множество R , за исключением π · k , k ∈ Z .

Иными словами, если мы знаем, что x является аргументом функций тангенса и котангенса, то нужно помнить, что данные функции определены при x ∈ R , x ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z и x ∈ R , x ≠ π · k , k ∈ Z .

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

• Формула y = a r c sin x обозначает функцию арксинуса. Обычно она рассматривается на отрезке [ − 1 , 1 ] ] и обозначается arcsin. Промежуток [ − 1 , 1 ] и будет нужной нам областью определения данной функции. Можно записать, что D ( a r c sin ) = [ − 1 , 1 ] .
• Формула y = a r c cos x выражает функцию арккосинуса (обозначается a r c cos ). Она рассматривается на том же отрезке, что и арксинус. Следовательно, областью определения данной функции является [ − 1 , 1 ] , т.е. D ( a r c cos ) = [ − 1 , 1 ] .
• Функции y = a r c t g x и y = a r c c t g x означают арктангенс и арккотангенс. Они рассматриваются на множестве всех действительных чисел, значит, областью их определения является R . Можем записать, что D ( a r c t g ) = R и D ( a r c c t g ) = R .

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

[ 0 ; + ∞ ) , если n — четное
— ∞ ; + ∞ , если n — нечетное

— ∞ ; + ∞ , если a > 0 , a ∈ Z
[ 0 ; + ∞ ) , если a > 0 , a ∈ R , a ∉ Z
— ∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ , если a 0 , a ∈ Z
0 ; + ∞ , если a ∈ R , a ≠ Z
— ∞ ; 0 ∪ 0 , + ∞ , если a = 0

y = sin x y = cos x y = t g x y = c t g x

R R x ∈ R , x ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z x ∈ R , x ≠ π · k , k ∈ Z

y = a r c sin x y = a r c cos x y = a r c t g x y = a r c c t g x

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

Область определения функции

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

• Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Материал со звездочкой

Старшеклассникам нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.
2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.
3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.
4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

• Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
• Областью определения функции y = 3 √9 является множество R.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
  
• Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть n = 2m+1, при этом m принадлежит к N, то область определения корня — множество всех действительных чисел:
  

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

D = 16 — 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x 2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x 2 + 4x + 3

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x a , то есть, f(x) = x a , где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

• Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
• Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
• Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
• Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = x a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0 0 . А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x 0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Область определения функций y = x 5 , y = x 12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Область определения функции y = x −2 , как и функции y = x −5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
4. Область определения степенных функций y = x -√19 , y = x -3e , — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a x , где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

• 
• y = e x
• y = (√15) x
• y = 13 x .

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

• 
• y = log₇x
• y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

• Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
• Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
• Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].
Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].
Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции