Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа, Сабитов К.Б., 2016
Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа, Сабитов К.Б., 2016.
Монография посвящена изучению качественных и спектральных свойств решений уравнений смешанного параболо-гиперболического типа и разработке методов спектрального анализа для изучения аналога задачи Трикоми, начально-граничных задач с локальными и нелокальными краевыми условиями и обратных задач.
Для научных работников в области дифференциальных уравнений в частных производных, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов физико-математических факультетов вузов.
Экстремальные свойства решений одного класса параболических систем и их применения.
В теории дифференциальных уравнений параболического типа второго порядка важную роль играют внутренние и граничные принципы экстремума, так как на их основе получены и получаются интересные результаты как теоретического, так и прикладного характера.
Принципы экстремума в случае одного параболического уравнения второго порядка достаточно хорошо изучены [ 151). Однако для систем параболического тина экстремальные свойства решений практически не изучены.
Здесь для одного класса параболических систем второго порядка установлены новые принципы экстремума, найдены достаточно простые условия для их справедливости и показаны применения этих принципов при изучении краевых задач.
Содержание.
Введение.
Глава 1. Качественные свойства решений.
§1.1. Принцип максимума для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа.
§1.2. Экстремальные свойства решений одного класса параболических систем и их применения.
§1.3. О спектральном влиянии гиперболической части уравнений смешанного типа на корректность чадами Трикоми.
§1.4. О знакоопределенности решения неоднородного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа высокого порядка.
Глава 2. Начально-граничные задачи с локальными граничными условиями.
§2.1. Задача с граничным условием первого рода.
§2.2. Первая начально-граничная задача для неоднородного уравнения.
§2.3. Задача с граничным условием второго рода.
§2.4. Задача с граничным условием третьего рода.
Глава 3. Краевые задачи с нелокальными граничными условиями.
§3.1. Задача с условиями периодичности.
§3.2. Краевая задача с нелокальным граничным условием первого рода.
§3.3. Краевая задача с нелокальным граничным условием второго рода.
§3.4. Краевая задача с нелокальным интегральным условием.
§3.5. Краевая задача с новым нелокальным граничным условием.
Глава 4. Обратные задачи но отысканию правой части.
§4.1. Обратная задача по отысканию правой части, зависящей от пространственной переменной.
§4.2. Обратная задача по отысканию правой части, зависящей от пространственной переменной, с другим дополнительным граничным условием.
§4.3. Обратная задача по отысканию правых частей, зависящих от пространственной переменной.
§4.4. Обратные задачи по отысканию сомножителей правых частей, зависящих от пространственной переменной.
§4.5. Обратные задачи по отысканию сомножителей правых частей, зависящих от времени.
Глава 5. Обратные коэффициентные задачи.
§5.1. Прямая начально-граничная задача.
§5.2. Обратные коэффициентные задачи.
Заключение.
Список литературы.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа, Сабитов К.Б., 2016 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать файл № 1 — pdf
Скачать файл № 2 — djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений Павлов, Степан Степанович
480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
Павлов, Степан Степанович. Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений : автореферат дис. . кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Павлов Степан Степанович; [Место защиты: Сев.-Вост. федер. ун-т им. М.К. Аммосова].- Якутск, 2011.: ил. РГБ ОД,
Содержание к диссертации
1. Обратные задачи для гиперболических уравнений с точечными условиями переопределения 17
1.1 Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения 17
1.2 Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в-многомерном волновом уравнении при п = 2,3 21
1.3 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в много мерном волновом уравнении при п > 4 і 32
2. Обратные задачи для гиперболических уравнений с интегральным условием переопределения 34
2.1 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением 34
2.2 Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением 42
Введение к работе
Актуальность темы. Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.
Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, СИ. Кабанихина, А.И. Прилепко, С.Г. Пяткова, А.И. Кожанова, А.Х. Амирова, Г.В. Алексеева, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глуш-ковой, Д.И. Глушковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jamamoto. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных, нежели в настоящей работе методов, и при этом, разрешимость устанавливалась в других пространствах.
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводности, теплопроводности и многие другие. В настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуется обратные задачи. Постоянно появляются новые подходы,
Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Также отметим, что обратные задачи для гиперболических уравнений зачастую относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А. Н. Тихонова (1963), В. К. Иванова (1962,1963), М. М. Лаврентьева (2003).
В диссертационной работе исследуется вопрос о разрешимости и единственности решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в случае неизвестных коэффициентов с точечными и интегральными условиями переопределения.
Цель работы. Основной целью работы является исследование разрешимости обратной задачи определения коэффициентов как для одномерного, так и для многомерного гиперболического уравнения.
Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового «нагруженного»линейного либо нелинейного уравнений.
При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методах регуляризации, продолжения по параметру и методе неподвижной точки.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешних источников составного вида для одномерных и многомерных гиперболических уравнений при задании точечных условий переопределения;
установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для гиперболических уравнений при задании условия интегрального переопределения;
установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента диссипации для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения;
установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента стока для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:
на научной конференции «Лаврентьевские чтения PC (Я)» (Якутск: 2006, 2008);
на IV, V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2006, 2007);
на XLV, XLVIII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск: 2007, 2010);
на II, III Всероссийских научных конференциях «Информационные технологии в науке, в образовании и экономике» (Якутск: 2007, 2008);
на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2008);
на II Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федера-
ции» (Якутск: 2009);
на II Молодежной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», посвященной памяти академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск: 2010);
на V Республиканской научно-методической конференции «Математика в школе и вузе»(Якутск, 2010);
на Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск: 2010);
на VI Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2011);
на семинарах «Уравнения переменного типа» под руководством д.ф.-м.н., профессора СВ. Попова (Якутск, кафедра математического анализа ИМИ СВФУ, 2007-2011);
на семинарах «Дифференциальные уравнения в частных производных» под руководством д.ф.-м.н., профессора И. Е. Егорова (Якутск, НИИ математики СВФУ, 2009-2011);
на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м.н, профессора А. И. Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[9].
грантом ЯГУ за 2007 г.;
грантом СВФУ за 2010 г.;
грантом по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России «за 2002-2005 гг.;
научной программой «Проведение научных исследований молодыми уче-
ными» Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.- стажировкой в Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск);
грантом ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»на 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия №1.3.1 «Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук», ГК №П1182 от 27 августа 2009 г.;
грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, проект № 02.740.11.0609;
АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011г.), per. номера проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих 5 параграфов, заключения и списка литературы. Во введении описываются цели работы, излагается краткое содержание диссертации. Список литературы содержит 119 наименований. Объем диссертации составляет 84 страницы. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.
Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в-многомерном волновом уравнении при п = 2,3
С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные <известны следствия, нужно найти причины).
Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучении свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачам, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.
Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.
Интерес к обратным задачам возник в первой половине двадцатого века, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн но поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка одномерной обратной кинематической задачи сейсмики, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихсртом (1905-1907 гг.).
С гравитационной и магнитной разведкой связано возникновение другой обратной задачи — теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью S, задан потенциал, порожденный телом, лежащим внутри 5, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана СП. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н- Страхов, А,И. Прилепко, А-А. Самарский, П.Н. Вабищевич, В.И. Васильев — см, [64], [65], [20], [25], [92]. [102] и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач. Впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн в 1962 году А. С. Алексеевым [36].
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводимости, теплопроводности и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты-об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуются обратные задачи.
Обратная задача восстановления внешнего воздействия в много мерном волновом уравнении при п > 4 і
Постоянно появляются новые подходы, понятия, теоремы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е- Аниконова, Б. А. Бубнова, С. И. Кабанихина, А. И. Прилепко, А. И. Ко-жанова, А. X. Амирова, Е. Г, Саватеева, Е. С, Глушковой. Д. И. Глушковой, Т. Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, А. М. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jainomoto — см. монографии [1] — [5], [10], [15] — [17], [20], [21], [25], [27], [49], [50], [63], [69], [95] —[100] и имеющуюся в них библиографию, атакжеста тьи [11], [13], [22], [23], [28], [29], [35] — [47], [56] — [58], [70], [71], [101]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области.
Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений (Кабани-хин СИ., 2009) и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Также отметим, что обратные задачи для гиперболических уравнений зачастую относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах A. Н. Тихонова [104]-[106], В. К. Иванова [66], М. М- Лаврентьева [80, 81].
В диссертационной работе исследуется вопрос о разрешимости и единственности решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в случае неизвестных коэффициентов с точечными и интегральными условиями переопределения. Цель работы- Основной целью работы является исследование разрешимости обратной задачи определения коэффициентов как для одномерного, так и для многомерного гиперболического уравнения. Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового «нагруженного» линейного либо нелинейного уравнения. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методах регуляризации, продолжения по параметру и методе неподвижной точки. Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: — установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешних источников составного вида для одномерных и многомерных гиперболических уравнений при задании точечных условий переопределения; — установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для гиперболических уравнений при задании условия интегрального переопределения; — установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента диссипации для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения; — установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента стока для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения.
Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются ноны-ми, Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются па строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений. Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, доклады г вались и обсуждались: — на научной конференции «Лаврентьевские чтения PC (Я)11 (Якутск: 2006, 2008); — на IV, V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов Т1 Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2006, 2007); — на XLV, XLVIII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс4 (Новосибирск: 2007, 2010); — на II, III Всероссийских научных конференциях мИнформационные технологии в науке, в образовании и экономике11 (Якутск: 2007, 2008); — на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации11 (Якутск, 2008); — на II Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации11 (Якутск; 2009); — на II Молодежной международной научной школе-конференции ,гТеория и численные методы решения обратных и некорректных задач» , посвященной памяти академика М.М. Лаврентьева, (Новосибирск: 2010); — на V Республиканской научно-методической конференции «Математика в школе и вузе» (Якутск, 2010); — на Всероссийском научном семинаре «Неклассичсскис уравнения математической физики» , посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск: 2010); — на VI Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2011); — на семинарах «Уравнения переменного типа11 под руководством д.ф.-M.H.J профессора СВ. Попова (Якутск, Кафедра математического анализа ИМИ СВФУ, 2007-2011); — на семинарах «Дифференциальные уравнения в частных производных» под руководством д.ф.-м.н,, профессора И. Е. Егорова (Якутск, НИИ математики при ЯГУ, 2009-2011); — на семинаре «Неклассичсские уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м,н3 профессора А. И, Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. С, Л. Соболева СО РАН, 2011). Публикации- Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [111]-[119]. Работа поддержана: — грантом ЯГУ за 2007 г.; — грантом СВФУ за 2010 г.; — грантом по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России1 за 2002-2005 гг.; — научной программой «Проведение научных исследований молодыми учеными» Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.- стажировкой в Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАИ (г. Новосибирск); — грантом ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной Росоиипна 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия №1.3.1 т,Проведе-иие научных исследований молодыми кандидатами наук», ГК №П1182 от 27 августа 2009 г.; — грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, про ект № 02.740.11.0609; б — АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-201ІГ.), per. номера проекта 2-1Л/3443 и 2.1.1/13607.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, дпух глав, содержащих 5 параграфов, заключения и списка литературы, Во введении описываются цели работы, излагается краткое содержание диссертации. Список литературы содержит 119 наименований. Объем диссертации составляет 84 страницы. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.
Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана значимость полученных результатов, излагается краткое содержание диссертации, характеризуются используемые методы. Основное содержание работы изложено в главах 1-2. Б первой главе исследуется разрешимость линейной обратной задачи для одномерного и многомерного волнового уравнения при задании точечных условий переопределения.
Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением
Уз к тождественно нулевой функции. Следовательно, для всякой ограниченной в пространстве Vz последовательности <ут(х )>из последовательности <Ф(ут(х, ))>можно извлечь сходящуюся в V3 подпоследовательность. А это и означает, что оператор Ф компактен в пространстве V3 Итак, для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шаудера. Согласно этой теореме существует функция u Установим, что для решений краевой задачи (2.2.6е), (2.2.2), (2.2.3) имеют место априорные оценки равномерные по параметру е. Итак, нами доказано, что краевая задача (2.2.6), (2.2.2), (2.2.3) имеет решение и(х,) такое, что для семейства функций На правах рукописи ВАЛИТОВ ИЛЬДАР РУСЛАНОВИЧ Обратные задачи для гиперболических уравнений 01.01.02 дифференциальные уравнения Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико математических наук Работа выполнена на кафедре математического анализа Стсрлитамак-ской государственной педагогической академии им. Зайнаб Вишневой и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала академии наук Республики Башкортостан Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кожанов А.И. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук. Ведущая организация: Сибирский федеральный университет. Защита состоится « 22 » декабря 2009 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете, расположенном по адресу: 308007. г. Белгород, ул. Студенческая, 14. корп. 1 БелГУ, ауд. 407. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета. профессор Федоров В.