Обобщение по теме иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Урок обобщения и систематизации знаний.
план-конспект урока по математике (10 класс)

В основе разработки лежат групповые, индивидуальные, информационно-коммуникативные и тестовые методики. Рассматривается решение иррациональных уравнений. Разработанный урок позволяет снять эмоциональное напряжение ребенка, способствует сохранению его здоровья.

Созданы благоприятные условия для развития интеллекта, повышения уровня самооценки и личностного роста детей.

Наглядное представление материала способствует лучшему обобщению материала, позволяет экономить время, прививает интерес к предмету

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Алгебра и начала математического анализа 10 класс. УМК Мерзляк А.Г.

Учитель МБОУ СОШ № 101 г.о. Самара Шестеркина Лилия Раушановна.

Цели урока: Обобщение материала по теме: «Иррациональные уравнения», совершенствование навыков решения уравнений различными методами.

1. Общеобразовательные: расширить и углубить представления учащихся о методах решения иррациональных уравнений; совершенствовать умения и навыки самостоятельного приобретения знаний в процессе работы.
2. Развивающие: способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по теоремам, развивать логическое мышление, навыки самоконтроля, взаимоконтроля, самооценки.
3. Воспитательные: воспитывать взаимопонимания, взаимоуважения, ответственности, настойчивости в учебе; развивать интерес к математике путем информационных технологий.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют /приобретут/ закрепят/др. ученики в ходе урока:

1. Закрепят:

• знания теоретического материала,
• умения применять знания при решении задач,
• элементарные вычислительные навыки.
• коммуникативные умения, навыки индивидуальной и групповой работы

1. Актуализируют:

• навыки анализа и синтеза,
• ИК – компетентность,
• мыслительную деятельность, самостоятельность.

Необходимое оборудование и материалы: компьютер, медиа-проектор, система контроля и мониторинга качества знаний (пульты для учащихся), документ-камера, презентация «Иррациональные уравнения», экран, раздаточный материал.

• Разнообразие форм и методов обобщения и контроля,
• возможность применять пульты и документ-камеру для проверки знаний.

Ход и содержание урока

Оформление доски выполняет ряд функций:

• мотивационную – эпиграф к уроку: «Где есть желание, найдется путь!»
• организационную – тема, цель и план урока.

1. Организационный момент. (3 мин.)

Один из великих философов сказал: «Где есть желание, найдется путь!».

Ребята, как вы понимаете эти слова? (Дети высказываются)

Мы сегодня с большим желанием будем решать уравнения, определяя различные методы решения.

Цель сегодняшнего урока: обобщение материала по теме: «Иррациональные уравнения», совершенствование навыков решения уравнений различными способами.

1. Актуализация опорных знаний. Устная работа . (10 мин.)

Все задания оформлены в презентации. (Слайды 2-14).

Устная работа проводится с помощью системы контроля и мониторинга качества знаний. Учащиеся отвечают на задания с помощью пульта. Все ответы отображаются на компьютере учителя. Для этого презентация заранее настраивается для данной системы контроля. В конце устной работы учитель подводит итоги. В компьютере учителя выводится статистика выполнения устной работы. Те задания, в которых учащиеся ошиблись больше всего, разбираются на доске. Учитель ставит оценки учащимся, максимально ответившим на вопросы.

1. Какое уравнение не является иррациональным:

1. =0 +

1. Какие из чисел являются корнями уравнения

1. -5; 5 +
2. -3; 3
3. -25; 25
4. 0; 9

1. Корнем какого уравнения является число 3

1. +

1. Корнем какого уравнения не является число -2

1. +

1. Найдите корень уравнения

1. 13
2. -6,5
3. 6
4. 6,5 +

1. Найдите корень уравнения

1. 0,5 +
2. 1
3. 2
4. -1

1. Найдите корень уравнения

1. 125
2. 25
3. -125 +
4. корней нет

1. Найдите корень уравнения

1. 9
2. -81; 81
3. корней нет
4. 81 +

1. Найдите корень уравнения

1. 12
2. 48 +
3. 144
4. 27

1. Найдите корень уравнения

1. -7
2. 5
3. 11
4. корней нет +

1. Какое из уравнений не имеет корней

1. +

1. Какое из уравнений не имеет корней

1. +

1. Какое из уравнений не имеет корней

1. +

А сейчас вы побываете в роли учителя. Проверьте работу ученика 10 класса, находящуюся на листе Приложение 1 . Задание для учащихся. Ошибки подчеркните или обведите.

Теперь поменяйтесь листочками и проверьте по образцу. Приложение 2. Образец для проверки.

Оцените работу. Критерии оценивания на доске.

«5» — нашли 9 ошибок

Приложение 1 . Задание для учащихся

Задание для учащихся.

1. Возведите обе части уравнения в квадрат.

