Обобщение темы квадратные уравнения 8 класс презентация

Урок обобщающего повторения по теме «Квадратные уравнения». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Цель урока: рассмотреть разные типы задач, приводящих к решению квадратных уравнений.

1) Обобщить знания и умения по данной теме.

2) Расширить связь математики с другими предметами и с жизнью.

3) Развивать творческие способности учащихся, внимание, стремление к знаниям, умение общаться.

4) Расширить кругозор учащихся в области истории математики.

5) Активизировать интерес к математики.

Тип урока: повторение и обобщение знаний по теме.

Форма урока: игра.

Оборудование: презентация, раздаточный материал, карточки.

План урока.

1. Организационный момент “Настроимся на урок”.
2. Игра-заседание клуба “Знатоков”:
   1. Ищи ошибку.
   2. Получи слово.
   3. Чёрный ящик.
   4. Ряд Рачинского.
   5. Современная мастерская.
   6. Дорога жизни.
3. Заключительная часть урока:
   1. Итоги урока.
   2. Награждения и оценки.
   3. Рефлексия.

1. Организационный момент. Настроимся на урок.

“Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем”

(Английский поэт средних веков – Чоссер)

Предлагаю открыть заседание клуба “Знатоков”. Каждый из вас имеет право участвовать в борьбе на личное первенство. Лучшие знатоки будут награждены дипломами 1, 2 и 3 степени, а также будут отмечены ребята, предложившие оригинальные решения задач.

2. Игра-задания знатокам:

Ищи ошибку. (Слайд № 5, 6). За верный ответ – максимально 3 очка. Получи слово. (Слайд №7). Максимально — 5 очков.

Ученикам раздаются карточки с уравнениями, где закодировано слово.

Все ребята, правильно решившие уравнения, получили слово “тайна” и по 5 баллов.

Учитель рассказывает “тайну” Пифагора. (Слайд №8)

3. Чёрный ящик. (5 очков). Выносится чёрный ящик и объясняется задание. (Слайд №9, 10).

1) Угадайте, что в ящике? (Ответ: корень).

2) Решив уравнения, применяя теорему Виета, вы узнаете какого растения это корень.

4. Ряд Рачинского – творческое задание. (Максимум – 10 баллов). (Слайд №11)

Профессор Рачинский, работая учителем сельской школы, подметил особенность чисел 10, 11, 12, 13,14, а именно: 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 .

Единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, у которых сумма квадратов первых трёх равна сумме квадратов двух последних?

Подсказка к решению: обозначим 5 последовательных чисел так: х – 1, х, х + 1, х + 2, х +3.

Составьте равенство и решите его. Решение для тех учеников, кто не справился. (Слайд №11)

Следовательно, существует два ряда чисел, обладающих таким свойством:

1) 10, 11, 12, 13, 14;

5. Современная мастерская. (Слайд №12, максимум 5 баллов)

Задание: Можно ли из круглого листа железа, диаметром 1, 4 метра, вырезать прямоугольник со сторонами, равными корням уравнения: 0,1х 2 – 0,2х + 0,1 = 0.

Решение: Перейдём к равносильному уравнению: х 2 – 2х + 1 = 0. (х – 1) 2 = 0. Х = 1. Значит надо вырезать квадрат со стороной 1 метр.

1. Способ: а 2 = 0.7 2 + 0.7 2 = 0,98; а = 0, 7 _ 1
2. Способ: а = 2R* = 0,7 .

6. “Дорога жизни” (5 баллов). (Слайд №13, 14, 15, 16)

Задача: С какой скоростью по ещё неокрепшему льду Ладоги двигались грузовые машины и лошадиные повозки, если расстояние около 30 км машина проходила на 1 час быстрее, чем повозка, так как скорость машины на 5 км/час больше?

Решение: х км/час – скорость повозки; (х + 5) км/час – скорость машины.

Уравнение: — = 1; Ответ: 10 км; 15 км.

7. Заключительная часть урока.

Итоги урока: мы обобщили знания по теме “Квадратные уравнения”, убедились в её необходимости, ведь она находит широкое применение при решении огромного количества математических и практических задач.
1. Подсчёт баллов и награждения:

Математическое “домино” – карточки раздаются ученикам.

Они решают, пока учитель подсчитывает баллы и подписывает дипломы.

Ответы к карточкам “домино”. (Слайд №17)

Х₂=4Х 2 -5х-14=0Х₁=-1

Х₂=-4Х 2 -2х-3=0Х₁=-2

Х₂=7Х 2 +6х+9=0Х₁=-1

Х₂=3Х 2 -8х+16=0Х=-33х 2 +8х-3=0Х=43х 2 +7х-6=0Х₁=1/3

Х₂=-3Х₁=2/3

Пусть ты не станешь Пифагором,
Каким хотел бы может быть!
Но будешь ты рабочим, учителем, учёным
И будешь честно Родине служить.

Ребята! Интересно ли вам было на уроке? Довольны ли вы результатами? Спасибо вам за урок.

Обобщающий урок по теме ”Квадратные уравнения”

Разработка обобщающего урока по теме «Квадратные уравнения» для 8 класса. В презентации представлен тест и познавательный материал

Просмотр содержимого документа
«Обобщающий урок по теме ”Квадратные уравнения”»

Обобщающий урок по теме ” Квадратные уравнения ”

’’ Никогда не считай, что ты знаешь все, что тебе уже больше нечему учиться. ”

• Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы, отработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида различными способами, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения.
• Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать, умения выступать с самостоятельными суждениями и отстаивать их.
• Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, умение работать в группах, развивать познавательную активность и логическое мышление учащихся, развития интереса к предмету.

