Обратные уравнения 10 класс примеры

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Обратные уравнения 10 класс примеры

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной — существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a ( arcsin а) — такой угол а из промежутка , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a ( arccos а) — такой угол а из промежутка [0; π], косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a ( arctg а) — такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a ( arcctg а) — такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Обратные тригонометрические функции

Уравнения и неравенства

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов значительные трудности. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как — то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода.

В данном материале уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, по методам решения условно разделены на 4 группы, поэтому изложение материала производится в соответствии этого разбиения. Вначале перечислены основные свойства обратных тригонометрических функций и основные соотношения, которые используются при решении уравнений. В конце имеется набор упражнений для самостоятельной работы и приведены ответы.

Вначале напомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.

Функция у = arcsin x

E(arcsin) = [- π /2;π /2]

arcsin 0 = 0, arcsin 1 = π /2,

является функцией нечетной, т.е.

arcsin(-x) = arcsin x; (| х |  1)

является функцией возрастающей

Функция у = arccos x

arccos 0 = π /2, arccos 1 = 0,

4) не является функцией ни четной, ни нечетной: arccos (-x) = π – arccos x; (|х |  1)

5) является функцией убывающей.

Функция у = arctg x

arctg 0 = 0, arctg  2/2 = π/4;

является функцией нечетной:

arctg (-x) = — arctg x;

является функцией возрастающей.

Функция у = arcctg x

Не является функцией ни четной, ни нечетной: arcctg(-x) = π – arcctg x

Является функцией убывающей.

sin(arcsin x) = x, при -1  x  1;

cos(arccos x) = x, при -1  x  1;

tg(arctg x) =x, при x  R

ctg(arcctg x) =x, при x  R

Формулы перехода к функциям другого наименования:

arcsin x = arccos = arctg x/ = arcctg /x, 0

arccos x = arcsin = arctg /x = arcctg x/ , 0

arctg x = arcsin x/ = arccos 1/ = arcctg 1/x, x>0

arcctg x = arcsin 1/ = arccos x/ = arctg 1/x, x>0

3. Основные тождества:

arcsin x + arccos x =π /2, при -1  x  1

arctg x + arcctg x = π /2 , при x  R

Применение метода замены переменной

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Пример 1. Решить уравнение

2 arcsin 2 x – 7 arcsin x + 3 =0

Пусть arcsin x =t, | t |  π / 2

Откуда t = 3 или t = 1/2

Поскольку , | t |  π / 2 , то t = 1/2

Или arcsin x = 1/2 , x = sin1 / 2

Пример 2. Решить уравнение

arcsin 2 x + arccos 2 x = 5π 2 /36.

Пусть arcsin x =α, arccos x =β, | α |  π/2, 0  β  π;

По условию задания составим систему двух уравнений:

α 2 + β 2 = 5π 2 /36,

Решая, систему двух уравнений с двумя неизвестными получаем что, β = π /3 или β = π / 6

Или arccos x = π /3 или arccos x = π / 6

x = 1 / 2 или х =  3 / 2

Пример 3. Решить неравенство

arccos 2 x – 3 arccos x + 2  2

Решение. Пусть arccos x = t, 0  t  π. Тогда

Решая, квадратичное неравенство имеем:

Поскольку 0  t  π , то  2  t  π

Откуда  2  arccos x  π   — 1  x  cos 2

 0  arccos x  1  cos 1  x  1.

Ответ : [-1; cos 2]  [cos 1; 1].

Решить следующие уравнения методом замены переменной:

arcsin 2 x – π /2arcsin x + π 2 /18 = 0

arctg 2 x + arcctg 2 x = π 2 /8

6 arctg 2 x – 5 arctg x + 1 = 0

12 arctg 2 x/2 = π (3 π + 5 arctg x/2)

arcsinx  arccosx = π 2 /18

arctgx  arcctgx = -5π 2 /18

2. Уравнения и неравенства, содержащие одноименные обратные тригонометрические функции

Решение этих уравнений и неравенств основывается на таком свойстве обратных тригонометрических функций, как монотонность. Напомним, что функции y = arcsin x и y = arctg x монотонно возрастают, а функции y = arccos x и y = arcctg x монотонно убывают. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы:

a) arcsin f(x) = arcsin g(x) 

б ) arcsin f(x)  arcsin g(x)   f(x)  -1,

а ) arccos f(x) = arccos g(x) 

б ) arccos f(x)  arccos g(x)   g(x)  -1,

3 . а ) arctg f(x) = acrtg g(x)  f(x) = g(x);

б ) arctg f(x)  arctg g(x)  f(x)  g(x).

4. а ) arcctg f(x) = accrtg g(x)  f(x) = g(x);

б ) arcctg f(x)  arcctg g(x)  f(x)  g(x).

Замечание. Какое из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а) и 2а), зависит от того, какое неравенство проще: |f(x)|  1 (тогда используем первую систему), или |g(x) |  1 (в этом случае используем вторую систему).

Пример 10. Решить неравенство

2 arcsin x/2  π /3

arcsin x/ 2  π /6

arcsin x/ 2  arcsin 1/ 2

С учетом ОДЗ –2  х  1

Пример 11. Решить уравнение

arcsin (2x -15) = arcsin (x 2 — 6x — 8)

Учитывая, вышеприведенные равносильные преобразования имеем:

2х – 15 = х 2 – 6х – 8,   x 2 – 8x + 7 – 0, 

| 2x – 15|  1  | 2x – 15 |  1

Замечание. Решать неравенство, входящее в систему, не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения, как это и было сделано при решении уравнения 11.

Пример 12. Решить уравнение

arccos (4x 2 – 3x – 2) + arccos ( 3x 2 – 8x – 4) = π.

Решение. Так как π – arccos t = arccos (-t ), то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:

arccos ( 4x 2 – 3x – 2) = π – arccos ( 3x 2 – 8x – 4) 

arccos ( 4x 2 – 3x – 2) = arccos (-3x 2 + 8x + 4) 

 4x 2 – 3x – 2 = -3x 2 + 8x + 4,   7x 2 – 11x – 6 – 0,  |4x 2 – 3x – 2 |  1  |4x 2 – 3x – 2 |  1

Пример 13. Решить неравенство

arctg (5x 2 – 3x) > arctg (5x – 3).

Это неравенство равносильно неравенству:

( 5x 2 – 3x) > (5х – 3),

х (5х – 3) – (5х – 3) > 0,

Решение находится за корнями:

x > 1 или x  ; 0,6)  (1;  ).

Пример 14. Решить неравенство

arcsin (x 2 – x) > arcsin (3x – 4).

Это неравенство равносильно системе неравенств:

Решим первое неравенство системы:

Решим второе неравенство системы:

(1 —  5)/2  х  (1 +  5)/2.

Решим третье неравенство системы: х  1.

Объединяя, полученные результаты имеем

Аналогичные равносильные преобразования используются и при решении задач с параметрами.

Пример 15. Решить уравнение с параметром а:

arcsin (ax 2 – ax + 1) + arcsin x = 0.

Решение. Уравнение равносильно уравнению

arcsin (ax 2 – ax + 1) = — arcsin x 

 arcsin (ax 2 – ax + 1) = arcsin (-x) 

 ax 2 – ax + 1 = -1,   ax 2 – (a – 1)x – 1 = 0,

Рассмотрим два случая:

а =0. В этом случае система примет вид:

а  0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни: х₁ = 1 и х₂ = -1/a. Так как |x |  1, то | -1/a |  1  |a |  1. Если а = -1, то х₂ = х₁ = 1.

Если а  ( —  ; -1)  [1;  ), то уравнение имеет два корня.

Ответ: при а  (-  ; -1)  [1;  ) х = 1 и х = — 1/a;

при а = -1 и а = 0 х = 1;

при прочих а решений нет.

Решить следующие уравнения и неравенства:

16. 2 arccos x/2 ≥ π /2.

17. arccos (x 2 – 4x +3) > π /2.

18. arcsin (2x 2 – 9x +8 )/2 π /6

19. arcsin (5x – 3) π /3

20. arccos (3x + 2) = arccos ( 5x + 3).

21. arcctg (x 2 +2x) = arcctg (8x –5)

22. arccos (2x –1) arcsin (5x –3)

24. arctg x/2 + arctg x/3 = arctg x

3. Уравнения и неравенства, содержащие разноименные обратные тригонометрические функции.

При решении уравнений и неравенств данного вида пользуются известными тригонометрическими тождествами. Эта группа задач является более сложной по сравнению с предыдущей. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Например, требуется решить уравнение

arcsin f(x) = arccos g(x).

Предположим, что х₀ – решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(х₀) = arccos g(х₀) через α. Тогда sin α = f(х₀), cos α = g(х₀), откуда

arcsin f(x) = arccos g(x)  f 2 (х₀) + g 2 (х₀) = 1.

Пример 25. Решить уравнение:

arcsin 5x = arccos 12x

Решение. Используем формулу:

arcsin f(x) = arccos g(x)   f 2 (х₎ + g 2 (х) = 1,

Условия f(x)  0, g(x)  0 появляются так, как в противном случае, множество значений правой и левой частей уравнения не пересекаются.

Исходя, из вышеприведенной системы имеем:

(5х) 2 + (12х) 2 = 1,   25х 2 + 144 х 2 = 1, 

169х 2 = 1,  х = ± 1/13,

Пример 26. Решить неравенство

arccos x > arctg x.

Решение. Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(x) = arccos x – arctg x и решим неравенство f(x) > 0. Областью определения этой функции является отрезок [-1;1]

Найдем нули функции: arccos x = arctg x

Используя формулу cos 2  = 1/(1 + tg 2  ) перейдем к системе:

x > 0; так как множество значений функций

y = arccos x и y = arc t g x совпадают при x > 0.

Решением первого уравнения системы будут значения х 2 = (  5 – 1)/2, но т.к. x > 0, то остается один нуль: х =  (  5 – 1)/2. Отметим его на координатной прямой:

Определим знаки в каждом интервале:

f(1) = arccos 1 – arctg 1 = — π /4

f(-1) = arccos(-1) – arctg(-1) = π + π /4 >0;

f(x) > 0 при -1  x  (  5 – 1)/2.