1. + =4

Обобщающий урок алгебры и начала анализа по теме «Методы решений иррациональных уравнений»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Образовательные– обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Углубление в пределах темы. Создать условия контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений.
• Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
• Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Метод обучения – частично-поисковый (эвристический).

Тестовая проверка уровня знаний, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока – индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование: презентация, содержащая системно-обобщающую схему, блоки уравнений, шкалу оценок; высказывание: «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

У обучающихся: листы учета знаний, системно-обобщающая схема, листочки, карточки с тестированием (4 варианта), по 3 кружочка (жёлтый, зелёный, красный).

Ход урока

I. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Методы решений иррациональных уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, методы и приемы решения иррациональных уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению иррациональных уравнений.

II. Задание на дом.

Оцените свои способности. Задание на дом по уровню сложности:

на «3» – №183 (1, 3, 5), №155 (3, 4)

на «4» – №160 (2, 3), №156 (1, 2), №159 (1)

на «5» – №163 (1, 3), №188 (1, 4, 5).

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.]. –М.: Просвещение, 2010.

III. Математический диктант.

Математический диктант выполняется с последующей самопроверкой.

Цель: контроль (самоконтроль) знаний по простейшим иррациональным уравнениям, определению иррациональных уравнений, ОДЗ переменной иррационального выражения.

Число правильных ответов учащиеся заносят в лист учета.

1. Какие из следующих уравнений являются иррациональными.
1 вариант:	2 вариант:
а) х + = 2	а) = 1
б) х = 1 + х	б) х² – 2 х + 4 = 0
в) у + = 2	в) у² – у = + 2
г) = 3	г) + = 3
д) у² – 3у = 4	д) z = 1 +
(а, в, г)	(а, г, д)
2. Является ли число х0 корнем уравнения:
, х0 = 4	, х0 = 2
(нет)	(да)
3. Найти ОДЗ переменной в выражении:
(х ≥ 3)	(х ≥ 2)
4. Решите уравнения:
а)= 4	а) = 3
б) = -2	б) + 2 = 0
( а) 16; б) нет корней)	( а) х = 27; б) нет корней)

IV. Систематизация теоретического материала.

Учебная серия «Классификация иррациональных уравнений».

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения иррациональных уравнений.

На доске написаны уравнения данной серии и на слайде презентации представлена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных ответов заносят в лист учета знаний соседа.

Определите методы решения следующих уравнений:

1. х – 1=;
2. = х ;
3. х – 3 + 2 + 0 ;
4. (4х – х2 – 3)= 0 ;
5. ;
6. = х;
7. — 3= 10 ;
8. ––= 0;
9. +=;
10. = х² – 4
11. += 1;
12. 2 – х + 3= 4.

V. Блоки уравнений.

На сравнение, обобщение, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки. Отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний.

1 Вопрос. О чем идет речь?

Ответ: 1, 2, 4 – простейшие иррациональные уравнения, решаются по определению арифметического корня.

3 – простейшее иррациональное уравнение с параметром.

Вопрос. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение?

2.

Вопрос. Что объединяет эти уравнения?

Ответ: Методы решения I и II .

Вопрос. К каким уравнениям сводится решение данных уравнений после применения этих методов?

Ответ: К квадратным уравнениям.

Вопрос. Какое уравнение особенное?

Ответ: №4. Под знаком квадратного корня полный квадрат разности (х – 3)².

А по формуле = получается уравнение с модулем = 5 – х. Решение полученного уравнения с объяснением у доски.

3.

Вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ: №3 не иррациональное уравнение, следовательно, лишнее. Но все эти уравнения не имеют корней, следовательно, они равносильные.

Вопрос. Объясните, почему уравнение № 4 не имеет решений.

Вопрос. Объясните, почему уравнение № 3 не имеет решений.

4.

Что бы это означало? Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

Вопрос. Что можно делать?

Вопрос. Что нельзя?

Вопрос. К чему может привести это преобразование?

Решить уравнение № 3 на доске и в тетрадях. (ответ: х₁=1; х₂ = 3)

VI. Дифференцированная самостоятельная работа в виде тестирования.

Четыре варианта карточек с выбором правильного ответа из четырех предложенных.

1. Решить уравнение.
2. Найти сумму (произведение) корней.
3. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения.

Листы с решениями учащиеся сдают учителю. Сверяют свои ответы с правильными, записанными на доске или на слайде. Заносят результаты в лист учета знаний.

VII. Подведение итогов.

По шкале оценок каждый учащийся ставит себе предварительную оценку в лист учета знаний. После проверки учителем самостоятельной работы, итоговая оценка будет сообщена на следующем уроке.

VIII. Отчет учащихся об индивидуальном домашнем задании.

(Решение уравнений ученики записывают на перемене перед началом урока на откидных досках или готовят слайд презентации)

Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной.

1) 2х² – 6х + + 2 = 0

у = у ≥ 0

у²= х² -3х + 6, х2- 3х = у²- 6, 2х²- 6х = 2у² – 12,

обобщение по теме»Иррациональные уравнения, методы решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Иррациональные уравнения, методы решения .

Определение: Иррациональное уравнение – уравнение, в котором под знаком радикала содержится переменная.

I . Способы, используемые непосредственно при решении иррациональных уравнений.

1. При решений иррациональных уравнений часто возможен переход к равносильному уравнению, системе или совокупности. Если все сделанные преобразования равносильны, то последующая проверка корней не обязательна и может быть проведена только с целью контроля безошибочности решения.

Решить уравнение

Перейдём к равносильной системе:

Все сделанные преобразования равносильны.

К основным равносильным переходам относится: возведение в квадрат, если правая часть – число или уравнение содержит один радикал.

Уравнение

2.Уединение радикала и возведение в степень.

-1 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

3.Переход к системе уравнений.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, в том и только том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

Ответ: нет корней.

4. Выделение квадрата двучлена.

Верно для любого х из ОДЗ.

5.Уравнения, содержащие кубические радикалы.

6. Умножение на сопряженное.

Определение: Сопряженным множителем для выражения, содержащего радикалы, считается такое, отличное от нуля выражение, при умножении на которое первого получается выражение, не содержащее корни.

Ответ:

7. Уравнения вида

Решить уравнение:

Заметим, что сумма выражений, стоящих под радикалами в левой части, равна выражению, стоящему под радикалом в правой части. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности систем:

Первая система не имеет решений, решив вторую, найдём: х=1.

II . Использование общих способов решения уравнений при решении иррациональных уравнений.

2. Тригонометрическая замена переменной.

Решить уравнение

Левая часть имеет смысл при | x |≤1. Сделаем замену переменной. Пусть x = sin y . Уравнение примет вид

Полученное равенство возможно лишь при

Ответ:

3. Разложение на множители.

III . Использование свойств функций.

1. Использование ОДЗ.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений или найти решения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Система не имеет решений. Ни одно число не является решением уравнения.

Ответ: нет решений.

2. Использование ограниченности функции.

Определение : Функция y = f ( x ) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке J ,который принадлежит области определения функции, если существует такое число М , что f ( x )  М, ( f ( x )  М) для любого x , принадлежащего промежутку J .

Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, наибольшее значение принимает в вершине.

Наибольшее значение левая часть уравнения (2) достигает в х=-1, оно равно 4.

Наименьшее значение правой части уравнение (2) достигает при х= -1.

Рассмотрим функцию

При х  -1 левая часть на своей области допустимых значений меньше правой, значит, х =-1.

3. Монотонность функции.

Если f ( x ) непрерывная монотонная функция на промежутке J , то уравнение f ( x ) =С , где С – константа, имеет не более одного решения.

Функции непрерывны и убывают, следовательно,

непрерывна и убывает. Каждое своё значение принимает только в одной точке. Легко заметить, что h (2)=2, значит, х=2 – единственный корень.

Теорема о монотонных функциях.

Решите уравнение

Рассмотрим функцию

Функция монотонно возрастает на D ( f )=[0;+∞). Исходное уравнение имеет вид . В силу возрастания функции оно равносильно уравнению f ( x )= x , то есть

4. Использование графиков функций.

Строятся эскизы графиков, что помогает выяснить, на какие промежутки надо разбить ось Х, чтобы на каждом из них решение уравнения было очевидным. График помогает найти решения, но ответ надо обосновать.

Решите уравнение

С

делаем эскизы графиков функций.

Проведём прямую у=2. График f ( x ) лежит выше прямой у=2. График g ( x ) лежит ниже прямой у=2. Эти графики касаются прямой у=2 в различных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это.

Для х  [-2;2] .

Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

— посторонние корни, так как правая часть меньше 0.

обращает в отрицательное значение .

x =3 обращает уравнение в верное равенство.

Ответ:.

Ответ: .

Задание для самоподготовки

I .Решите уравнения:

II .Решите системы уравнений:

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8).

I . 1)2; 2)-1; 1; 3)нет корней; 4)2; 5)-2; 6)4; 7)нет корней;8)1; 9) нет корней; 10)[3; +∞); 11)5; 12)нет корней; 13); 14)1; 15)76; 16)3; 17)7; 18); 19);20)-5;2; 21)нет корней; 22) (умножение на сопряженное);23)1 (графический); 24)0;3 (графический);25)2 (ограниченность функции);26)1 (монотонность функции); 27); 28)2(выделение квадрата двучлена); 29) –1;5(разложение на множители); 30)-1; 31)3; 32)33)-3;5; 34)-4;2; 35).

II. 1)3)(1;1); 4)(81;1),(1;81); 5)(0;0),(-3;1), (6;1), (3;2); 6);7)(-4;-0,6); 8)(2;-1).