Е. кандидат физико-математических наук, доцент Ситник С.М. Ученый секретарь диссертационного совета Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с мастными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова. Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова. С.И. Кабанихина, А.И. При-лепко. А.Х. Амирова, Е.Г. Саватсева, Е.С. Глушковой, Д.И. Глушковой, Т.Ж. Елдссбасва. A. Lorcnzi, A.M. Денисова. М. Grasseli. М. Клибанова, М. Ямамото. Следует отмстить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных нежели в настоящей работе методов и при этом разрешимость устанавливалась в других пространствах. Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости, единственности и устойчивости нелинейных обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной цилиндрической области в случае неизвестных коэффициентов, зависящих от времени. Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового нелинейного «нагру-женного»уравнсния. Доказывается существование регулярного решения прямой краевой задачи и возможность построения с его помощью решения исходной обратной задачи. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методе регуляризации и методе Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнбния коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения. 2. Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения п неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения. 3. Исследована разрешимость начально-краевых задач для нелинейных «нагруженных» гиперболических и псевдогинерболических уравнений. Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами. Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для других классов гиперболических уравнений. Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на конференции «Студенческая наука в действии», г. Стсрлитамак, СГПИ, 2003 г.; на семинаре по теории дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.н.. профессора К.Б.Сабитова, (г. Стсрлитамак, СГПА, Стерлитамакский филиал АН РБ, 2003 2009гг.); на конференции «Современные проблемы физики и математики», г. Стерлитамак, 2004г.; на семинаре «Неклассическис уравнения математической физи-ки»под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И.Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им С.Л.Соболева СО РАН, 2005 2007гг.): на конференции «Информационные технологии и обратные задами рационального природопользования», (г. Ханты-Мансийск. 2005г.); на конференции «Региональная школа молодых ученых»; г.Стсрлитамак, 200G г.; на International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». г.Москва, 2006г. на XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006г.; на семинаре «Дифференциальные уравнения»под руководством д.ф.-м.н., профессора Калиева И.А. (г. Стерлитамак, СГПА им. Зайнаб Вишневой, 2007-2009гг.); — на конференции «Российско-китайский симпозиум «Комплексный анализ и его приложения», Белгород, БелГУ, 2009 г. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] ¡5].Список работ приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие непосредственно автору. Работа [2] опубликована в журнале, входящем в список публикаций рекомендованных ВАК РФ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав содержащих 7 параграфов, дополнения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 93 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц. Содержание работы. Основное содержание работы изложено в главах 1 3. В первой главе исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения гиперболического типа в случае интегрального переопределения. Пусть D есть интервал (0,1) оси Ox, Q есть прямоугольник < Обратная задача 1.1: найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением uXJ: + q(t)a(x, t)ut = f(x, t), (1) при выполнении для функции и(х, t) условий «(0,0 = u(l,t) =0, 0 0, a(l,i)/j'(i) Q, а п (.г..’> ко > 0, q Теорема 1.1.2. Пусть а(х, 0 = 1 пРи 0 G функций f(x, t), Теорема 1.1.3. Пусть a(x,t) = 1 при (x,t) £ Q, для функций f(x,t), K(x,t), ni(t), ¡12(0 выполняются включения теоремы 1.1.1 Далее, пусть j|u(x,t) — v(x,t)\\Lxi().T:LAD)) + iMz,f) — Ui(x,0iiloc((),r:t2(D)) + постоянная R в которой определяется лишь функциями f(x,t), Uo(x), щ(х), K(x,t) и числом T. В параграфе 1.2 рассматривается обратная задача с неизвестным коэффициентом q(t) при решении. Обратная задача 1.2: найти функции и(хЛ) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением при выполнении для функции u Пусть fii и /¿о есть заданные числа, 0 Mi > 0 при t G [0,Г]; ^^ , q(t) G Z,oo([0,T’]). Положим И’2 = < Vi (t,u)= J ax(x,t) I J K(y,t)u(y,t)dy \ dx. Теорема 1.1.5.Пусть для функций a(x,t), f(x,t), K(x,t) и n(t) выполняются включения теоремы 1.1.1 Тогда в множестве Wj обратная задача 1.2 не может иметь более одного решения. В параграфе 1.3 рассмотрены обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации и данными Неймана, или же с неизвестным коэффициентом при решении при задании интегрального переопределения и данных Неймана. v /Vv лг N%+2N* + y/2TNj N9 = max / Ar.