Пример 27. Решить уравнение

arcsin x = arccos(1 –2x).

Решение. Исходному уравнению равносильна система  sin(arcsin x) = sin(arccos(1 – 2x)),

Отсюда  х =  1 – (1 – 2х) 2 ,

Решить уравнения и неравенства:

28. arccos 4x = arcsin 3x;

29. arcsin x = arccos √1-x;

30. arcsin (x 2 – 2x) = arccos √1-x 2 ;

31. arcsin x = arcctg x;

Общий метод решения.

При решении уравнений и неравенств этого типа используются методы сведения их к алгебраическим. При их решении приходится использовать самые разные преобразования (которые могут быть не эквивалентными), поэтому необходимо сделать проверку каждого получившегося корня.

Пример 34. Решить неравенство

arcsinx ( π /2 – arcsin x )  0.

Решение. ОДЗ: | x |  1

Пусть arcsin x = t , | t |  π /2

Тогда неравенство перепишется

Данное неравенство равносильно совокупности:

С учетом условия | t |  π /2

-π/2  t  0, t = π /2

Вернемся к старой переменной:

— π /2  arcsin x  0, arcsin x = π/2

Пример 35. Решить уравнение

arccos x = 2 arctg (1 – x ).

Решение. ОДЗ: | x |  1

Обозначим arccos x через α , а arctg (1 – х) через β, тогда cos α = x , tg β = 1 – x . По условию задачи имеем систему:

Преобразуем второе уравнение системы:

Заменим tg  = t, тогда 1 – t 2 + t + t 3 – 1 – t 2 = 0,

t 3 – 2t 2 + t = 0,

 t = 0,   tg  = 0,   1 – x = 0,   x = 1,

 t = 1;  tg  = 1;  1 – x = 1;  x = 0.

Пример 36. Решить уравнение

arcsin (1 + 2 cos x ) + arccos (1 + 3 tg x ) = π /2.

Решение: Перепишем уравнение в виде:

arcsin(1 + 2cos x) = (π/2 — arccos(1 + 3tg x)),

Возьмем синусы обеих частей :

sin(arcsin(1 + 2cos x)) = sin(π/2 — arccos(1 + 3tg x)),

1 + 2cos x = 1 + 3tg x,

2 cos x – 3 tg x = 0,

2 cos 2 x – 3sin x = 0,

2 – 2 sin 2 x – 3sin x = 0,

2 sin 2 x + 3sin x – 2 = 0,

2 t 2 + 3 t – 2 = 0,

т.к. |t |  1, то t = 2 – посторонний корень,

следовательно t = 1/ 2;

x = 5π/6 + 2πn, n  Z

Проверка показывает, что серия корней

x = π/6 + 2πn, является посторонней.

Ответ: x = 5π/6 + 2πn, n  Z.

Решить уравнения и неравенства:

37. arcsin x = 2 arctg2x/3;

38. arcsin (x 2 – 3x + 0,5) = π /6;

39. arcsin (x 2 –2x +2) = π x /2;

40. arcsin 2x = 3 arcsin x;

41. arccos(x –1) = 2 arccos x;

42. arccos(3x – 4) = 2arctg(5 – 3x);

43. arcsin 2x + arccos(6x –2)  0;

В этом разделе представлены разные примеры, которые можно использовать как на уроках, так и при подготовке при поступлении в вузы.

Решить уравнение ( неравенство, систему).

44. arcsin ( x + 1) + arccos ( x – 1) = π /2;

45. arcsin(x + 1/x) + arctg(x 2 –1) = π/3;

46. arcsin 1/  x + arccos  (1-x) = π/2;

47. arcsin2x + arccos 2 x = π 2 /2;

48. arctg 3 x +arcctg 3 x = π 3 /24;

49. 3arctgx + 2arcctgx = π;

50. arcsin(1 – x) – 2arcsinx = π/2;

51. arctg(x 2 + 1) + arctg(x 2 –1) = π/4;

52. arcsin2x = 3arcsinx;

53. arctg(x –1)/x = 2arctg(x –1);

54. arcsin x + arcsin2x = π/2;

55.  arcsin x  arcsin y = π 2 /18,

 arccos x + arccos y = π/2;

56.  arcsin x + arccos y = π/2,

57.  arctg x + arctg y = π/3,

58.  arcsin x  arccos x = π 2 /18,

59.  arctg x  arcctg x = π 2 /16,

60.  arcctg x + arcctg y = π/2,

61. arcsin x > arcsin(1 — x);

62. arcsin(1 – x) + 2arcsin x > π/2;

63. arctg(x –1) + arctg x + arctg(x +) > arctg3x;

64. sin((arccos x)/5)= 1;

65. arctg(x 2 – 3x – 3) = -3π/4;

66. arctg(x + x 2 ) + arctg(x 2 – x) = π/4;

67. arctg3 x – arctg3 -x = π/6;

68. arccos (3ax + 1)  arccos(2x + 3a – 1);

69. arcsin x = arcsin(a 2 + a – 1)(x – 2a 2 – 3a +2);