0 — уравнение имеет два корня х 1 = D = 0 ─ уравнение имеет один корень D ─ уравнение не имеет корней х = — х 2 =» width=»640″

Формула корней квадратного уравнения

D0 — уравнение имеет два корня

D = 0 ─ уравнение имеет один корень

D ─ уравнение не имеет корней

0 — уравнение имеет два корня D = 0 ─ уравнение имеет один корень х = х =————— х = ————» width=»640″

Формула корней квадратного уравнения

D0 — уравнение имеет два корня

D = 0 ─ уравнение имеет один корень

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Найдите в каждой группе уравнений «лишнее»:

Не решая уравнения, найдите корни:

Какие из уравнений не имеют

Не решая уравнение

б) произведение корней:

в) корни данного уравнения:

Найдите сумму и произведение корней в

Работа в классе

• Найдите корень уравнения:
• 1. 13х2 + 18х — 31 = 0 2. 5х2 -27х + 22 = 0
• 3. Из пункта А одновременно выехали грузовой и легковой автомобили, один на север, другой на восток. Скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузового. Через 1,5 ч расстояние между ними составило 150 км. Найдите скорости автомобилей

Выполни тест по теме Квадратные уравнения и теорема Виета

1. Дискриминант какого из уравнений равен 121?

а) 3х2 -5х + 4 = 0; б) 3х2 +5х — 8 = 0; в) х2 -11х + 1 = 0; г) -3х2 — 11х — 8 = 0.

2. Решите уравнение: х2 — 8х + 7 = 0.

а) -1; 7; б) 1; -7; в) 1; 7; г) -1; ?7.

3. Найдите сумму корней уравнения: 4х2 + 22х — 7 = 0.

а) -22; б) корней нет; в) 22; г) -5,5.

4. Найдите произведение корней уравнения: 5х2 — 2х + 9 = 0.

а) 9; б) ?9; в) корней нет; г) 1,8.

5. Выделите квадрат двучлена из многочлена: х2 -8х — 11.

а) (х — 8)2 — 5; б) (х — 3)2 + х; в) (х — 4)2 — 5; г) (х — 4)2 — 27.

1. Дискриминант какого из уравнений равен 25?

а) 2х2 +7х + 3 = 0; б) -2х2 +7х + 3 = 0; в) х2 -5х + 1 = 0; г) -2х2 — 7х + 3 = 0.

2. Решите уравнение: х2 — 5х — 36 = 0.

а) 4; -9; б) -4; 9; в) 4; 9; г) -4; -9.

3. Найдите сумму корней уравнения: 5х2 — 13х + 9 = 0.

а) 13; б) -13; в) корней нет; г) 2,6.

4. Найдите произведение корней уравнения: 3х2 — 7х — 8 = 0.

а) -8; б) 2 в) корней нет; г) 8.

5. Выделите квадрат двучлена из многочлена: х2 +10х — 14.

а) (х — 10)2 — 6; б) (х + 6)2 — 22х; в) (х + 4)2 — 39; г) (х + 5)2 — 24.

• Ответ: 1 2 3 4 5
• В 1 б в г в г
• В 2 а б в б в

История развития квадратных

Квадратные уравнения в Багдаде(9 век).

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Индии.

Квадратные уравнения в Европе 13 -17в.в.

Квадратные уравнения в Багдаде (9 век):

Впервые квадратные уравнения

появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путем, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод Ал-Хорезми почти алгебраический.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х 2 + х = х 2 ─ х =

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила, Почти все найденные до сих пор клинописные тексты, приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены, Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “ Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические

Квадратные уравнения в Европе в 13-17 веках:

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были

Впервые изложены в 1202 году итальянским математиком

Общее правило решения квадратных

уравнений, приведенных к единому

каноническому виду а x 2 + bx + c = 0 ,было

Сформулировано в Европе лишь в 1544

Году немецким математиком

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных

Уравнений (х 2 + х = а) умели решать Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду

a х 2 + bx + c = 0 , где а ≠ 0,дал индийский ученый Брахмагупта (7век).

Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 веке учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего

Египта. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне

(около 2 тыс. лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений,

сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский ( III век).

Правило решения квадратных уравнений дал индийский учёный

Общее правило решения квадратных уравнений было

Сформулировано немецким математиком М. Штифелем.

Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Ф. Виет .

Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя Символику во все алгебраические доказательства путём применения буквенных обозначений для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и тригонометрии.

Франсуа Виет родился в городке Фонтене-ле-Конт, недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель. Получил юридическое образование, но стал секретарём и домашним учителем. Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.

В 1571 году Виет переехал в Париж, где возобновил адвокатскую практику а позже стал советником парламента в Британии. Занял должность тайного советника сначала при короле Генрихе III ,а затем при Генрихе IV .

Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра из 500 знаков, меняющихся время от времени, которыми пользовались испанцы.

Из-за религиозных противоречий1 был отстранён от двора и вернулся на службу лишь после разрыва короля с герцогами Гизами.

Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью, где он работал самозабвенно. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал “ Искусство анализа или Новая алгебра ” . Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Материалы к уроку обобщения с презентацией по алгебре на тему «Квадратные уравнения» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ истори квадр уравн.docx

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э. на территории современного Ирака , придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства .

В Древнем Вавилоне необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.

«Площадь, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

Это приводит к уравнениям, решение которых сводится к решению квадратного уравнения , имеющему положительный корень .

В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:

«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т. д

Квадратные уравнения в Индии

Еще в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук.

Наибольших успехов Индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греков.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 +bх=с, а>0.

Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования
в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: