Общее решение дифференциального уравнения ydy xdx 0

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Приложение №2

2. Валуце И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. Учебное пособие.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1999г.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.- М.: Наука, 1970-2001, т. 1,2.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс Высшей математики.- М.: Наука, 1989.

5. Данко П. Е., Попов А.Г., Кажевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.:Наука,1999,ч.1,2

1.Основные понятия дифференциального уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнения — это уравнение, связывающее функционально зависимые переменные и их производные.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Если искомая функция зависит только от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным.

Мы будем решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение n–го порядка может быть записано в виде F(x, y, y / ,y // . y ( n ) )=0 , где y(x)- неизвестная функция, F-некоторая функциональная зависимость между независимой переменнойx, функцией y и её производными.

дифференциальное уравнение 1-го порядка,

— дифференциальное уравнение 2-го порядка,

-дифференциальное уравнение 3-го порядка.

Определение: Функция, обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

2.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными.

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство F(x, y, y′) = 0

Дифференциальное уравнение вида f(x)dx = g(y)dy называют уравнением с разделёнными переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения xdx+ydy=0

Разделим переменные, запишем уравнение в виде xdx = -ydy

Проинтегрируем обе части уравнения, получим

, или , или , .

3.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными.

Определение.Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида h(x)g(x) dx —

Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделенными переменными достаточно разделить его на произведение

Пример.Найти общее решение уравнения y’ = 3x – 1

Представим производную у’ как . Уравнение примет вид

Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dx. Полученное равенство проинтегрируем:

Ответ: — общее решение.

Пример.Найти решение уравнения y’+y-1=0.

Запишем уравнение в виде: y’ = 1 –y. Представим производную у’ как .

Уравнение примет вид Умножим уравнение на dx и разделим на 1-y≠0. Получим уравнение с разделенными переменными:

Найдём интегралы от обеих частей равенства:

или

Ответ: -решение дифференциального уравнения.

Пример.Найти общий интеграл (общее решение) уравнения

Вынесем за скобки общие множители:

Теперь разделим обе части уравнения на (y 2 ∙x 2 ) и сократим на x 2 и y 2 :

Получаем

Проинтегрируем обе части отдельно:

Общий интеграл (решение) уравнения имеет вид:

Преобразуем по свойству логарифмов и получим:

Ответ: -решение уравнения.

4.Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение.Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Такое уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения

Разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на x 2 . Получим уравнение .

Выполним подстановки или в дифференциальной форме . После этого уравнение примет вид:

Перенесем t в правую часть и приведём дроби к общему знаменателю, то есть

По основному свойству пропорции можно записать . Разделим обе части уравнения на (t 3 ∙x) и получим или .

Проинтегрируем обе части равенства:

Выполним обратную подстановку и получим общее решение дифференциального уравнения. Так как y = xt, то .

Выразим Cy, получим

Ответ:

6.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение.Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение относительно неизвестной функции и её производной неизвестные функции.

1)Если , то имеем частный случай, то есть или

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и выполним интегрирования отдельно каждой части уравнения:

, следовательно,

Если G(x)≠0, то уравнение решается с помощью подстановки Бернулли y = u(x)∙v(x) или кратко y = uv. Подставим y = uv и в уравнение, получим

Сгруппируем слагаемые и получим уравнение . Подберём функцию v так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю 0. Тогда получим систему: .

Теперь найдем v из первого уравнения системы (уравнение с разделяющимися переменными): , , ,

, получаем .

Подставим полученный результат во второе уравнение системы:

, , .

Теперь находим общее решение исходного уравнения, как произведение u на v:

7.Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка в общем виде можно записать как

или

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида .

Если , то уравнение имеет вид

Пример. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

y» – 4y’ + 13y = 0, y(0) = 1, y ‘(0) = 3

Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:

k_1,2 =

Тогда общее решение уравнения: у = e 2 (C₁ cos 3x +C₂ sin 3x)

Для нахождения частного решения продифференцируем это выражение:

Из условий у(0) = 1, у'(0) = 3 находим

Поэтому частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

Ответ:

Правила дифференцирования. Таблица производных и интегралов

№	Функции	Производные
y = Cu	(Cu)’ = C(u)’
y = u ± v	(u ± v)’ = u’ ± v’
y = u ∙ v	(u ∙ v)’ = u’v + v’u
y =
y = f(g(x))	(f(g(x)))’ =

Производные элементарных функций

(C)’ = 0
(sin x) ‘ = cos x	(cos x) ‘ = — sin x
(tg x) ‘ =	(ctg x) ‘ =
(e x ) ‘ = e x	(a x )’ = a x ln(a)
(lnx)’ =

Неопределенные интегралы элементарных функций

Решить дифференциальные уравнения и выбрать правильный ответ:

a) b) c) C

a) b) cosy=C cosx c) y = C cosx

a) b) с) y=cosx

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Производную функции переписать через её дифференциалы
Разделить переменные.
Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде