Общее решение однородного и неоднородного уравнений

Линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений (ДУ) такого типа называют линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения на отрезке [a;b] представляет собой линейную комбинацию 2х линейно независимых частных решений y₁ и y₂ нашего уравнения, т.е.:

.

Самое сложное заключается в определении линейно независимых частных решений ДУ такого типа. Зачастую, частные решения выбирают из таких систем линейно независимых функций:

Но достаточно редко частные решения представляются именно так.

Примером линейного однородного дифференциального уравнения можно назвать .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется как ,

где y₀ является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,

а является частным решением исходного ДУ. Метод определения y₀ мы сейчас обсудили, а вычисляют, используя метод вариации произвольных постоянных.

Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения приводим .

Познакомиться ближе с теорией и просмотреть примеры решений можете здесь: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.

Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 и ЛНДУ n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .

Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях n -ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 при непрерывных на интервале интегрирования
X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяет линейная комбинация y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , в которой y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на X , а C j , j = 1 , 2 , . . . , n являются произвольными постоянными.

Когда тождество a 1 · y 1 + a 2 · y 2 + . . . + a n · y n ≡ 0 верно только при нулевых коэффициентах a 1 = a 2 = . . . = a n = 0 , функции y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми на неком интервале X .

Для линейно независимых функций y j , j = 1 , 2 , . . . , n определитель Вронского при любых
x из X отличен от нуля:

W ( x ) = y 1 y 2 … y n y ‘ 1 y ‘ 2 … y ‘ n y » 1 y » 2 … y » n … … … … y 1 ( n — 1 ) y 2 ( n — 1 ) … y n ( n — 1 ) ≠ 0

Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.

Каким же образом определяются y j , j = 1 , 2 , . . . , n — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка?

В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x

Когда подобраны все n линейно независимые частные решения y j , j = 1 , 2 , . . . , n , возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 — оно будет иметь запись y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j . Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) при непрерывных на интервале интегрирования X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функции f ( x ) определяется как сумма общего решения y 0 соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения y

заданного неоднородного уравнения: y = y 0 + y

Нахождение y 0 — общего решения соответствующего ЛОДУ n -ого порядка — было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится y

— частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка.

Иногда некое частное решение y

бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда
y

подобрать затруднительно, при этом определены n линейно независимых частных решений y j , j = 1 , 2 , . . . , n соответствующего ЛОДУ, общее решение исходного ЛНДУ n -ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) определяется как y = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j , а функции C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) находятся интегрированием после решения системы уравнений:

∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_n – заданные функции переменных x ₁ , x ₂ , . x_n .

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₂ ,
.
φ_{n- 1} ( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C_{n- 1} ,
где C_k – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_{n+ 1} – заданные функции от переменных x ₁ , x ₂ , . x_n и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₂ ,
.
φ_n ( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C_n .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ ₁ = F ( φ ₂ , φ ₃ , . φ_n ) ,
φ ₂ = F ( φ ₁ , φ ₃ , . φ_n ) ,
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Подставим во второе уравнение:

Или:

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C₁ = x y 2 :

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ₁, φ₂) . Найдем ее вид из граничного условия
при .

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1 :

Отсюда

На границе
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂ ) = φ ₁ φ ₂ .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Общее решение:

где F — произвольная функция от двух аргументов F ( φ ₁ , φ ₂ ) .

Неоднородное уравнение

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C ₁ y

Подставим во второе уравнение:

Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂) = 0
Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ ₁ = F ( φ ₂) ,
где F — произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ ₁ = F ( φ ₂)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ₁ и φ₂ :

.
Умножим на a 2 y 2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-09-2014