(x, t)dx. Лгю = ——- max a(x, f) , [».ri J ‘ M i — Mo Q Nn =-ЭДН—/ ul(x)dx max |a(x, £)|, 1 1 г 1 B„= [ uj(x)dx -r jt$(x)dx + J J f(x,t)dxdt + 4N[1T, By = [12jVg + AN^T2 + 3], Вг = 4jV2, Cn = B0 + у, Ci = у + B2T, M0 = Aii = 2TJl/„ + 2 J ul ЛГ4Л/1 А.-« >0 ь е [О, Г]>. Обратная задача 1.4 Найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнениель Utt — ихх + q(t)a(x, t)ut = f(x, t) при выполнении для функции u(x,t) условий (6)-(8). Теорема 1.1.8. Пусть выполняются условия Теорема 1.1.9. Пусть для функций а(х, t), f(x, t), K(x, t) и выполняются включения теоремы 1.1.8. Тогда в множестве IV4 обратная задача 1.4 не .иожет иметь более одного решения. Во второй главе данной работы рассматриваются обратные задачи с внутренним переопределением. В параграфе 2.1 рассматривается волновое уравнение с неизвестным коэффициентом диссипации. Пусть /î(|(.T,i), hx(x,t). . hm(x,t), f(x,t), u0(x). щ(х), Mi (t), • ■ •-, fi„i(t) есть функции, заданные при х € [0,1], t G [0,Г], х\. хт — точки такие, что 0 r, Пусть vk(t), k = l. m, ссть заданные при t. € [0,7^] функции. Рассмотрим следующую линейную систему относительно неизвестных функций pk(t)\ Предполагая, что определитель do(i) этой системы всюду на отрезке [0,Т] не обращается в нуль, найдем функции pk(t): k = 1. ,то, функции Ам;(£); Aik(t) здесь вполне конкретно вычисляются через функции J i) = akx(x, t), ck(x, i) = «i . (.?•, t),k = 1, . m. ak = [¡а^Сд:,ßk = ||6fc(x,i) 7И = ^llt»«?), 7и = ||сь;х(з», t)\\L^Q), k = 0,1, . m, l i bo = J dxdt + J u02(x) dx + J щ2<х) dx. Теорема 2.1.1. Яг/атгъ /(а:, г) е ¿2(0), е L2(Q), /. (.r./) е ¿2(0), е L2(Q), uq(x) е W?(£>), Ui(z) € W’23(D), /(xfr,t) е /-,( do > 0 при t 6 [0,T]; a0(x,£) > a,, > 0 при (x,t) G Q; /(0,0 = /(1,0 = 0 при «е[0,Г1; Ц(>(0) = ,,„(1) = щ( 0) = и1(1) = «£(0) = • ■ • > 9т(0» сеЛ занные в прямоугольнике уравнением ии — и,-, + [Мх,0 + /ц(х,0д1(0 + • • ■ + /г,„(а-,09ти(0]» = /(аг, £), при выполнении для функции и<х, 0 условий (10) (12). Для обратной задачи 2.2 доказывается теорема существования, аналогичная теореме 2.1.1, но при ограничении Т 0, А’, i(i)| > А») > 0 при i € [0,Т]. то ТЬгЛг Лгл любой функции /(х, О такой, что f(x,t) £ Li Глава 1. Обратные задачи для гиперболического уравнения с интегральным переопределением §1.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации и данными Дирихле §1.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении и данными Дирихле. §1.3. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом и данными Неймана Глава 2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с внутренним переопределением §2.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации §2.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении. Глава 3. Обратные задачи для гиперболического уравнения с граничным переопределением §3.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации §3.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении. Общая характеристика работы Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, С.И. Кабанихи-на, А.И. Прилепко, А.Х. Амирова, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глушковой, Д.И. Глуш-ковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Ямамото — см. монографии [11], [21], [24], [44] — [49], [55] — [59], [64], [71] -[73], [76], [77], [79], [81] и имеющуюся в них библиографию, а также статьи [1] » [3], [5] — [9], [14] — [16], [25], [26], [50], [65], [67], [69], [70], [82], [83], [88]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных нежели в настоящей работе методов и при этом разрешимость устанавливалась в других пространствах. Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости, единственности и устойчивости нелинейных обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной цилиндрической области в случае неизвестных коэффициентов, зависящих от времени. Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового нелинейного «нагруженного» уравнения. Доказывается существование регулярного решения прямой краевой задачи и возможность построения с его помощью решения исходной обратной задачи. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методе регуляризации и методе неподвижной точки. Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения. 2. Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения. 3. Исследована разрешимость начально-краевых задач для нелинейных «нагруженных» гиперболических и псевдогиперболических уравнений. Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами. Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений. Значение работы также может быть определено прикладной значимостью исследованных обратных задач касательно различных вопросов современного естествознания. Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на конференции «Студенческая наука в действии», г. Стерлитамак, СГПИ, 2003 г.; на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора К.Б.Сабитова, д.ф.-м.н., профессора Калиева И.А. (г. Стерлитамак, Стерлитмакский филиал АН РБ, Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2003-2009гг.); на конференции «Современные проблемы физики и математики», г. Стерлитамак, 2004г.; на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И.Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им С.Л.Соболева СО РАН, 2005-2007гг.); на конференции «Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования», (г. Ханты-Мансийск, 2005г.); на конференции «Региональная школа молодых ученых», г.Стерлитамак, 2006 г.; на International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». г.Москва, 2006г. на XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006г. на Российско-китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Белгород, БелГУ, 2009 г. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [89]-[93]. Из совместных работ в Диссертацию включены результаты принадлежащие непосредственно автору. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав содержащих 7 параграфов, дополнения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 93 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц. В диссертации получены следующие основные результаты: — Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения. — Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения. — Исследована разрешимость новых обратных задач нахождения решения и неизвестного коэффициента для псевдогиперболического уравнения. Методы исследования основаны на использовании техники априорных оценок и техники, связанной с методом продолжения по параметру. Методы исследования обратных задач основаны на переходе к специальным «нагруженным» уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других нелокальных и обратных задач. 1. Амиров, А. X. К вопросу о разрешимости обратных задач / А. X. Амиров // Сиб. мат. журн. 1987. — Т. 28, № 6. — С. 3-11. 2. Амиров, P. X. Многомерная обратная задача для гиперболического уравнения и связанная с ней спектральная задача / P. X. Амиров // Докл. АН СССР. 1991. — Т. 319, № 2. — С. 265-266. 3. Аниконов, Ю. Е. Вопросы управления и обратные задачи / Ю. Е. Анико-нов, Б. А. Бубнов // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 304, № 2. — С. 309-312. 4. Аниконов, Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений / Ю. Е. Аниконов ; АН СССР, ВЦ. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1978. — 118 с. 5. Аниконов, Ю. Е. Представления решений уравнений с переменными коэффициентами и обратные задачи / Ю. Е. Аниконов // Докл АН СССР. 1991. — Т. 318, № 5. — С. 1145-1148. 6. Аниконов, Ю. Е. Соотношения в некоторых обратных задачах для нелинейных уравнений / Ю. Е. Аниконов // Докл. АН СССР. 1990. — Т. 315, № 4. — С. 850-853. 7. Аниконов, Ю. Е. Формулы в обратных задачах для дифференциальных уравнений и неравенств / Ю. Е. Аниконов // Докл. РАН. 1994. — Т. 337, № 1. — С. 23-24. 8. Аниконов, Ю. Е. Формулы в обратных задачах для уравнений 2-го порядка / Ю. Б. Аниконов // Докл. АН СССР. 1991. — Т. 320, № 4. — С. 848-850. 9. Аниконов, Ю. Е. Формулы для решений некоторых обратных задач для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аниконов // Докл. АН СССР. 1991. — Т. 319, № 5. — С. 1117-1119. 10. Белов, Ю. А. Метод слабой аппроксимации / Ю. А. Белов, С. А. Кантор ; Красноярск, гос. ун-т. Красноярск, 1999. — 236 с. 11. Бубнов, Б. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений : дис. . д-ра. физ.-мат. наук / Б. Бубнов. Новосибирск, 1988. — 287 с. 12. Бубнов, Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для гиперболических уравнений : препринт № 713 / Б. А. Бубнов ; ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1987. 13. Бухгейм, А. Л. Введение в теорию обратных задач / А. Л. Бухгейм ; отв. ред. М. М. Лаврентьев ; АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — 183 с. 14. Глушкова, Д. И. Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / Д. И. Глушкова. Новосибирск, 2003. — 51 с. 15. Глушкова, Е. С. Об единственности некоторых обратных задач для телеграфного уравнения / Е. С. Глушкова // Мат. проблемы геофизики. -1975. Вып. 6, ч. 2. — С. 130-144. 16. Глушкова, Е. С. Теорема существования решения одной обратной задачи / Е. С. Глушкова // Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск, 1982. — С. 69-74. 17. Грассели, М. Обратная задача для интегродифференциального уравнения / М. Грассели, С. И. Кабанихин, А. Лоренци // Сиб. мат. журн. -1992. Т. 33, № 3. — С. 58-68. 18. Дженалиев, М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М. Т. Дженалиев ; АН Респ. Казахстан. Ин-т теорет. и прикл. математики ; отв. ред. Д. У. Умбетжапов. Ал-маты, 1995. — 269 с. 19. Дурдиев, Р. К. К вопросу о корректности одной обратной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения / Р. К. Дурдиев // Сиб. мат. журн. 1992. — Т. 33, № 3. — С. 69-77. 20. Елдесбай, Т. Ж. Одномерные обратные задачи для вырождающихся эволюционных уравнений смешанного типа / Т. Ж. Елдесбай. Алматы : ГЫЛЫМ, 2003. — 209 с. 21. Исаков, В. М. О единственности решения некоторых обратных гиперболических задач / В. М. Исаков // Дифференциальные уравнения. 1974.1. С. 165-167. 22. Кабанихин, С. И. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач / С. И. Кабанихин, К. Т. Искаков. Новосибирск : Изд-во НГУ, 2001. — 315 с. 23. Кабанихин, С. И. Обратные задачи электродинамики / С. И. Кабанихин, В. Г. Романов, Т. П. Пухначева ; под ред. М. М. Лаврентьева ; Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск, 1984. — 201 с. 24. Кабанихин, С. И. О нелинейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений / С. И. Кабанихин // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 309, № 4. — С. 791-795. 25. Кабанихин, С. И. О разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений / С. И. Кабанихин /./ Докл. АН СССР 1984. — Т. 277, № 4. — С. 788-791. 26. Клибанов, М. В. Об одной задаче дифракции / М. В. Клибанов // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26, № 10. — С. 1777-1783. 27. Кожанов, А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А. И. Кожанов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. — Т. 44, № 4. — С. 694-716. 28. Кожанов, А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А. И. Кожанов // Мат. заметки. 2004. — Т. 76, № 6. — С. 840-853. 29. Кожанов, А. И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа / А. И. Кожанов // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2008. — Т. 8, вып. 3. — С. 8199. 30. Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А. И. Кожанов // Докл. АН России. 2006. — Т. 409, № 6. — С. 740-743. 31. Кулиев, М. А. Многомерная обратная краевая задача для линейного гиперболического уравнения в ограниченной области / М. А. Кулиев // Дифференциальные уравнения. 2002. — Т. 38, № 1. — С. 98-101. 32. Ладыоюеиская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. -М. : Наука, 1967. 736 с. 33. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. М. : Наука, 1973. -576 с. 34. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. М. : Высш. шк., 1995. — 301 с. 35. Орловский, Д. Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения/ Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26, № 9. — С. 1614-1621. 36. Орловский, Д. Г. К задаче определения правой части гиперболической системы дифференциального уравнения / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1983. — Т. 19, № 8. — С. 1437-1445. 37. Орловский, Д. Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25, № 6. — С. 1000-1009. 38. Орловский, Д. Г. Об обратной задаче для уравнения гиперболического тина в гильбертовом пространстве / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1991. — Т. 27, № 10. — С. 1771-1778. 39. Орловский, Д. Г. Обратная задача Коши для линейных гиперболических систем / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1984. — Т. 20, № 1. — С. 98-104. 40. Райхель, Б. 3. Об одной обратной задаче для уравнения гиперболического типа / Б. 3. Райхель // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26, № 8/2. — С. 1462-1464. 41. Романов, В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов, М. М. Лавреньтев и др. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1969. — 267 с. 42. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В. Г. Романов. М. : Наука, 1969. — 195 с. 43. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В. Г. Романов ; под ред. М. М. Лаврентьева. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1972. — 163 с. 44. Романов, В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов. Новосибирск : Изд-во НГУ, 1973. — 152 с. 45. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. М. : Наука, 1984. — 264 с. 46. Романов, В. Г. Устойчивость в обратных задачах / В. Г.Романов. М. : Науч. мир, 2005. — 295 с. 47. Саватеев, Е. Г. О редукции одной обратной задачи для уравнения гиперболического типа / Е. Г. Саватеев // Докл. РАН. 1994. — Т. 334, № 5. — С. 562-563. 48. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1988. — 333 с. 49. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. : Мир, 1970. — 720 с. 50. Щеглов, А. Ю. Приближенное решение обратной коэффициентной задачи для квазилинейного уравнения гиперболического типа / А. Ю. Щеглов // Вестн. МГУ. Сер. 15, Вычислительная математика и физика. 2004. -№ 2. — С. 13-19. 51. Якубов, С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С. Я. Якубов. Баку : Элм, 1985. — 220 с. 52. Anikonov, Yu. E. Inverce and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov, B. A. Bubnov, G. N Erokhin. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. 53. Anikonov, Yu. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. — 204 p. 54. Anikonov, Yu. E. Inverse and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. — 240 p. 55. Anikonov, Yu. E. Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2001. — 270 p. 56. Anikonov, Yu. E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1995. — 134 p. 57. Belov, Yu. Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations / Yu. Ya. Belov. Utrecht, The Netherlands, VSP BV, 2002. — 212 p. 58. Bukhgeim, A. L. Introduction to the theory of Inverse Problems / A. L. Bukhgeim. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2000. — 232 p. 59. Cannon J.R. Dinninger D.E. Determination of an unknown forcing function in a hyperbolic equation from overspecified data. Annali di Mat.pure et applicata v LXXXV, P. 49-62, 1970. 60. Cannon, J. R. An inverse problem for an unknown sourse term in a wave equation / J. R. Cannon, P. DuChateau // SIAM J. of App. Math. 1983. -V. 43, № 3. — P. 553-564. 