Общее решение системы линейных уравнений для чайников

Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x₁=-3 → x₁=3; x₂=3-x₁ → x₂=0; x₃=1-2x₁ → x₃=5.
x₄ = 10- 3x₁ – 3x₂ – 2x₃ = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r_B > r_A.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x₃ = — 1 + x₄ + x₅; x₂ = 1 — x₄; x₁ = 2 + x₄ — 3x₅

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x₃ =
— x₂ + 13x₃ = — 1 + 3x₄ — 6x₅
2x₁ + 3x₂ — 3x₃ = 1 — 3x₄ + 2x₅
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₃ = 0
x₂ = 1 — 3x₄ + 6x₅
x₁ = — 1 + 3x₄ — 8x₅
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡₂ = 2 — 1.67x₃ + 0.67x₄
x₁ = 5 — 3.67x₃ + 0.67x₄
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение

Система линейных уравнений. Общее решение

Система линейных уравнений (СЛУ) может быть записана в виде

где m, n натуральные числа, a_ij (i= 1,2, . m, j= 1,2. n) называются коэффициентами, b_i (i= 1,2. m) называются свободными членами, x_i (i= 1,2. n) называются неизвестными.

Систему линейных уравнений (1) можно записать в виде

где A матрица порядка m×n , x — вектор порядка n (x∈R n ), b — вектор порядка m (b ∈R m ).

Решением системы (2) называется выбор такого вектора x’, что выполнено равенство

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместным.

Если СЛУ не имеет решения, то СЛУ называется несовместным.

Если СЛУ имеет единственное решение, то СЛУ называется определенным.

Если СЛУ имеет более одного решения, то СЛУ называется неопределенным.

Система линейных уравнений (2) называется неоднородной cистемой линейных уравнений, если b≠0.

Система линейных уравнений (2) называется однородной cистемой линейных уравнений, если b=0.

Нахождение общего решения системы линейных уравнений

Общее решение системы линейных уравнений (1)((или (2))− это множество всех решений этой системы.

Пусть A m×n — матрица rankA=r. В общем случае можем предположить что r .

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

где M₁ верхняя треугольная матрица, 0 — нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

где E — единичная матрица порядка r×r.

Запишем (5) в виде системы линейных уравнений:

где

Решим систему линейных уравнений (6). Для этого перезапишем в следующем виде:

Из второго уравнения системы (7) следует, что для совместности системы (6) и, следовательно, (2) (или (1)) должно выполняться условие b₂»≡ 0. Если система совместна, то решаем первое уравнение системы (7) относительно вектора x_r:

(8)

Таким образом первые r координаты вектора x выражены через остальные координаты . — свободные координаты, т.е. могут принимать любые значения.

Найдем, далее, множество всех векторов x, удовлетворяющих уравнению (6) и, следовательно, (2)( или (1)).

Рассмотрим множество всех векторов х, удовлетворяющих условию

(9)

где λ — произвольный вектор-столбец длины n-r.

Подставляя (9) в (6) получим:

Следовательно (9) является решением системы (6) и, следовательно, (2)(или (1)). Отметим что вектор является частным решением неоднородной системы линейных уравнений Ax=b, а является общим решением однородной системы линейных уравнений Ax=0;

Нахождение общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Обозначим через R(A) пространство столбцов матрицы A, т.е.

1. Пусть A n×n матрица и rank(A)=n. Тогда существует обратная к A матрица A -1 , и следовательно единственное решение СЛУ (2) примет вид:

Действительно, подставляя (3) в (2) имеем:

2. Пусть A m×n − матрица, rank(A)=r.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений, где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы, мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ:

Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Решить однородную систему линейных уравнений

Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы. И тогда неизбежно появление общего решения:

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ: общее решение:

Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощью фундаментальной системы решений. Пожалуйста, временно забудьте об аналитической геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы и окончательно расписал на уроке о линейных преобразованиях. Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто:

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где – произвольные действительные числа.

Количество векторов фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение Примера №3 в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать и получить: .

Координаты вектора должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: , где (любое вещественное число)

Придавая параметру различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен:
, то есть набор переменных удовлетворяет каждому уравнению системы.

Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять и из общего решения системы получить вектор с целыми координатами:

И тогда ответ запишется в эквивалентной форме:
, где (любое вещественное число)

Оба варианта ответа правильны, однако чайникам я всё-таки рекомендую классику жанра.

Поблагодарим задачник Рябушко за предоставленные примеры и перейдём к более основательным системам:

Решить однородную систему линейных уравнений

Ответ записать с помощью фундаментальной системы решений

Самостоятельно, plz. Примерный образец оформления в конце урока.

Закинем в копилку знаний ещё один полезный факт:

Взаимосвязь решений неоднородной
и соответствующей однородной системы уравнений

Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы одно число правой части отлично от нуля) и такую же систему – только справа одни нули (то бишь, однородную систему). Нетрудно предположить, что если системы отличаются лишь столбцом свободных членов, то между их решениями должна существовать тесная связь. И это действительно так! Материал целесообразнее рассмотреть на конкретной задаче, которая, как и все другие, взята из реальной контрольной работы:

Дана система линейных алгебраических уравнений

1) найти общее решение;

2) используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме.

Решение: по условию дана обычная неоднородная система уравнений, и первая часть не отличается новизной:

1) Запишем расширенную матрицу системы (не зеваем нолик в третьей строке) и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. К четвёртой строке прибавили первую строку, умноженную на –4.

(2) Последние три строки одинаковы, две из них удалили.

Обратным ходом метода Гаусса получим общее решение:
– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:
– подставим в 1-е уравнение:

Общее решение неоднородной системы обозначим через («Общее Неоднородной»).

Ответ:

2) Во второй части задания требуется найти общее решение такой же, только однородной системы , причём по условию необходимо использовать ответ предыдущего пункта.

Выполнять элементарные преобразования заново, разумеется, не нужно.

Правило: общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения неоднородной системы :

Откуда легко выражается общее решение нашей однородной системы:

Найдём какое-нибудь частное решение неоднородной системы. Проще всего взять нулевые значения свободных переменных :

Таким образом, общее решение соответствующей однородной системы:

Представим в векторной форме. Поскольку у нас две свободные переменные, то фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов.

Пойдём классическим путём:

Рассмотрим пару значений свободных переменных и получим первый вектор:
– координаты данного вектора удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (всегда желательна проверка!).

Теперь рассматриваем пару и получаем второй вектор:
– координаты данного вектора также удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (тоже проверяем!).

И вообще – любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы , где – произвольные действительные числа, является решением данной системы:

Ответ: , где

Иными словами, если взять два любых вещественных числа, например, , то получится вектор частного решения однородной системы:
, то есть набор удовлетворяет каждому уравнению однородной системы.

Если хотите избежать дробей, то при нахождении вектора следует выбрать значения и получить второй вектор в виде:

В этом случае ответ запишется в эквивалентной форме:
, где

Порядком многих я, наверное, подзапутал, но коль скоро задание не придумано, то его нельзя было обойти стороной.

Более распространённая тема для самостоятельного решения:

Дана однородная система

Найти общее решение и записать ответ с помощью векторов фундаментальной системы. В образце решения завершающим элементарным преобразованием я уже потихоньку начинаю приобщать вас к методу Гаусса-Жордана.

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ: , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения:

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Здесь базисные переменные легко и практически мгновенно выражаются через свободные переменные :

По существу, мы применили метод Гаусса-Жордана, который как раз и направлен на скорейшее получение базисного решения посредством дополнительных элементарных преобразований.

В результате общее решение:

Последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных тройки

и подстановкой их в получаем соответствующие векторы фундаментальной системы:

Не забываем проверить координаты каждого вектора!

Ответ: общее решение:
, где – действительные числа.

Как видите, второй способ гораздо проще и рациональнее, но для подобных изысков, конечно, необходимо обладать некоторым опытом.

Надеюсь, данная статья окончательно развеяла все страхи перед векторами, и теперь вы с огромным удовольствием откроете учебник по линейной алгебре, чтобы изучить теорию векторных пространств, линейных преобразований и другие не менее интересные вещи.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавили первую строку.
(3) У первой строки сменили знак. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(5) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 21.
Ранг матрицы системы равен количеству переменных, значит, система имеет только тривиальное решение.
Ответ:

Пример 4: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её ступенчатому виду:


(1) У третьей строки сменили знак и переместили её на 1-е место.
(2) Ко 2-й и 4-й строкам прибавили первую строку, умноженную на 2 и 5 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на –5, 4-ю строку разделили на –17.
(4) Вторая и 4-я строки одинаковы, последнюю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 4.
– базисные переменные;
– свободная переменная.
Выразим базисные переменные через свободную переменную.
Из последних двух уравнений:
– подставим в первое уравнение:


Таким образом, общее решение:
Найдем вектор фундаментальной системы решений. Для этого выберем в качестве значения свободной неизвестной :

Ответ: общее решение однородной системы уравнений:
, где (любое действительное число).

Пример 6: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1.
(2) Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 5, 4 и 5 соответственно.
(3) Последние три строки пропорциональны, достаточно оставить только одну из них. У первой строки сменили знак.
(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
– базисные переменные;
– свободные переменные.
Выразим базисные переменные через свободные переменные:

Таким образом, общее решение: .
Найдем векторы фундаментальной системы решений. Для этого последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных следующие пары: и :

Ответ: общее решение: , где – произвольные действительные числа.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5