61. Denisov, A. M. Elements of Theory of Inverse Problems / A. M. Denisov. -Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1999. 292 p. 62. Denisov, A, M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyperbolic equation for the Goursat problem / A. M. Denisov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. -V. 6, № 4. — P. 327-334. 63. Eden, A. On global behavior of solutions to an inverse problem for semilinear hyperbolic equations / A. Eden, V. K. Kalantarov // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. — Т. 318. 64. Eldesbaev, Т. On an inverse problem for a hyperbolic equation with the characteristic degeneration of type and order / T. Eldesbaev // Differential Equations and their applications, Work Collect. Alma-ata, 1978. — P. 25-30. 65. Friedman, A. Hyperbolic Inverce Problem arising in the Evolution of Combustion Aerosol / A. Friedman, F. Reitich // Archive for rational mechanics and analysis. 1990. — 110, №4. — C. 313-350. 66. Grasselli, M. An Identification Problem for a Semilinear Hyperbolic Equation / M. Grasselli // Boll. Un. Mat. Ital. (7), 2-B. 1988. — P. 293-312. 67. Grasselli, M. Stability Estimates for a Nonlinear Hyperbolic Inverse Problem / M. Grasselli // Internal Report of the Department of Math «F.Enriques», University of Milan, Quaderno N.13. 1988. 68. Kabanikhin, S. I. Identification Problems of Wave Phenomena / S. I. Kabanikhin, A. Lorenzi. Utrecht : VSP, 2000. 69. Klibanov, M. V. Carleman Estimates for Coefficient Inverse Problems and Numerical Applications / M. V. Klibanov, A. A. Timonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2004. — 280 p. 70. Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov. Utrecht : VSP, 1999. 71. Kurylev, Ya. Hyperbolic inverse boundary-value problem and time-continuation of the non stationary Dirichlet-to-Neumann map./Ya. Kurylev, Matti Lassas // J.Proc.R.Soc.Edinb., Sect. A, Math. 2002. — 132, №4. -P.931-949. 72. Lavrentiev, M. M. Inverse problems of Mathematical Physics / M. M. Lavrentiev. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2003. — 275 p. 73. Lorenzi, A. An Introduction to Identification Problems via Functional Analysis / A. Lorenzi. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2001. — 2401. P 74. Megrabov, A. G. Forward and Inverse Problems for Hyperbolic, Elliptic and Mixed Type Equations / A. G. Megrabov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2003. — 230 p. 75. Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. NY : Marcel Dekker. xii, 2000.- 709 p. 76. Puel, J. P. Generic Well-posedness in a multidimensional hyperbolic inverse problem / J. P. Puel, M. Yamamoto //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1997. -V. 5, № 1. — P. 55-83. 77. Romanov, V. G. Investigation Methods for Inverse Problems /V. G. Romanov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2002. — 280 p. 78. Savateev, E. G. An inverse problem for the Burger’s equation and its hyperbolic regularization / E. G. Savateev // J. of Inverse and Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. — V. 1, № 3. — P. 231-244. 79. Savateev, E. G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation / E. G. Savateev // J. of Inverse and Ill-Posed Problems.- 1994. V. 2, № 2. — P. 165-180. 80. Scheglov, A. Yu. Iterative method for recovering a nonlinear source in hyperbolic equation with final overdetermination / A. Yu. Scheglov // J. of I.I.P.P. 2002. — V. 10, № 6. — P. 629-641. 81. Scheglov, A. Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear course in a hyperbolic equation / A. Yu. Scheglov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. — V. 6, № 6. — P. 625-644. 82. Weston, V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation / V.H. Weston, R.J. Krueger // J.math. Phys. 1972. -V. 13. — P. 1952-1956. 83. Weston, V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation II / V.H. Weston, R.J. Krueger // J.math. Phys. 1972.- V. 14. P. 406-408. 84. Yamamoto, M. Lipschitz stability for a hyperbolic inverse problem by finite local boundary data. (English)Appl. Anal. 85, No. 10, pp.1219-1243 (2006) 85. Аниконов, Ю. E. Обратные задачи для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аникоиов, Н. JI. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим, 86. И. Р. Валитов // Сибирские электронные математические известия. -2008. Т. 5. — С. 549-580. 87. Валитов, И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. — С. 3-18. 88. Валитов, И. Р. О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Мат. заметки ЯГУ. 2007. — № 14. — С. 3-16. 89. Valitov, I. R. Inverse problems for hyperbolic equations: a case of unknown factors, time-dependent / I. R Valitov // Abstracts of International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». Moscow, 2006. -P. 208. http://www.dslib.net/dif-uravnenia/razreshimost-obratnyh-zadach-dlja-giperbolicheskih-uravnenij.html http://fizmathim.com/obratnye-zadachi-dlya-giperbolicheskih-uravneniyОбратные задачи для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
